Диссертация (1145422), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Этонаводит на мысль, что существует такой способ переписать действие,при котором лагранжиан содержит только первые производные по времени. Еще в работе [1] было замечено, что таким способом является запись действия, используемая в формализме Арнавитта-Дезера-Мизнера(АДМ) [58] (см. также, например, [89], §21.6). При такой записи действия появляется возможность развивать канонический формализм обычным способом, однако в теории возникают чрезвычайно сложные связи.Их вид исследовался в работе [21] и было обнаружено, что часть связейне удается записать в явном виде, причем, как было отмечено, их можнозадать лишь в виде условия наличия совпадающих корней у некоторыхдвух полиномов. В работе [16] для записи связей были введены дополнительные переменные, в результате чего в системе связей возникли связивторого рода. Поскольку решить их не удалось, для описания канонического формализма были использованы скобки Дирака.В работе [1] обсуждалась возможность при построении канонического формализма дополнительно к возникающим обычным образом первичным связям наложить эйнштейновские связи (3.20) (обеспечивающиеэквивалентность теории вложения и ОТО, см.
раздел 3.5), также рассматриваемые как связи. В результате была записана система восьми связей,однако вопрос о замыкании этой объединенной системы связей в работе [1] решен не был. При этом одна из связей была записана некорректно,86поскольку, как будет показано ниже, не были корректно учтены возникающие из определения обобщенных импульсов ограничения на них. В следующих разделах будет получена правильная форма возникающей в рамках такого подхода системы связей первого рода, а также будет найденаполная замкнутая алгебра, которую они образуют. Интересно отметить,что оказывается легко проследить соотношение между алгеброй связейэтой теории и алгеброй, описывающей ОТО в подходе АДМ, что согласуется с обсуждавшимся в разделе 3.5) соответствием между решениямитеории вложения и ОТО после наложения в теории вложения эйнштейновских связей (3.20).4.2Случай дополнительного наложенияэйнштейновских связейБудем развивать канонический формализм для теории вложения, накладывая дополнительно эйнштейновские связи (3.20).
В данной главе,как и в предыдущей, будем использовать сигнатуру объемлющего пространства 1,9 в виде (+, −, −, · · · , −), также будем считать, что материяотсутствует. Запишем действие в отсутствие материи (3.16), используяформулу (2.96) и отбрасывая поверхностный вклад∫︁(︁)︁1 24 √ˆ(4.3) − ( ) − + .=−2κТакая запись используется в формализме АДМ [58]. Если записать этодействие в терминах функции вложения () и воспользоваться однимиз видов формулы (2.73), то оно примет вид∫︁(︁)︁14 √ ˆ,ˆˆ=− − + ,(4.4)2κгде использовано обозначение (3.24). Легко заметить, что в такой формедействие не содержит производных по времени 0 от функции вложенияˆ вообще не со () выше первых.
Действительно, величины ˆ , ˆ и держат производных по времени, а и содержат лишь первые такиепроизводные.87Заметим, что в рассматриваемом случае формула (2.63) приобретаетвид 00 =1˙ Π̂⊥ ˙ ,(4.5)где ˙ ≡ 0 . Используя соотношение = ˆ/ 00 и формулу (2.64) (учитывая, что при выбранной в этой главе сигнатуре будет = +1), а такжеформулы (4.5), (2.38), действие (4.4) можно записать в форме, в которойпроизводные по времени 0 от переменных () выписаны явно:⎛⎞∫︁∫︁√︁⎟0 3 1 ⎜ ˙ ˙+ ˙ Π̂⊥ ˙ ⎠ , (4.6) = ( , ˙ ), = ⎝ √︁2˙ Π̂⊥ ˙ где величина = −1 √︀−ˆ ˆˆ , ,κ(4.7)равно как и проектор Π̂⊥ , не содержит производных по времени.Заметим, что величина ˆ может рассматриваться как набор шестивекторов (при фиксированных значениях индексов , , по которым онасимметрична).
С другой стороны, эта величина удовлетворяет трем тождествам ˆ ˆ, = 0. Поэтому в ситуации общего положения существуетединственный нормированный вектор , определяемый условиями ˆ = 0,ˆ = 0,| | = 1.(4.8)При действии на этот вектор матрица дает ноль, а значит, она неявляется обратимой матрицей даже в семимерном подпространстве, ортогональном векторам ˆ , она в ситуации общего положения имеет ранг 6.Найдем обобщенный импульс для переменной из действия (4.6)(используем формулу (2.64)): =)︀1 (︀=−− .
˙ 288(4.9)Учитывая свойства величины ˆ , получаем три первичные связиΦ = ˆ ≈ 0.(4.10)В ситуации общего положения из уравнения (4.9) должна возникатьеще одна связь, появляющаяся как ограничение на импульс , следующее из тождества = 1.
Для того чтобы ее записать, необходимо решить уравнение (4.9) относительно величины , получив решение (, ). Тогда четвертую связь можно записать в виде (, ) (, ) − 1 ≈ 0.(4.11)Однако в явном виде записать функцию (, ) не удается, поскольку онасоответствует решению системы кубических уравнений, поэтому нельзяявно записать и четвертую связь, что обсуждалось в работе [21] и о чемуже упоминалось в предыдущем разделе.Однако, вместо рассмотрения ситуации общего положения, сейчас мыбудем считать, что при построении канонического формализма дополнительно накладываются эйнштейновские связи (3.35). Используя формулы(3.26),(3.34),(4.7),(2.38), эти связи можно записать в видеℋ0 =)︀1 (︀ − ≈ 0,2(︁)︁1 √︀, ˆˆℋ =−ˆ ≈ 0κ(4.12)(4.13)где общие множители выбраны из соображений удобства.
Если учестьсвязь (4.12) в выражении для импульса (4.9), то оно принимает вид = .(4.14)В результате тождество = 1 уже не приводит к ограничениям наимпульс (поскольку, как отмечалось выше, матрица имеет ранг6 и не является обратимой в семимерном подпространстве, ортогональном векторам ˆ ), а вместо этого в добавление к связям (4.10), возникаетчетвертая первичная связьΨ4 = ≈ 0,89(4.15)(причина выбора такого обозначения для этой связи станет ясна ниже).Отметим, что в работе [1] четвертая первичная связь была записана какследствие нормированности на единицу вектора в виде(︀ −1 )︀2− 1 ≈ 0,(4.16)где под −1 понималось обращение матрицы в семимерном подпространстве, ортогональном поверхности 0 = . Однако, такая записьневерна, поскольку, как уже говорилось, матрица имеет в ситуацииобщего положения ранг 6 и не может быть обращена в указанном семимерном подпространстве.Используя формулы (4.9),(4.6),(2.64),(4.12) легко найти, что гамильтониан теории∫︁(4.17) = 3 ˙ − при выполнении связей оказывается равен нулю.
Поэтому обобщенный гамильтониан сводится к линейной комбинации связей (4.10)(4.13),(4.15).В каноническом формализме связи должны быть выражены черезобобщенные координаты и импульсы, т. е., в данном случае, через и , но не через ˙ . Связи (4.10) и (4.15) удовлетворяют этому требованию(отметим, что определяемый условиями (4.8) вектор зависит от , ноне от ˙ ), а (4.12) и (4.13) – нет. Приведем их к необходимому виду. Дляэтого введем величину , однозначно определяемую условиями = , ˆ = 0, = 0, ˆ =)︀1 (︀ + . (4.18)2Эта величина является в некотором смысле обратной к ˆ , причем ˆ=Π̂⊥ − , (4.19)где в правой части стоит проектор на шестимерное подпространство, ортогональное поверхности ℳ̂ и вектору .90Понятно, что , как и , зависит от , но не от ˙ .
Из уравнения(4.14) можно заключить (используя (4.7)), чтоˆ = − √κ ¯ , ,−ˆ(4.20)¯ , определено формулой (3.50). Используя формулу (4.20) связигде (4.12),(4.13) можно выразить через и . Оказывается удобным вместо связи ℋ рассматривать линейную комбинацию Ψ = ℋ + ˆ Φ . Врезультате мы имеем набор из восьми связей:(︂)︂√︀1ˆ √Φ = ˆ ,Ψ = − −ˆ + ˆ ,Ψ4 = ,−ˆ√︀κ¯ , + 1 −ˆˆℋ0 = − √ .(4.21)2κ2 −ˆВидно, что все связи, кроме ℋ0 , линейны по импульсу , а связь ℋ0 –квадратична. Отметим, что найденный набор связей (4.21) отличается отприведенного в работе [1], см. замечание после формулы (4.15).Далее необходимо вычислить скобки Пуассона найденных связеймежду собой.
Поскольку, как было показано в разделе 3.5, эйнштейновские связи имеют свойство сохраняться вследствие уравнений движения,можно ожидать, что эти скобки Пуассона будут сводится к линейнымкомбинациям связей.4.3Алгебра связейВ этом разделе мы вычислим все скобки Пуассона связей (4.21) другс другом. Будет показано, что в результате получаются линейные комбинации связей, так что эти восемь связей образуют алгебру связей первогорода для формулировки гравитации Редже-Тейтельбойма – теории вложения с дополнительным наложением эйнштейновских связей.Оказывается удобным работать со связями, свернутыми с произвольными функциями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
