Диссертация (1145422), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Однако,как показывает пример, рассмотренный в разделе 1.3, в некоторых случаях изменение теории может не происходить и при фиксации калибровкив действии. Таким свойством обладает имеющий вид частичной фиксации калибровки переход к "внешнему" времени для теории вложения, см.раздел 4.6.37Глава 2Формализм теориивложенияВ данной главе излагается формализм теории вложения – математический аппарат, позволяющий удобно описывать геометрические характеристики поверхностей, изометрически вложенных в плоское объемлющее пространство, а также их подмногообразий.
Такой формализм облегчает проведение вычислений при описании гравитации в виде теориивложения. С помощью предложенного формализма удается достаточнопросто доказать многие известные соотношения, связывающие геометрические характеристики римановых пространств и их подмногообразий. В частности – формулу связи скалярных кривизн, лежащую в основеканонического описания ОТО в формализме Арнавитта-Дезера-Мизнера(АДМ) [58]. Изложенный в данной главе формализм будет широко использоваться в большинстве последующих глав. В сокращенном виде онприведен в работах [59–61], а в более полном – в книге [62].2.1Описание поверхности в плоскомпространствеРассмотрим произвольную гладкую -мерную поверхность ℳ в плоском псевдоевклидовом -мерном пространстве + ,− с + времениподобными и − пространственноподобными направлениями, + + − = > .
Будем использовать лоренцевы координаты в + ,− , в которыхметрика этого пространства имеет вид = {, . . . , , −, . . . , − },⏟ ⏞⏟⏞+38−где индексы , , . . . пробегают значений, а = ±1. Здесь специально не фиксирован выбор знака , чтобы полученные в этой главе формулы можно было использовать при обоих способах выбора сигнатуры,поскольку оба они могут применяться при описании гравитации.Введем на поверхности ℳ координаты (индексы , , . . . в этойглаве будут пробегать значений). Тогда ее можно описывать с помощьюфункции вложения ( ).
Такое описание однозначно с точностью до замены координат на поверхности. Под гладкостью поверхности ℳ обычнобудем понимать аналитичность функции ( ), хотя, в принципе, обычно достаточно требовать от нее лишь существования производных по некоторой конечной степени. Поскольку в данной главе поверхность будет рассматриваться только локально, можно считать, что ℳ имеет тривиальную топологию.Описание поверхности ℳ в + ,− с помощью функции вложения ( ) обладает инвариантностью относительно преобразований координат на поверхности.
Относительно этих преобразований компоненты функции ( ) ведут себя как скалярные величины. Поэтому можнорассматривать функцию ( ) как заданное в римановом пространствемногокомпонентное поле, обладающее индексом глобальной внутреннейсимметрии (+ , − ), соответствующей псевдоповоротам объемлющего пространства + ,− .Вследствие скалярного характера величины ( ) ее ковариантнаяпроизводная совпадает с обычной = ≡ .(2.1)Величина напоминает репер, используемый при реперном описаниигравитации (см., например, [63]), но отличается от обычного репера тем,что ее индекс пробегает больше значений чем индекс . Поэтому ее логично назвать неквадратным репером. Такую величину можно рассматривать как совокупность (при фиксированных значениях индекса )векторов объемлющего пространства. Эти векторы образуют базис (вообще говоря, неортогональный) в подпространстве, касательном к поверхности ℳ в данной точке.
В то же время, при фиксированном есть поиндексу вектор риманова пространства, преобразующийся соответствующим образом при замене координат на ℳ. Величина задает линейноеотображение между пространством римановых векторов, несущих рима39нов индекс , и касательным пространством к поверхности ℳ в плоскомпространстве + ,− в данной точке, вектора которого несут индекс объемлющего пространства: = .(2.2)Эта формула позволяет пересаживать векторы (и аналогично – тензорылюбых рангов) из риманова пространства в объемлющее.Найдем, какую метрику индуцирует на поверхности постоянная псевдоевклидова метрика объемлющего пространства . Индуцированностьметрики (см., например, [64]) означает, что расстояние между бесконечно близкими точками поверхности определяется как расстояние междуэтими точками в объемлющем пространстве:( ( + ) − ( ))( ( + ) − ( )) = , (2.3)откуда находим выражение для индуцированной метрики = = = ( ) ( ) .(2.4)Как видно, выражение метрики через функцию вложения содержит дифференцирование.Оказывается удобным ввести величину, в некотором смысле обратную к реперу .
Для этого, как обычно, введем обратную метрику ,используя формулу = ,(2.5)и заметим, что индексы объемлющего пространства поднимаются и опускаются с помощью постоянной метрики и обратной к ней . Назовемобратным репером величину = .(2.6)Она обратна к в том смысле, что = = = .40(2.7)При фиксированных значениях величина , как и , задает базисв касательном пространстве к ℳ в данной точке. Поэтому с ее помощью можно осуществлять обратное пересаживание векторов (и тензоров) объемлющего пространства в риманово пространство, в процессекоторого происходит проецирование: = .(2.8)Формулы (2.2) и (2.8) задают взаимно однозначное соответствие междупространством римановых векторов и касательным пространством к поверхности ℳ в объемлющем пространстве для данной точке.Легко заметить, что обратная метрика может быть легко выраженачерез обратный репер: = .2.2(2.9)Связность и ковариантноедифференцированиеНайдем теперь правило ковариантного дифференцирования и связность Γ в терминах функции вложения.
Потребуем, чтобы выполнялосьусловие = 0,(2.10)т. е. чтобы метрика была ковариантно постоянна. Тогда, используя (2.4),находим, что = − .(2.11)С другой стороны, потребуем выполнения условия отсутствия кручения,т. е. симметричности связности:Γ − Γ = 0.(2.12)Тогда, учитывая соотношение = − Γ = − Γ ,41(2.13)можно заключить, что = .(2.14)Рассмотрим тензор = . Вследствие соотношений (2.11) и(2.14) для него верны равенства = − , = .(2.15)Такими свойствами тензор может обладать, только если он равен нулю, азначит = 0.(2.16)Это важное свойство неквадратного репера теории вложения.
В отличиеот используемого в теории гравитации обычного репера, полная ковариантная производная которого равна нулю (см., например, [63]), ковариантная производная величины обращается в нуль только после проецирования на касательное пространство.Свойство (2.16) позволяет найти выражение для связности из формулы (2.13)Γ = = .(2.17)Но в данном формализме, что является его несомненным удобством, ввычислениях можно обходиться без такой нековариантной величины каксвязность. Обычно без использования связности нельзя записать формулу для ковариантного дифференцирования, но в данном случае это нетак.
Запишем ковариантную производную от вектора, используя свойство(2.16): = = ( ) − ( ) == ( ) = ( ). (2.18)Здесь учтено, что величина является скаляром с точки зрения риманова пространства, и именно этот факт гарантирует явную ковариантность полученной формулы ковариантного дифференцирования. Аналогичные формулы можно написать для ковариантного дифференцирования42тензоров произвольного ранга. Получается простое правило ковариантного дифференцирования: с помощью сворачивания по каждому индексу свеличиной нужно пересадить тензор из риманова пространства в объемлющее, взять обычную производную, а затем пересадить обратно, сворачивая с . Далее, в случаях, когда это не приводит к недоразумениям,будем для краткости вместо свертки писать просто .Легко проверить, что это же правило ковариантного дифференцирования получается, если потребовать, чтобы связность была индуцированной, т.
е. параллельный перенос по поверхности (на малое расстояние)касательного вектора осуществляется как тривиальный параллельный перенос этого вектора в объемлющем пространстве с последующим проецированием его на касательное пространство в новой точке. Действительно,согласно этому определению = ( + ) − () () ( + ) == ( + ) ( + ) ( + ) − () () ( + ) == ( ) ,(2.19)что воспроизводит действие ковариантной производной (2.18).2.3Проекторы и вторая основная формаповерхностиВведем чрезвычайно полезную при проведении вычислений величинуΠ () – проектор на плоскость, касательную к поверхности ℳ в даннойточке. Легко проверить, что такой проектор можно записать в видеΠ = .(2.20)Удобно также ввести проектор на пространство, дуальное к касательнойплоскости:Π⊥ = − Π .43(2.21)чтоПолучим некоторые свойства введенных проекторов Π и Π⊥ .
Ясно,Π = Π ,Π⊥ = Π⊥ .(2.22)Рассмотрим малую вариацию проектора Π . Из определения (2.21) прямоследует, чтоΠ⊥ = −Π .(2.23)Используя это свойство и ортогональность друг другу проекторов Π иΠ⊥ , легко проверить, чтоΠ (Π )Π = −Π Π⊥ Π = −Π (Π⊥ Π ) + Π Π⊥ Π = 0.(2.24)АналогичноΠ⊥ (Π )Π⊥ = 0,(2.25)Π = (Π + Π⊥ )(Π )(Π + Π⊥ ) = Π (Π )Π⊥ + Π⊥ (Π )Π .(2.26)откуда получаемВариация в этих формулах может быть, в частности, операцией дифференцирования .
Заметим, что свойства проекторов часто используютсяв вычислениях.Важную роль при описании геометрии вложенных поверхностей играет вторая основная форма поверхности (напомним, что первой основной формой поверхности называют метрику ). По определению (см.,например, [65], глава VII, §3), для любого касательного векторного поля( )Π⊥ = ,(2.27)откуда, замечая, что Π⊥ = 0, находим = Π .44(2.28)Отметим, что для тождественно выполняется условиеΠ = 0,(2.29)т. е. по своему индексу направлена ортогонально касательной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
