Диссертация (1145422), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Для случая гиперповерхности можно записать простое соотношение между формами объема ℳ̂ и ℳ:ˆ1 ... = 1 ... .(2.60)Несложно связать друг с другом обратные реперы для поверхностейℳ̂ и ℳ: Π̂ = ˆ ˆ = ˆ = ˆ .(2.61)Полезно также получить еще одно представление для вектора . Используя формулы (2.56),(2.57) и (2.59), имеем Π̂⊥ = = √︀ = √︀,| || |51(2.62)откуда находим, что =1 Π̂⊥ ,(2.63)и√︁ Π̂⊥ = | | Π̂⊥ = √︂⃒⃒.⃒⃒ ⃒ Π̂⊥ ⃒(2.64)Эти формулы будут использоваться ниже.2.8Связь вторых основных формТеперь вернемся к случаю произвольного значения разности размерностей − . Проекторы Π̄ и Π̂ являются касательными тензорами кℳ, поэтому их можно пересадить в риманово пространство ℳ:Π̂ ≡ Π̂ ,Π̄ ≡ Π̄ = − Π̂ .(2.65)Запишем выражение для второй основной формы ¯ поверхности ℳ̂ какподмногообразия в ℳ (это не то же самое, что ˆ – вторая основная форма ℳ̂ как поверхности в + ,− ).
Согласно [65], если – касательное кℳ̂ векторное поле, то( )Π̄ = ¯ ˆ ,(2.66)где – ковариантная производная в ℳ, и ˆ – компоненты в координатах ℳ и ℳ̂ (ˆ = , = 0). Найдем ¯ из (2.66). Преобразуем левуючасть этой формулы, используя (2.18),(2.65) и учитывая, что Π̄ = 0:ˆ )Π̄ =( )Π̄ = ( ) Π̄ = (ˆ (ˆˆ ˆ )Π̄ = = ( ˆ ))Π̄ = ˆ (ˆˆ ,(2.67)откуда¯ = ˆ .
52(2.68)Пересадив эту величину по индексу в объемлющее пространство, имеем¯ = Π ˆ = Π̄ ˆ . (2.69)Теперь можно легко сформулировать закон сложения вторых основных форм. Из (2.30) следует, что = Π⊥ ,ˆ = Π̂⊥ ,¯ = Π̄ ,(2.70)откудаˆ = ¯ + ,(2.71)т. е. вторая основная форма ℳ̂ в + ,− есть сумма второй основнойформы ℳ̂ в ℳ и соответствующих компонент второй основной формыℳ в + ,− .В случае, когда ℳ̂ – гиперповерхность в ℳ, для ¯ из (2.69) с учетом(2.57) получаем¯ = ˆ = ,(2.72)ˆ ˆ = −ˆˆ = − = − . = ¯ = ˆ = (2.73)гдеВеличину в этом случае также называют второй основной (или второй квадратичной) формой поверхности ℳ̂ (как подмногообразия в ℳ),чаще всего используя для нее последнее представление (2.73).2.9Использование формализма длядоказательства некоторых формулТеперь покажем, как в рамках описанного формализма теории вложения можно легко получить некоторые известные (см., например, [65])формулы, связывающие геометрические свойства риманова пространстваи его подмногообразия, а именно, формулы Гаусса и Вейнгартена, а также уравнения Гаусса и Кодацци.
Будем доказывать их, используя пред53положение о том, что рассматриваемое риманово пространство вложенов виде поверхности ℳ в плоское пространство большей размерности.Отметим, что впервые идея использовать возможность вложения в плоское объемлющее пространство для доказательства уравнений Гаусса иКодацци была применена в книге [67], §58. Затем будет выведена упоминавшаяся выше формула, связывающая скалярные кривизны римановапространства и лежащей в нем гиперповерхности.Формула ГауссаЕсли – заданное в римановом пространстве векторное поле, касательное к некоторому подмногообразию ℳ̂, то:ˆ ) + ¯ .
= ((2.74)Для доказательства пересадим обе части этого равенства в объемлющеепространство по индексу , умножив их на . После этого, используяправило ковариантного дифференцирования (2.18) и формулу (2.69), егоможно записать в видеΠ = Π̂ + Π̄ˆ .(2.75)Используя (2.28), второе слагаемое правой части этого уравнения можнопереписать в виде)︁(︁)︁(︁ˆ (2.76)Π̄ = Π̄ Π̂ = −Π̄ Π̂⊥ = Π̄ ,после чего, с учетом (2.56), уравнение (2.75) превращается в тождество.Формула ВейнгартенаЕсли – заданное в римановом пространстве векторное поле, нормальное к подмногообразию ℳ̂, то:¯ , = −¯ ˆ + 54(2.77)¯ , соответствует связности,где ковариантное дифференцирование ограниченной на нормальное к ℳ̂ подпространство:¯ = Π̄ .(2.78)Для доказательства уравнения (2.77) опять пересадим обе его части вобъемлющее пространство по индексу , умножив их на :Π = −ˆ ˆ + Π̄ ,(2.79)где использовано (2.69) и соотношениеˆ = ˆ = ˆ ˆ = ˆ .(2.80)Используя (2.28), преобразуем первое слагаемое правой части (2.79):− ˆ ˆ = − ( Π̂ )Π̂ = Π̂ ,(2.81)после чего, с учетом (2.56), справедливость (2.79) становится очевидной.Уравнение ГауссаТензор Римана подмногообразия ℳ̂ риманова пространства связан скомпонентами тензора Римана самого риманова пространства соотношением:ˆ − [¯ ¯ ] .
= (2.82)Для доказательства вспомним формулу (2.38) для тензора Римана = [ ] ,ˆ = [ˆˆ ] ,(2.83)а последнее слагаемое (2.82) перепишем как[¯ ¯ ] = [¯¯ ] .(2.84)Используя формулу (2.71) для суммы вторых основных форм, легко убедиться в справедливости формулы (2.82). Для этого нужно подставить55ˆ в (2.82) и не забыть о том, чторазложение (2.71) в величину ¯ = 0(2.85)вследствие свойств вторых основных форм.Уравнение КодацциЧтобы записать это уравнение, нужно ввести ковариантную производ̃︀ от величины ¯ как определяемую связностью на ℳ̂ по индекную сам и , а по индексу – связностью, полученной ограничением нанормальное пространство к ℳ̂ связности на ℳ (ковариантная производ¯ ). В соответствииная с такой связностью выше была обозначена через с таким определением будет(︀)︀̃︀ ¯ = Π̄ ˆ ˆ ¯ ˆ ˆ .(2.86)Уравнение Кодацци:[︁̃︀ ¯]︁= Π̄ .(2.87)Для доказательства преобразуем его левую часть, используя (2.86), потом(2.31), а затем (2.69) и (2.28), при этом учитывая, что при действии навеличины без греческих индексов обычная производная и ковариантнаяˆ совпадают:]︁[︁[︁[︁(︀)︀]︁(︀)︀]︁ ˆ ¯ ˆ ¯¯̃︀ = Π̄ ˆ ˆ ˆ= Π̄ ˆ ˆ=[︁(︁)︁]︁[︁)︁]︁(︀)︀ (︁ ˆ = Π̄ ˆ Π̄ Π̂= Π̄ ˆ Π̄ Π̂.
(2.88)Затем продолжим это равенство, пользуясь свойствами вариаций проекторов (2.24),(2.25) и выражением (2.41) для тензора Римана[︁]︁[︁]︁ Π̄ ˆ ( Π̄ )( Π̂ )= Π̄ ˆ ( Π̄ )Π⊥ ( Π̂ )=[︀ ]︀= Π̄ ˆ ( Π )Π⊥ ( Π ) = Π̄ , (2.89)в результате чего уравнение Кодацци оказывается доказанным.56Формула связи скалярных кривизнТеперь выведем известную формулу, лежащую в основе записи действия в подходе Арновитта-Дезера-Мизнера, которая связывает скалярную кривизну риманова пространства со скалярной кривизной погруженной в него гиперповерхности. Снова будем использовать предположениео том, что рассматриваемое риманово пространство вложено в виде поверхности ℳ в плоское пространство большей размерности.
Важнуюроль при выводе формулы играет возможность использования соотношения (2.57), являющаяся следствием того, что в данном случае рассматривается именно гиперповерхность, т. е. поверхность коразмерности 1.Воспользуемся дважды разложением (2.56) в формуле (2.42) для скалярной кривизны риманова пространства:[︁]︁[︁]︁ = (Π̂ + ) (Π̂ + )= ( Π̂ )( Π̂ )+]︁[︁[︀]︀ + ( ) ( ) . (2.90)+2 ( Π̂ ) ( )Рассмотрим первое слагаемое полученного выражения. Используясвойства вариаций проекторов (2.24),(2.25) его можно записать в виде]︁]︁[︁[︁ == ( Π̂ )(Π̂⊥ + Π̂ )( Π̂ ) ( Π̂ )( Π̂ )]︁]︁[︁[︁ = Π̂ ( Π̂ )Π̂⊥ ( Π̂ )Π̂ + ( Π̂ )Π̂ ( Π̂ ) .(2.91)Последнее слагаемое здесь в результате операции антисимметризации обращается в ноль, а первое слагаемое после применения формулы (2.61)принимает вид[︁]︁ ˆˆ ( Π̂ )Π̂⊥ ( Π̂ )ˆ= .(2.92)Теперь рассмотрим второе слагаемое выражения (2.90).
Заменим внем обычную производную, действующую на скалярную величину Π̂ ,на ковариантную и перепишем его в форме[︁]︁ 2 ( Π̂ ) ( )=[︁(︁)︁]︁ == 2 Π̂ ( ) − Π̂ ( )( )57= 2[︁ (︁Π̂ )︁−]︁ Π̂ ( ) ( )= 2=[ ( )]. (2.93)[︀]︀Здесь использовались равенства ( ) = 0, Π̂ = 0, правилаковариантного дифференцирования (2.18), а также формула (2.16).Наконец, рассмотрим третье слагаемое выражения (2.90). Заметив, что =1 ( ) = 0,2(2.94)его можно записать как[︀ ]︀[︀]︀ ( ) ( ) = ( )( ) + ( )( ) =[︁]︁[︀]︀ = Π̂ ( )( )Π̂ = ˆ ( )( )ˆ =[︀ ]︀(︀)︀= = ( )2 − , (2.95)где использованы формулы (2.56), (2.61), (2.73), и использовано обозначение = ˆ .В результате из соотношения (2.90) получается искомая формула связиˆ и :(︀)︀ˆ + ( )2 − + 2 ( − ) .=(2.96)Напомним, что здесь величина = = ±1 зависит от выбора сигнатуры.58Глава 3Описание гравитациив виде теории вложенияВ этой главе исследуется альтернативный подход к описанию гравитации, в котором предполагается, что наше пространство-время является не абстрактным римановыми пространством (как полагается врамках ОТО), а некоторой четырехмерной поверхностью в плоском пространстве большего числа измерений.
Проводится сравнение уравненийдвижения такой теории с уравнениями Эйнштейна. Результаты даннойглавы опубликованы в работах [59–61, 68, 69].3.1Проблемы стандартного подходак описанию гравитацииОбщепризнанной теорией гравитации в настоящее время является общая теория относительности Эйнштейна. Если не выходить за пределыклассической (т. е. неквантовой) физики, то эта теория хорошо работает, объясняя имеющиеся наблюдаемые факты. Однако попытки построения замкнутой квантовой теории гравитации сталкиваются с очень серьезными трудностями.
Приходиться признать, что, несмотря на большое количество работ, обсуждающих разные подходы к решению проблемы, замкнутой общепризнанной квантовой теории гравитации покане существует. Самой известной причиной этого является тот факт, чтопри квантовании гравитации в терминах метрики пространства-времени () теория оказывается неперенормируемой в рамках теории возмущений по отклонениям метрики от плоской, см. обзор [3] и цитируемую там59литературу.
Следует отметить, что при таком подходе процедура квантования гравитации строится по аналогии с квантованием полей в плоскомпространстве-времени.Однако неперенормируемость – это не единственная проблема, возникающая при квантовании гравитации. Существуют и другие, может быть,являющиеся даже более идеологическими, связанные с тем, что гравитация определяется свойствами пространства-времени и именно его структуру надо квантовать. При этом имеющийся положительный опыт квантования теорий в плоском пространстве, таких как квантовая электродинамика, квантовая хромодинамика и т.
п., может быть мало полезен.Одной из таких проблем является формулировка принципа причинности. При квантовании теории поля в плоском пространстве-временимы постулируем, что операторы поля, относящиеся к пространственноподобно разделенным точкам, должны коммутировать. Во многом с этимпостулатом связаны канонические коммутационные соотношения, лежащие в основе канонического квантования.
В случае же гравитации являются ли данные две точки разделенными пространственноподобныминтервалом, или времениподобным, определяет метрика (), котораяпри квантовании становится оператором, поэтому однозначного ответадать нельзя. В результате сложно последовательно определить, как должно коммутировать поле () и поэтому применение привычной схемыквантования выглядит менее оправданным.Еще одной нестандартной проблемой при квантовании гравитации является проблема выбора времени. Проблема заключается в том, что врамках общековариантной симметрии теория обладает симметрией относительно перепараметризации времени. Пример такого рода теории рассматривался в разделе 1.3 и там было показано, что гамильтониан оказывается пропорционален связи. Аналогично устроен и гамильтониан ОТО– он сводится к линейной комбинации связей (см. формализм АрновиттаДезера-Мизнера [58]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
