Диссертация (1145422), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Интересно отметить, что в работах [11,76] этаидея возникала независимо. Исследования теории вложения продолжаются и в последние годы, см., например, работы [77, 78]. Среди недавнихработ, использующих идею вложения, можно отметить работу Л.Д. Фаддеева [19], в которой было предложено считать независимой переменнойнеквадратный репер (см. (2.1)) вместо функции вложения .В рамках идеи вложения пространства-времени в плоское объемлющее пространство делаются также попытки связать квантовые эффекты впространстве-времени и в объемлющем пространстве [27, 79] (см. такжелитературу, цитируемую в разделе 7.4), исследование этой задачи проводится ниже, в главе 7.
Для установления указанной связи строятся явные65вложения физически интересных решений уравнений Эйнштейна, см., например, работы [80, 81], а также подробное обсуждение такой проблемыв главе 6. Подробный (но уже несколько устаревший) список литературы, связанной с теорией вложения и смежными с ней вопросами, можнонайти в обзоре [15].Подход к гравитации как к теории поверхности именно в плоскомобъемлющем пространстве – теории вложения – может оказаться болееудобным по сравнению с обычным при попытках построения квантовойтеории гравитации, как обсуждалось в предыдущем разделе. В частности,может иметь естественное решение упоминавшаяся там проблема выбора времени: роль "физического" времени для теории вложения может играть времениподобная координата объемлющего пространства.
Следует,однако, отметить, что данный вопрос требует подробного исследования,поскольку канонический формализм для теории вложения в общем случае оказывается очень сложным, см. главу 4. Еще одна упоминавшаясяпроблема – формулировки принципа причинности – тоже может быть решена при развитии теории вложения. Описывая гравитацию как теориючетырехмерной поверхности в плоском объемлющем пространстве, можно попытаться найти такую квантовую теорию поля в этом пространстве,которая в классическом пределе воспроизводила бы теорию поверхности. Тогда вопрос о формулировке принципа причинности будет решен,так как причинность в плоском объемлющем пространстве можно задатьобычным для квантовой теории поля образом.При этом разумно сначала сформулировать классическую теорию гравитации как некоторую классическую теорию поля в плоском пространстве, а потом применить к ней привычную процедуру квантования, получив квантовую теорию гравитации, лишенную описанных выше проблем.Пример теории поля в плоском пространстве, описывающей множествоневзаимодействующих четырехмерных поверхностей, предлагается и обсуждается в главе 5.
Каждая из указанных четырехмерных поверхностейудовлетворяет тем же уравнениям, что и в теории вложения, и можетрассматриваться как наше пространство-время.663.3Уравнения движения теории вложенияПокажем, как выводятся уравнения движения теории вложения. Вданной главе сигнатуру объемлющего пространства 1,9 выберем в виде(+, −, −, · · · , −). Следуя идее Редже и Тейтельбойма в качестве действиятеории возьмем стандартное выражение Эйнштейна-Гильберта с включением материи)︂(︂∫︁14 √(3.7) = − − + ℒ ,2κгде ℒ – скалярная величина, определяющая вклад в действие полейматерии.
Независимая переменная () входит в действие только посредством , поэтому при варьировании () действие может менятьсятолько через изменение . Если воспользоваться результатом, возникающим при выводе уравнений Эйнштейна, можно сразу написать∫︁√1(3.8)4 − ( − κ ) , =2κгде – тензор энергии-импульса материи. Следует отметить, что дляполучения этой формулы необходимо отбросить возникающие поверхностные члены, для чего нужно предположить, что на границах интегрирования вариация обращается в ноль вместе со своей первой производной. Записывая вариацию метрики в (3.8) с помощью (2.4) в виде = + (3.9)и интегрируя по частям, опять отбросив поверхностные члены, получаем∫︁(︀)︀√1 = −4 − ( − κ ) .(3.10)κВ результате уравнения теории вложения, называемые также уравнениями Редже-Тейтельбойма, имеют вид(︀)︀ ( − κ ) = 0.(3.11)Это десять уравнений, получающиеся в результате варьирования по десяти компонентам функции вложения .
Однако, из геометрических сооб67ражений понятно, что если брать вариацию в виде касательного вектора, то такая деформация поверхности не меняет ее геометрии, а лишьсоответствует замене координат на ней, что не может изменить действие.Поэтому четыре из уравнений (3.11), соответствующие таким вариациямдолжны выполняться тождественно.
Это действительно так. Уравнения(3.11) можно переписать в виде совокупности уравнений(︀)︀ ( − κ ) Π = 0,(3.12)(︀)︀ ( − κ ) Π⊥ = 0.(3.13)Первое из них, с учетом (2.16), эквивалентно записывается в виде − κ = 0,(3.14)и выполняется тождественно вследствие тождества Бьянки и выполненияуравнений движения материи. Таким образом остается только шесть независимых уравнений теории вложения (3.13), которые, используя (2.31),можно переписать в виде( − κ ) = 0.(3.15)Нужно помнить, что величина по своему индексу направлена ортогонально касательной плоскости, поэтому (3.17) представляют собойтолько шесть независимых уравнений.Как видно из записи (3.15), уравнения Редже-Тейтельбойма являются более общими, чем уравнения Эйнштейна, поскольку только шесть изуравнений (3.15) независимы, а уравнения Эйнштейна – это десять уравнений, связанных только четырьмя дифференциальными, но не алгебраическими уравнениями.
Любое решение уравнений Эйнштейна являетсярешением уравнений теории вложения, но не наоборот. Уравнения (3.15)содержат "лишние" решения по отношению к уравнениям Эйнштейна, очем уже упоминалось выше.Поскольку наличие материи не играет в дальнейших рассужденияхпринципиальной роли, далее для простоты будем рассматривать гравитационное поле в отсутствие материи, ограничиваясь использованием вы-68ражения для действия1=−2κ∫︁4 √− .(3.16)Тогда уравнения Редже-Тейтельбойма сводятся к вакуумным уравнениям = 0.(3.17)Перепишем это уравнение, воспользовавшись формулой (2.44) в виде: = 0(3.18)и рассмотрим получившееся уравнение с точки зрения количества имеющихся в нем дифференцирований поля .
С помощью (2.30) видно, что(3.18) представляет собой кубическое уравнение по вторым производнымот с коэффициентами, неполиномиально зависящими от их первыхпроизводных. В целом уравнение (3.18) не содержит производных вышевторых. Таким же свойством обладают и уравнения Эйнштейна в отсутствии материи, если записать их в терминах : = 0.(3.19)Этот факт кажется несколько неожиданным, поскольку в терминах метрики уравнения Эйнштейна содержат вторые производные от , а метрикаполучается из функций вложения дифференцированием (см.
(2.4)).В частности, уравнения теории вложения (3.18) не содержат производных по времени 0 от функции вложения выше вторых. Это означает, что теория вложения обладает обычной динамикой – для заданияначальных данных достаточно в начальный момент зафиксировать значения функции вложения и ее первой производной по времени. Интересно также отметить, что вторые производные по времени от входят вуравнения теории вложения (3.18) только линейно.Обычный вид динамики теории вложения подсказывает, что действиетеории может быть переписано в виде, не содержащем производных повремени от выше первых. Это действительно так. Соответствующеевыражение для действия, аналогичное записи действия, лежащей в основе формализма АДМ, будет получено в главе 4.
Сейчас лишь отметим,что воспользовавшись формулой (2.45) легко увидеть, что в форме (3.16)69действие не содержит производных по времени от выше вторых, авторые производные входят в него только линейно.Как уже говорилось выше, уравнения движения теории вложения содержат "лишние" решения, не соответствующие ОТО. Поэтому возникаетвопрос: нельзя ли исключить эти лишние решения, вводя в теорию некоторые дополнительные ограничения. Редже и Тейтельбойм в работе [1]предложили в дополнение к уравнениям движения, полученным из действия, искусственно наложить часть уравнений Эйнштейна⊥ = 0,(3.20)(обобщение на случай присутствия материи трудностей не вызывает) гдесимвол ⊥ означает направление, ортогональное поверхности постоянноговремени.
Эти четыре дополнительных уравнения вместе с шестью уравнениями (3.17) оказываются, по крайней мере в ситуации общего положения, эквивалентными десяти уравнениям Эйнштейна. Однако, как было отмечено в опубликованной почти сразу после [1] работе [10], искусственное, ad hoc, введение в теорию дополнительных уравнений выглядит не слишком привлекательно. Несколько лучше выглядит возможностьпредъявить действие, для которого эйнштейновские связи возникают какчасть уравнений Эйлера-Лагранжа. Построение такого действия описывается в разделе 4.4, а в разделе 4.5 обсуждается, какой смысл можетиметь существование в каноническом формализме дополнительных связей первого рода.Аккуратному исследованию в общем случае необходимых и достаточных условий эквивалентности уравнений теории вложения уравнениямЭйнштейна посвящены следующие два раздела.
Для проведения такогоисследования оказывается удобно рассматривать уравнения теории вложения как определяющие развитие системы во времени, для чего будутиспользоваться формулы из раздела 2.6, позволяющие описывать трехмерные подмногообразия четырехмерного пространства-времени. Обсуждение вопроса о лишних решениях в некоторых специальных случаях, нобез наложения дополнительных условий, проводится в разделе 3.6.703.4Эйнштейновские связиЧтобы сравнить уравнения Редже-Тейтельбойма (3.17) с уравнениямиЭйнштейна, возьмем последние в форме (3.19) и перепишем их в видесоотношения между тензорами объемлющего пространства: ℎ ℎ = 0,(3.21)где, как всегда, ℎ = ℎ , и использована величина (2.48).
Выделимодно из уравнений Эйнштейна, свернув уравнение (3.21) с величиной , где – определенный формулой (2.59) вектор единичной нормалик ℳ̂ в ℳ, а ℳ̂ – трехмерная поверхность фиксированного времени 0 =. В результате, учитывая (2.60), получаем равенствоˆ ˆ ℎ ℎ = 0,(3.22)которое можно переписать в виде(︀)︀ˆ ˆ − ˆ ˆ ℎ ℎ = 0,(3.23)или, вводя полезное в дальнейшем обозначение, = ˆ ˆ −)︀1 (︀ ˆ ˆ + ˆ ˆ ,2, = , = , ,(3.24)в виде, ℎ ℎ = 0.(3.25)Используя формулы (2.71), (2.69), (2.57) и определение тензора кривизныˆ , аналогичное равенству (2.38), это уравнение можно записать такжев видеˆ = 0.,ˆ ˆ − (3.26)Теперь возьмем еще три из уравнений Эйнштейна, свернув уравнение(3.21) с величиной ˆ :ˆ ˆ ℎ ℎ = 0.71(3.27)Используя свойства формы объема и равенство (2.57), можно заметить,что)︁(︁ ˆ ˆ ℎ (3.28)ˆ = ˆ Π̂ ℎ + Π̂ℎ .Вследствие этого уравнение (3.27) можно переписать в видеˆ ˆ ˆ ℎ ℎ = 0,(3.29)а затем в форме(︀)︀ˆ ˆ − ˆ ˆ ℎ ℎ = 0.(3.30)Далее, используя соотношения (2.28), (2.23), (2.56), (2.57) и (2.94), заметим, чтоℎ = Πℎ = Π⊥ ℎ = Π̂⊥ ℎ ,(3.31)вследствие чего уравнение (3.30) можно записать как(︀)︀ˆ ˆ − ˆ ˆ ˆ = 0.(3.32)Применяя тождество)︁)︁(︁(︁(︀)︀ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ =ˆ ˆ − Π̂⊥ ˆ ˆ − ˆ ˆ = Π̂⊥ ˆ ˆˆ ˆ = 0,= Π̂⊥ ˆ ˆ (3.33)в котором использована формула (2.31), уравнения (3.32) можно окончательно записать в виде(︁)︁, ˆˆ = 0,(3.34)где использовано обозначение (3.24).Легко заметить, что четыре из уравнений Эйнштейна, записанные ввиде одного уравнения (3.26) и трех уравнений (3.34), не содержат производных по времени от () выше первых, причем такие производныевходят в уравнения только через величину .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
