Диссертация (1145422), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Результат можно переписать уже без использования координат на поверхностях. В результате возникает действие, зависимость от скоростей которого сходна с записью122действия теории вложения в форме (4.6), см. подробности в работе [94].Поскольку координаты на поверхностях не вводятся, инвариантность относительно их замен отсутствует тоже и связи в каноническом формализме для теория разбиения не возникают. Однако для того, чтобы выразитьскорости через обобщенные координаты и импульсы необходимо решитьмногомерное кубическое уравнение, аналогичное (4.9), что в явном виде сделать нельзя. В результате оказывается, что, несмотря на отсутствиесвязей, канонический формализм для теории разбиения не является простым, поскольку не удается записать выражение для гамильтониана в явном виде.Проблема с невозможностью явно записать решение многомерногокубического уравнения возникала и для теории вложения, см.
раздел 4.2.Отличие только в том, что там речь шла не о выражении скоростей черезимпульсы, а о записи связи. В случае теории вложения ситуацию удалось улучшить с помощью дополнительного наложения эйнштейновскихсвязей, делающих теорию эквивалентной ОТО, см. раздел 3.5. Пока неисследовано, можно ли применить эту же идею для теории разбиения.Интересно отметить, что найденные уравнения движения (5.42),(5.43)инвариантны относительно преобразований (5.1), что несложно увидеть,используя формулы (5.10),(5.13),(5.14).
Таким образом, симметрию относительно "перенумерующих" поверхности преобразований (5.1) все жеможно считать физической, несмотря на то, что действие (5.29) по отношению к этим преобразованиям неинвариантно, эта ситуация уже обсуждалась в конце раздела 5.3.В работе [95] исследовалась возможность использования действия,инвариантного относительно преобразований (5.1). Такое действие имеетвид∫︁ = ( ( )),(5.58)где ( ( )) является составленной из поля ( ) и его производныхфункцией, скалярной как относительно преобразований (5.1), так и относительно преобразований Лоренца в объемлющем пространстве.
На самом деле можно использовать только производные от ( ), но не самоэто поле, поскольку оно, как уже упоминалось выше (см. замечание послеформулы (5.45)), не является тензором относительно (5.1). Если ограничиться только первыми производными, т. е. величиной , то построить123нетривиальный скаляр не удается, так что необходимо использовать какминимум вторые производные, т. е. обобщение второй основной формы˜ , определяемое формулой (5.47).
Простейшими составленными из неескалярными функциями (как относительно преобразований "перенумерации" поверхностей (5.1), так и преобразований Лоренца в объемлющемпространстве) являются квадратичные по ˜ выражения, они были проанализированы в работе [95]. Одним из таких выражений является скалярная кривизна поверхности .Если взять действие теории в явно инвариантной относительно преобразований (5.1) форме (5.58), то уравнения теории оказываются сильно отличающимися от уравнений Эйнштейна (см. подробности в работе [95]). При этом взаимодействие между разными поверхностями оказывается сильным и возмущения уже не распространяются вдоль поверхностей, так что такая модель оказывается неудовлетворительной для описания гравитации в нашем четырехмерном пространстве-времени.
Для получения удовлетворительного результата необходимо все-таки включатьв действие нарушающий явную инвариантность относительно (5.1) мно√житель , как это было сделано в разделе 5.3, см. формулу (5.29). Приэтом к умножающейся на него скалярной функции можно добавлять смалыми коэффициентами и другие возможные скалярные функции, еслинеобходимо как-то модифицировать теорию, вводя в том числе, возможно, слабое взаимодействие между поверхностями.Подводя результаты данной главы, можно заключить, что теория разбиения, являясь теорией поля ( ) в плоском пространстве 1, −1 , привыборе действия в виде (5.29) может использоваться для описания гравитации наравне с изложенной в главах 3 и 4 теорией вложения.
В теории разбиения поля материи удовлетворяют обычным уравнениям движения, а в качестве уравнений гравитационного поля возникают уравнения Редже-Тейтельбойма. Это означает, что все возмущения будут распространятся только вдоль поверхностей ℳ, а все решения уравненийЭйнштейна будут являться решениями уравнений движения полученнойтеории. При = 10 для теории разбиения можно использовать те жеспособы сделать эту теорию эквивалентной ОТО, которые применялисьдля этой цели в теории вложения – это наложение дополнительных связей либо учет существования периода инфляции в развитии Вселенной,см. разделы 3.5,3.6.124Глава 6Построение явныхвложенийВ данной главе предлагается метод построения явных изометрических вложений для метрик, обладающих достаточно большой симметрией. Метод применяется для классификации обладающих соответствующей симметрией вложений невращающихся черных дыр.
Для метрикиШварцшильда он позволяет построить как все известные ранее вложения в шестимерное пространство, так и два новых. Для метрик другихневращающихся черных дыр, обладающих зарядом и/или рассматриваемых в присутствии космологической постоянной, систематически исследован вопрос о существовании глобальных (т. е. гладких при всех значениях радиуса > 0) вложений в шестимерное пространство, все возникающие в результате применения метода вложения являются новыми.Также с помощью предложенного метода удается получить все известные вложения метрик моделей Фридмана в пятимерное пространство.Изложенные в этой главе результаты опубликованы в работах [96–100].6.1Цели и историяВ предыдущих главах использовался тот факт, что риманово или псевдориманово пространство может быть изометрически вложено в плоскоепространство соответствующего числа измерений, см. раздел 3.2. Приэтом явный вид такого вложения до сих пор не играл особой роли, былодостаточно только его существования.
Однако в некоторых случаях оказывается полезным знать, какой вид имеет функция вложения ( ) для125конкретных, чем-либо интересных метрик, например для интересных сфизической точки зрения решений уравнений Эйнштейна.Если метрика ( ) известна, то задача построения вложения для соответствующего ей (псевдо)риманова пространства сводится к решениюотносительно неизвестной функции ( ) системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных:(︀)︀(︀)︀ = .(6.1)Это уравнение, естественно, соответствует формуле для индуцированнойметрики (2.4), а здесь, как всегда – это плоская метрика объемлющегопространства.
Минимально возможное значение размерности объемлющего пространства , для которого уравнение (6.1) имеет решение, азначит существует, хотя бы локально (т. е. в некоторой конечной области)функция вложения ( ), определяет класс вложения= −(6.2)метрики, где – размерность вкладываемого (псевдо)риманова пространства. Класс вложения является инвариантной характеристикой (псевдо)риманова пространства, чем большей симметрией оно обладает, темменьше его класс вложения, см. [101].Проблема построения вложений для различных решений уравненийЭйнштейна начала обсуждаться очень давно, почти сразу после появления ОТО.
Цели такого построения могут быть разными. Явныйвид вложения может быть полезен для лучшего понимания геометриипространства-времени, особенно хорошо это видно на примере вложенияФронсдала [24] метрики Шварцшильда. Это вложение сыграло свою рольпри построении известных координат Крускала-Шекереса, см.
замечаниев конце работы [24]. Некоторые подробности о вложении Фронсдала приведены в разделе 6.5. Существование вложения может применяться длярешения некоторых задач, не связанных с вложениями напрямую, например, для нахождения точных решений уравнений Эйнштейна, см. [101].Явный вид вложений в некоторых случаях может быть также полезенпри формулировке гравитации в виде обсуждавшейся в предыдущих главах теории вложения, а также при попытках связать квантовые эффекты в126псевдоримановом пространстве и в плоском пространстве, в которое оновложено (см.
[10]), подробнее такой подход будет обсуждаться в главе 7.Построению вложений посвящено достаточно много работ, в основном для = 4. Важным результатом является теорема Казнера, утверждающая, что вакуумное решение уравнений Эйнштейна (соответствующее нулевому тензору Эйнштейна) не может быть вложено в пятимерное объемлющее пространство, т. е. имеет класс вложения больше единицы [102].
Большое количество конкретных вариантов вложений приведены в работах [80, 103], многие возникающие при построении вложенийвопросы обсуждаются в работе [104].C физической точки зрения наиболее интересными являются решенияуравнений Эйнштейна, соответствующие статическому сферически симметричному, а также однородному и изотропному распределениям материи. Первый случай хорошо описывает гравитационное поле сферических тел и такие интересные объекты как невращающиеся черные дыры,а второй позволяет описывать динамику вселенной в целом в рамках космологических моделей Фридмана.Вопрос о построении для этих случаев явных вложений в плоскоеобъемлющее пространство начал исследоваться по прошествии весьманебольшого времени после создания ОТО. Вложения для всех трех моделей Фридмана (закрытой, открытой и пространственно-плоской) былинайдены в работе Робертсона в 1933 году [22], при этом объемлющеепространство было пятимерным, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
