Диссертация (1145422), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Следовательно, гамильтониан дает ноль при действии на вектора физического подпространства, на котором выполняютсясвязи. В результате оказывается, что в шреденгеровской картине векторфизического подпространства, задающий состояние системы, не изменяется со временем, т. е., грубо говоря, с течением времени вообще ничегоне изменяется. Обычно полагают, что это говорит о том, что роль "физического" времени должна играть не координата 0 , а какая-то другая60величина, однако удовлетворительный способ построения такой величины в рамках ОТО неизвестен.Проблемы, возникающие при квантовании гравитации, как упомянутые здесь, так и некоторые другие, описаны в обзоре [3], там же можнонайти ссылки на оригинальные работы по этой тематике. Во многом, этипроблемы связаны с тем, что мы пытаемся применять процедуру квантования, хорошо зарекомендовавшую себя для теории полей в плоскомпространстве-времени, к случаю, когда динамическими переменными являются геометрические свойства пространства-времени, т.

е. необходимоквантовать саму его структуру.Возможным путем решения указанных проблем может являться отказ от прямой попытки квантовать гравитацию (фактически действуя поаналогии с квантованием, например, электродинамики) в тех же терминах, в которых мы ее обычно описываем на классическом уровне, т. е. втерминах (). Вместо этого можно перейти к альтернативному описанию гравитации, позволяющему рассматривать ее как некоторую теориюв плоском пространстве, в расчете на то, что наличие плоского пространства приведет к уменьшению числа возникающих при квантовании проблем. Таким альтернативным подходом к описанию гравитации являетсятеория вложения, описанная в следующем разделе.3.2Использование вложениядля описания гравитацииПри обычном описании гравитации в рамках ОТО Эйнштейна четырехмерное пространство-время представляет собой риманово (точнее –псевдориманово) пространство.

Это означает, что в пространстве заданополе метрического тензора (), определяющего интервал между бесконечно близкими точками:2 = .(3.1)Здесь греческие индексы принимают значения 0, 1, 2, 3. В этой главе будем использовать сигнатуру Также предполагается, что в пространстве61задана согласованная с метрикой связность Γ , так что = 0,(3.2)где – ковариантная производная. Кроме этого, обычно полагают, чтотензор кручения равен нулю:≡ Γ − Γ = 0.(3.3)Как известно (см., например, [66]), условия (3.2) и (3.3) позволяют однозначно выразить связность через метрику; в этом случае связность называют римановой связностью.

Далее будем всегда предполагать, что связность является римановой.В качестве примера риманова пространства можно рассматривать мерную поверхность в плоском пространстве бо́льшего числа измерений,считая что метрика и связность этой поверхности индуцированы. Предполагается, что в указанном плоском пространстве, которое далее будемназывать объемлющим, в соответствующей системе координат метрика(псевдо)евклидова, а связность тривиальна. Индуцированность метрикиозначает, что расстояние между бесконечно близкими точками поверхности определяется как расстояние между этими точками в объемлющемпространстве.

А индуцированность связности означает, что параллельный перенос по поверхности (на малое расстояние) касательного вектора осуществляется как тривиальный параллельный перенос этого вектора в объемлющем пространстве с последующим проецированием его накасательное пространство в новой точке. В частности, легко представимым примером риманова пространства является двумерная поверхностьв трехмерном пространстве.Однако оказывается, что поверхность в плоском объемлющем пространстве является не просто частным случаем риманова пространства,но, в определенной степени, рассмотрение произвольного риманова пространства может быть заменено рассмотрением такой поверхности.

Согласно теореме М. Жане и Э. Картана [70, 71] (см., например, [65], Примечание 18), произвольное риманово пространство размерности можетбыть локально изометрически вложено в любое риманово пространство62размерности, большей или равной=( + 1),2(3.4)а значит, в частности, в плоское пространство такой размерности. На случай неположительной сигнатуры пространства эта теорема была обобщена А. Фридманом [72].

В дополнение к условию (3.4) на общую размерность в этом случае еще добавляется требование, чтобы в объемлющемпространстве число времениподобных и пространственноподобных направлений было не меньше, чем количество таких направлений во вкладываемом псевдоримановом пространстве.Данная теорема гарантирует существование изометрического вложения только локально, т. е. для какой-то конечной части многообразия.Если же поставить вопрос о вложении всего многообразия в целом, то, взависимости от его топологии, необходимая размерность может сильно возрасти (см. [65], Примечание 18).

Однако, в физических задачах чаще всего достаточно локального рассмотрения. Заметим, что в теоремеЖане-Картана-Фридмана предполагается, что метрика является аналитической функцией координат. Если же заменить требование аналитичности этой функции требованием ее бесконечной дифференцируемости, тов этом случае доказана лишь возможность локального изометрическоговложения произвольного (псевдо)риманова пространства в плоское (псевдо)евклидово пространство размерности (+3)/2 [73]. Далее будет предполагаться, что рассматриваемое (псевдо)риманово пространство обладает аналитической метрикой.Следует также отметить, что теорема Жане-Картана-Фридмана гарантирует только существование, но не единственность вложения.

Это означает, что могут существовать разные поверхности, обладающие одинаковой метрикой. Например, ясно, что единственность вложения гарантированно отсутствует при > ( + 1)/2, так как можно сначала провестивложение в пространство размерности ( + 1)/2, а затем его, в своюочередь, изометрически вкладывать разными способами в -мерное пространство в виде части цилиндра. Сравнение числа переменных и числауравнений позволяет надеяться в ситуации общего положения на единственность вложения (с точностью до тривиальных сдвигов и поворотов в объемлющем пространстве) только при выполнении условия (3.4).Действительно, метрика имеет ( + 1)/2 независимых компонент,63а значит, существует столько уравнений на функций, описывающихвложение.

Тем не менее, в каких-то случаях единственность может отсутствовать и при выполнении условия (3.4). В этом случае говорят овозможности изометрического изгибания поверхности. В качестве нетривиального примера поверхности, допускающей изометрическое изгибание, можно привести достаточно малую, но конечную часть сферы. Приэтом сфера как целое изометрических изгибаний не допускает. Если дляповерхности изометрические изгибания невозможны, то говорят о жесткости соответствующего вложения.Согласно условию (3.4) для четырехмерного пространства-временив качестве объемлющего достаточно брать десятимерное пространство.Представляется наиболее удобным для дальнейших применений считать,что оно содержит единственное времениподобное направление, т. е.

считать объемлющим псевдоевклидово пространство 1,9 . Нарушение такогоусловия приводит к проблемам с определением причинности, в особенности при переходе к теории поля в объемлющем пространстве, котораяобсуждается в главе 5. Поскольку рассмотрение пространства-временикак риманова пространства может быть, с указанными оговорками, заменено рассмотрением четырехмерной поверхности ℳ в десятимерномпространстве 1,9 , возникает идея: при описании гравитации в качественезависимых переменных использовать не поле метрики (), а переменные, описывающие поверхность ℳ. В качестве таких переменныхнаиболее удобно выбрать функцию вложения ( ), осуществляющуюотображение ( ) : 4 −→ 1,9 .(3.5)Здесь индексы , , .

. . принимают значения 0, 1, 2, . . . , 9. Предполагается,что – лоренцевы координаты в 1,9 , будем использовать в этой главесигнатуру (+, −, −, · · · , −).В результате гравитация описывается как динамика трехмерного пространства, рассматриваемая аналогично динамике точечной частицы, которой соответствует мировая линия, и динамике струны, которой соответствует двумерная поверхность в пространстве Минковского. Даннаяаналогия является одной из главных мотивацией такого подхода, впервыепредложенного в 1975 г в докладе Т. Редже и К. Тейтельбойма и опубликованного в работе [1].

Сейчас такой подход к описанию гравитации,64сходному с формулировкой теории струн, чаще всего называют теориейвложения ("embedding theory").В качестве действия теории в работе [1] было взято стандартное дляОТО выражение Эйнштейна-Гильберта∫︁√14 − ,(3.6)=−2κгде κ – гравитационная постоянная, – скалярная кривизна, и =det , причем метрика здесь является индуцированной, т. е. выраженачерез функцию вложения () формулой (2.4). В результате варьирования такого действия по () были найдены уравнения теории вложения(получение и обсуждение этих уравнений см. в разделе 3.3). Эти уравнения являются более общими, чем уравнения Эйнштейна, т.

е. любоерешение уравнений Эйнштейна будет решением уравнений теории вложения, но не наоборот. Таким образом теория вложения оказывается неэквивалентной ОТО. В ней присутствуют "лишние" решения.Следует подчеркнуть, что предложенный Т. Редже и К. Тейтельбоймом подход к описанию гравитации существенно отличается от ставшей популярной в последнее время теории дополнительных измерений(см. например, обзор [74]) тем фактом, что в теории вложения объемлющее пространство является плоским, т. е. в объемлющем пространствегравитация отсутствует. Однако, отметим работу [75], в которой эти дваподхода рассматриваются вместе.После статьи [1] идеи теории вложения критически обсуждались в работе [10], а впоследствии они достаточно много использовалась для описания гравитации (в том числе и в связи с ее квантованием), см., например, работы [11–14,16,76].

Характеристики

Список файлов диссертации