Диссертация (1145422), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Также удобно объединить связи Ψ и Ψ4 , введя индекс , принимающий значения 1, 2, 3, 4, поскольку несмотря на разнуюприроду этих связей (Ψ4 – первичная связь, а Ψ содержит наложеннуюдополнительно связь ℋ ) их действие на переменные, как будет видно,обладает сходным геометрическим смыслом. Будем использовать обозна91чения∫︁∫︁∫︁Φ ≡ 3 Φ () () = 3 ˆ ,ℋ0 ≡ 3 ℋ0 () (),∫︁Ψ ≡ 3 Ψ () () =∫︁(︁)︁ ∫︁ˆ + ˆ + 4 = 3 , (4.22)= 3 где введено обозначение для дифференциального оператора:4 = .ˆ + ˆ , = (4.23)Прежде всего выясним геометрический смысл трех связей Φ , для чеговычислим их действие на независимые переменные. Несложно найти, что{︃}︃ () (){Φ , ()} = () (),Φ , √︀= () √︀, (4.24)−ˆ ()−ˆ ()где {·, ·} – скобки Пуассона.

Это означает, что Φ генерирует преобразование → + () трехмерных координат на поверхности постоянного времени ℳ̂ (следует отметить, что обобщенный импульс являетсятрехмерной скалярной плотностью). Поскольку все связи (4.22) представляют собой ковариантные (в трехмерном смысле) выражения, можно сразу записать действие на них связей Φ :∫︁(︁)︁ˆ ˆ 3(4.25){Φ , Φ } = − Φ − ,{Φ , Ψ } = −∫︁3(︁ Ψ{︀Φ , ℋ0}︀(︁)︁)︁4 ˆˆ + + Ψ 4 ,=−∫︁3 ℋ0 .(4.26)(4.27)Теперь выясним геометрический смысл четырех связей Ψ . Несложнопроверить, что{Ψ , ˆ ()} = 0,92(4.28)т.

е. связи Ψ генерируют преобразования, являющиеся изометрическими изгибаниями поверхности ℳ̂ (подчеркнем, что это верно как для Ψ ,так и для Ψ4 ). Следует отметить, что количество обнаруженных генераторов трехмерных изометрических изгибаний (четыре) соответствуетсравнению числа независимых компонент трехмерной метрики (шесть) иразмерности пространства, в которое вложена в данном случае трехмерная поверхность (десять).Полезно вычислить действие связей Ψ на величину ≡ − /2.(4.29)Вычисление дает довольно длинное выражение, каждое слагаемое которого пропорционально одной из связей Ψ .

Таким образом, при действиисвязи Ψ величина не изменяется, если Ψ = 0. Поскольку ℋ0 и ℋвыражаются через величины ˆ и (см. (4.21)), можно сразу заключить (учитывая (4.26)), что скобка Пуассона связи Ψ со связями Ψ и ℋ0сводится к линейной комбинации связей. В результате достаточно громоздких вычислений можно получить точный результат действия связейΨ на прочие связи:∫︁)︁(︁3(4.30){Ψ , Ψ } = Ψ Ψ Ψ − Ψ Ψ Ψ ,{︀}︀Ψ , ℋ0 =∫︁3(︁ΨΨ ℋ0−ℋ0Ψ Ψ)︁,(4.31)где величина(︀)︀ˆΨ = Ψ − Ψ4 (4.32)представляет собой линейную комбинацию связей Ψ , являясь при этом(как и , см. (4.23)) дифференциальным оператором. Также использованы обозначенияΨ() = {Ψ , ()} = (),{︀ 0 }︀¯ ℋℋ , () = 0 () =93(4.33)для результатов действия связей на независимую переменную (), где ¯ ,¯ = − √κ −ˆ(4.34)представляет собой величину, обратную к в шестимерном подпространстве, ортогональном поверхности ℳ̂ и вектору : ¯ = Π̂⊥ − (4.35)(использованы формулы (4.18),(4.19),(3.51)).Для завершения нахождения полной алгебры связей остается вычислить только скобку Пуассона связи ℋ0 с ней самой.

Это вычисление оказывается самым громоздким, в результате получается:(︃∫︁{︀ 0 0 }︀ℋ , ℋ = 3 ℋ0 Ψ ℋ0 − ℋ0 Ψ ℋ0 ++ Ψ − ˆ Φ(︀)︀(︁ˆ − ˆ )︁)︃. (4.36)Формулы (4.25)-(4.27),(4.30),(4.31),(4.36) дают точный вид алгебры связей первого рода для формулировки гравитации Редже-Тейтельбойма. Следует отметить, что результаты вычисления скобок Пуассона(4.30),(4.31) и, частично, (4.36) имеют сходную структуру. Причина этогонеясна.В соответствии со сказанным после формулы (4.17), обобщенный гамильтониан формулировки гравитации Редже-Тейтельбойма можно записать в виде∫︁(︀)︀gen = 3 Φ + Ψ + 0 ℋ0 ,(4.37)где , , 0 – соответствующие восьми связям первого рода множителиЛагранжа.Как видно из формулы (4.30) (с учетом (4.32)), четыре связи Ψ , генерирующие изометрические изгибания поверхности ℳ̂, образуют подалгебру полной алгебры связей, в том смысле, что их скобки Пуассона другс другом сводятся к их линейной комбинации.

Более того, видно, что ктакой линейной комбинации сводятся также скобки Пуассона связей Ψ94со всеми прочими связями (поэтому можно сказать, что они образуютидеал), а значит, и с гамильтонианом (4.37). Это означает, что будучи наложенными, связи Ψ остаются выполненными со временем, независимоот выполнения прочих связей.Если рассмотреть динамику системы при выполненных связях Ψ =0, то она будет задаваться гамильтонианом∫︁∫︁(︀ )︀(︀)︀gen30˜ = Φ + 0 ℋ = 3 − ℋ + 0 ℋ0 =(︃(︂ )︂∫︁√︀ˆ √−= 3 −2 −ˆ−ˆ√(︂)︂)︃2κ ˆ¯ , − −ˆ−0 √ , (4.38)2κ−ˆгде Φ было выражено через ℋ , и были использованы формулы (4.21)и определенная формулой (4.29) величина . Этот гамильтониан, какфункционал величин ˆ и в точности совпадает с известным выражением для гамильтониана в формализме АДМ, причем, как несложно проверить, указанные величины оказываются канонически сопряжены другдругу при Ψ = 0 (следует отметить, что это условие необходимо толь{︀}︀ко для равенства нулю скобки Пуассона (), (˜) ).

Таким образом динамика формулировки гравитации Редже-Тейтельбойма на поверхности связей Ψ = 0 совпадает с динамикой гравитации в формализмеАДМ.Поскольку четыре из восьми связей, входящих в гамильтониан (4.37),не возникли при построении канонического формализма, а были наложены искусственно и добавлены к гамильтониану со своими множителямиЛагранжа, порождаемые этим гамильтонианом уравнения движения могут не воспроизводить в точности исходные уравнения теории вложения,а содержать в качестве дополнительных переменных некоторые из множителей Лагранжа.Наличие восьми связей первого рода означает присутствие в теориивосьмипараметрической калибровочной симметрии, в то время как в исходной теории вложения есть только четырехпараметрическая калибровочная группа, соответствующая замене координат на поверхности ℳ.Это значит, что дополнительные преобразования симметрии должны затрагивать дополнительные переменные – множители Лагранжа.95Можно предположить, что при некотором способе фиксации возникшего дополнительного калибровочного произвола, т.

е. при наложениинекоторых условий на появившиеся в уравнениях движения множители Лагранжа, эти уравнения совпадут с уравнениями теории вложения,а значит, с учетом выполнения связей, и с уравнениями Эйнштейна. Вследующем разделе будет показано, что это действительно так.4.4Действие теорииПостроим действие, соответствующее гамильтониану (4.37), для которого эйнштейновские связи будут возникать как часть уравнений ЭйлераЛагранжа. Для этого вычислим величину ˙ : gen=˙ =(︀)︀¯ , . (4.39)ˆ − 0 √κ = + ˆ + 4 + −ˆСворачивая это равенство с величиной ˆ и используя ее свойства иформулы (4.18), (3.51), можно найти соотношение√(︂)︁)︂(︁−ˆ ,1 ˆ + ˆ ˙ ˆ −.(4.40) = −κ02Подставляя соотношения (4.39) и (4.40) в преобразование Лежандра, связывающее лагранжиан и гамильтониан теории, несложно получить выражение для искомого действия:(︂∫︁)︂∫︁03gen = ˙ − =(︂)︂∫︁κ0 ¯0 √︀4 ˆ == − √ , −−ˆ2κ2 −ˆ∫︁√︀1=−4 −ˆ×2κ[︃ (︃)︃(︃)︃]︃ˆˆˆˆ1 + , ˆ + ˆ .(4.41)×˙ ˆ −˙ −+0 022Видно, что в это действие вместе с исходными переменными теории вошли в качестве дополнительных независимых переменных множители96Лагранжа и 0 .

Следовательно, они войдут и в полученные из действия (4.41) уравнения движения. Это приводит к тому, что такие уравнения движения не воспроизводят в точности исходные уравнения теориивложения (3.11).Соответствующие действию (4.41) уравнения движения не накладывают никаких ограничений на развитие во времени переменных ,0 ,поскольку они являются множителями Лагранжа. Эти переменные могутбыть приведены к любым значениям с помощью дополнительных калибровочных преобразований, о которых говорилось выше.Сравнивая выражение (4.41) с исходным действием (4.6), легко увидеть, что они совпадут, если наложить на множители Лагранжа ,0условия√︁1(4.42) = 0,0 = ˙ Π̂⊥ ˙ = √︀ 00(использовано равенство (4.5)).

Это означает, что если в полученных издействия (4.41) уравнениях движения в качестве частичной фиксации калибровки потребовать выполнения условий (4.42), то эти уравнения превратятся в уравнения теории вложения (3.11), дополненные эйнштейновскими связями (последние возникнут в результате варьирования действияпо переменным ,0 ). Как было показано выше, если начальные данныенаходятся в ситуации общего положения, то такая совокупность уравнений оказывается эквивалентна уравнениям Эйнштейна.Таким образом, можно сказать, что теория, эквивалентная ОТО Эйнштейна, может быть получена как результат частичной фиксации калибровки в обладающей восьмипараметрической калибровочной симметриейобобщенной теории вложения с действием (4.41).Интересно отметить, что действие (4.41) с точностью до внеинтегральных членов может быть записано в виде исходного действияЭйнштейна-Гильберта∫︁√︀1(4.43)=−4 − ′ ( ′ ),2κ97′подставить не индуцированное выраесли в него в качестве метрики жение (2.4), а его следующую модификацию:′= ˆ = ,′0= 0 − ,′′′00= 02 +0ˆ 0, (4.44)откуда следует, что ′00 = 12 .

Для того чтобы это увидеть, нужно действие0′(4.43) переписать в форме (4.3), заменяя на и применяя формулу ′ = ˆ′ / ′00 :]︃[︃∫︁√︁1 ˆ ′114 −ˆ′ √︀ ( ′ ), ( ′ ) ( ′ ) + √︀( ) .(4.45)=−2κ ′00 ′00Далее воспользуемся известным соотношением:√︀ (︁)︁ 00ˆˆ =−0 + 0 + 0 .2(4.46)′Если записать его для и использовать (4.44), получим√︀)︁ ′00 (︁′′′ˆˆ ( ) =−0 ˆ + 0 + 0 =2)︁1 (︁ˆˆˆˆ−0 + 0 + 0 − − . (4.47)=20Снова используя (4.46), это равенство можно продолжить:ˆ + ˆ √︀ ( ) =−.200 00′(4.48)Теперь, применяя следующее из формул (2.64),(2.73) равенство√︀ = 00 ˙ ˆ ,(4.49)получаем формулу ( ′ ) =10(︃ˆ + ˆ ˙ ˆ −2)︃,(4.50)подставляя которую в (4.45) и учитывая формулы (4.44) и тот факт, чтоˆ ′ ) = ()ˆ, ( ′ ) = , (), ((где – индуцированная метрика)несложно увидеть, что результат совпадает с формулой (4.41).98Как уже говорилось выше, рассматриваемая теория с независимыми переменными , , 0 , действие которой можно записать в виде (4.43), обладает восьмипараметрической калибровочной симметрией.′оказывается инвариантом относительно четыВидно, что величина рех преобразований из этих восьми, генераторами которых в каноническом формализме являются связи Ψ .

Характеристики

Список файлов диссертации