Диссертация (1145422), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Записывая его в виде = ( +)/и подставляя (6.39) в (6.38), получаем˜2 () = () ,где () это матрица размера + 1, имеющая вид(︃)︃1 1 () =,0 1⎛23⎞⎛1 2! 3!21 2!⎜ 0 1 2⎟⎜⎜322! () = ⎝ 0 1 ⎠ , () = ⎜⎝0 0 1 0 0 10 0 0 1145(6.40)⎞⎟⎟⎟,⎠...(6.41)Введем характеризующие представление ˜2 числа , = 0, 1 так, чтобы было = 0 при = 0, а в противном случае = 1; и было = 0 при = 0, а в противном случае = 1.

Формулу (6.40) можно интерпретировать как запись представления ˜2 в виде тензорного произведения трехпредставлений, характеризуемых числами > 0, , = 0, 1 и вещественными ненулевыми коэффициентами , , . С учетом (6.34) это позволяетзаписать представление ˜ в виде˜ () = ˜1 () ⊗ () ⊗ () ⊗ (),(6.42)где 1 () = , 1 () = , 0 () = 0 () = 0 () = 1, и характеризовать его набором чисел {, , , } и размерными коэффициентами , ,.В соответствии со сказанным в разделе 6.2 (см.

после формулы (6.7)),теперь нужно совершить овеществление пространства представления 1(остальные тензорные множители в (6.42) уже действуют в вещественныхпространствах). В результате этого будет)︃(︃cos − sin ,(6.43) 1 () =sin cos т. е. 1 () является ортогональной матрицей. Используя произвол в выборе базиса, далее можно считать, что > 0.Далее необходимо выбрать набор представлений ˜ вида (6.42) так,чтобы для их прямой суммы (см.

текст перед формулой (6.34)) матрицу представления можно было бы записать в форме (6.5). Это, в частности, означает, что в подпространстве размерности на единицу меньшей,чем размерность всего пространства представления, эти матрицы должныбыть ортогональны или псевдоортогональны.Для того, чтобы выполнить это условие необходимо удвоить размерность пространства представления 1 , взяв прямую сумму одномерныхпредставлений с разными знаками (далее можно считать, что > 0),т.

е. взять(︃)︃01 () =.(6.44)0 −146Легко предъявить квадратичную форму, инвариантную относительно такого преобразования:(︃)︃0 1=⇒1 () (1 ()) = .(6.45)1 0Как хорошо известно, существует базис, в котором величины и 1 ()приобретают вид(︃)︃(︃)︃1 0ch sh =,1 () =,(6.46)0 −1sh ch т. е. 1 () оказывается псевдоортогональной матрицей. Отметим, чтобазис, в котором квадратичная форма имеет вид (6.45), соответствуетиспользованию светоподобных координат в псевдоевклидовом пространстве.Теперь рассмотрим матрицы ().

Можно показать, что задаваемыеими преобразования оставляют инвариантной квадратичную форму вида)︃(︃0 1,1 =−1 0⎛⎞⎞⎛0 0 0 10 0 1⎜ 0 0 −1 0 ⎟⎜⎟⎜⎟32 = ⎝ 0 −1 0 ⎠ , = ⎜⎟ , . . . (6.47)⎝ 0 1 0 0⎠1 0 0−1 0 0 0которая содержит чередующиеся числа +1 и −1 на антидиагонали. Длячетных эта квадратичная форма симметрична. Аналогично тому, как этоделается для двумерной квадратичной формы (6.45), переходя от светоподобных координат к лоренцевым, ее в этом случае можно привести кстандартному диагональному виду метрики пространства /2,1+/2 .

Поэтому для четных в некотором базисе матрицы () являются псевдоортогональными.Для нечетных же можно показать, что не существует инвариантной невырожденной симметричной квадратичной формы, поэтому ()не является ортогональной или псевдоортогональной матрицей. Однакоможно заметить, что в этом случае матрица () имеет вид (6.5), при147чем ее часть, соответствующая величине Λ из (6.5), совпадает с −1 (),а значит, в некотором базисе является псевдоортогональной матрицей.Поэтому оказываются допустимыми как четные, так и нечетные значения , но вариант с нечетным разрешен только для одного из слагаемых˜ , составляющих , и причем только если = = = 0 (иначе матрицупредставления будет нельзя записать в виде (6.5)).В результате при нечетных ( = 2 + 1) пространство представления˜ характеризуется набором чисел {0, 2 + 1, 0, 0} (причем такой вариантможет реализоваться не более чем в одном слагаемом в ) и являетсяпространством (2 + 2)-мерных векторов , на котором действие ˜ вида ′ = ˜ () записывается как′ = 2+1 () ,(6.48)где , = 1, .

. . , 2 + 2. Если = 0 (т. е. = 1), то из формулы (6.48)следует, что в таком случае трансляционная инвариантность по времениреализована с помощью сдвигов вдоль некоторого направления объемлющего пространства.При четных ( = 2) пространство представления ˜ характеризуетсянабором чисел {, 2, , }, и при = = 1 оказывается пространствомтензоров 1 ...

, причем1′1 ... = 1 1 . . . 2 ()()1 () 1 ... ,(6.49)где , , , = 1, 2. При обращении же в ноль каждого из чисел , тензор теряет соответствующий индекс или . В рассматриваемомслучае трансляционная инвариантность по времени реализована с помощью комбинации некоторых поворотов в объемлющем пространстве (этомогут быть обычные повороты, псевдоповороты (т. е. лоренцевы бусты)или повороты в светоподобной плоскости). Количество слагаемых в ,соответствующих этому случаю, может быть любым, но хотя бы в одномиз них должно быть нечетно (см. текст после формулы (6.37)), и хотябы в одном из них должно быть отлично от нуля , или , если случай{0, 2 + 1, 0, 0} не реализовался ни в одном из слагаемых в . Последнееусловие есть следствие требования отсутствия ядра у представления ,поскольку если оно нарушено, то будет (1 × ) = 1.148(︀ )︀Найдем теперь допустимый вид начального вектора 10 , входящего в(6.7).

Ранее уже было показано, что его проекция на пространство представления ˜ имеет форму (6.37). Для случая {0, 2 + 1, 0, 0} эта проекцияявляется (2 + 2)-мерным вектором вида(︃ )︃ℎ(6.50)0 =≡ 2+2 ,где последняя компонента равна некоторой размерной константе и может быть обращена в единицу умножением на последнего базисного элемента, в результате чего будет выполнено условие, приведенноев скобках после формулы (6.5). При этом последний столбец матрицы 2+1 () окажется умноженным на и станет размерным.Для случая же {, 2, , }, вследствие формулы (6.37) можно написать01 ... = 01 ... 0 ,(6.51)где 01 ... определено формулой (6.36), а 0 произвольно.

Следуетподчеркнуть, что направление вектора , через который определяется величина 01 ... , должно быть одинаковым для всех слагаемых , посколь(︀ )︀ку оно определяется подгруппой стабильности вектора 10 , см. (6.35).Поскольку мы предполагаем, что симметрией относительно обладает не только вся четырехмерная поверхность ℳ, но и ее трехмерныеподмногообразия, соответствующие фиксированным значениям параметра , начальный вектор 0 должен зависеть от , см.

текст после формулы(6.7). Произвол в выборе этой зависимости ограничивается требованиями, накладываемыми на величину 0 формулами (6.50) и (6.51). Приэтом константа не может зависеть от , поскольку должна существоватьвозможность обратить ее в единицу изменением базиса, а направлениевектора определяется подгруппой стабильности вектора 0 , и значит,тоже не может зависеть от . Не ограничивая общности, вектор можносчитать нормированным на единицу, поскольку в выражении (6.51) изменение его длины можно скомпенсировать перерастяжением величины0 , тогда оказывается постоянным вектором, поскольку его направление фиксировано (см. выше). В результате можно заключить, что всязависимость начального вектора 0 от сводится к тому, что произволь149ными функциями являются величины ℎ из (6.50) и 0 из (6.51). Приэтом в каждом слагаемом составляющей прямой суммы эти функциимогут быть выбраны независимо.Для удобства чтения сформулируем еще раз результаты, полученныев данном разделе.

Все четырехмерные поверхности ℳ в пространстве+ ,− , обладающие симметрией решения Шварцшильда, можно получить как множество точек , определяемых формулой(︃ )︃(︃)︃0= (), ∈ (3) × 1 ,(6.52)11где – представление, являющееся прямой суммой представлений ˜ вида (6.42), и 0 – начальный вектор. Одним из членов этой суммы может быть представление, характеризующееся набором чисел {0, , 0, 0}, = 2 + 1, оно определяется формулой (6.48). Проекция начального вектора 0 на пространство такого представления дается формулой (6.50)(см.

также замечание после этой формулы), входящая в нее величина ℎзависит от . Остальные члены суммы являются представлениями, характеризующимися наборами чисел {, , , }, = 2, они определяютсяформулой (6.49). Проекция начального вектора 0 на пространство такогопредставления дается формулой (6.51), в ней величина 0 зависит от, а 01 ... выражается через постоянный единичный вектор формулой(6.36).

Хотя бы в одном из представлений должно присутствовать нечетное , а также хотя бы в одном должно быть отлично от нуля , или.˜ конкретного представления ˜ в значениеНесложно найти вклад полной размерности объемлющего пространства, сводящейся к суммевсех таких вкладов. Для {0, 2 + 1, 0, 0} видно, что˜ = = 2 + 1,(6.53)с учетом того, что последняя компонента вектора (6.50) не должна учитываться, поскольку она всегда имеет фиксированное значение. А длянабора {, 2, , } из структуры индексов тензора 1 ...

можно заключить, что˜ = (2 + 1) ( + 1) 2+ = (2 + 1) (2 + 1) 2+ ,150(6.54)где использовано, что размерность пространства трехмерных симметричных неприводимых тензоров ранга равна 2 + 1.6.5Вложения в шестимерное пространствоРезультатами предыдущего раздела можно воспользоваться для тогочтобы описать все возможные типы обладающих симметрией (3) × 1вложений метрик невращающихся черных дыр в шестимерное плоскоепространство. Это было сделано в работе [96] и в результате были найдены следующие 9 типов функции вложения.

Характеристики

Список файлов диссертации