Диссертация (1145422), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Длязакрытой и открытой моделей Фридмана эти условия выполнить легко,взяв в качестве подмногообразий постоянного времени трехмерные сферу и псевдосферу (гиперболоид), соответственно. Для пространственноплоской модели ситуация оказывается более сложной, однако предъявитьобладающее требуемой симметрией подмногообразие тоже удается, см.раздел 6.3.3.Если предположить, что для всех трех моделей Фридмана подмногообразия постоянного времени выбраны указанным наиболее простымспособом (при большом числе измерений объемлющего пространства вопрос о том, является ли такой выбор единственно возможным остаетсяоткрытым), то учет уравнений Редже-Тейтельбойма позволяет заключить,что, независимо от числа измерений объемлющего пространства, четырехмерные вложенные поверхности обязательно оказываются лежащимив его плоских пятимерных подпространствах, см.
подробности в работе [68]. Это означает, что при анализе уравнений можно считать, что число измерений объемлющего пространства равно пяти, а тогда функциивложения для каждой из трех моделей Фридмана даются приведеннымив разделе 6.3 формулами (6.15), (6.21) и (6.31) для закрытой, открытойи пространственно-плоской модели Фридмана, соответственно. Отвечающие им метрики соответствуют формулам (6.9),(6.16),(6.22). Описываемые этими функциями вложения поверхности имеют единичную коразмерность, т. е.
являются гиперповерхностями.79Как хорошо известно, при наличии симметрии Фридмана тензорэнергии-импульса материи записывается в виде = ( + ) − ,(3.55)где и – плотность и давление материи, а = 0 – ее 4-скорость.По тем же соображениям абсолютно аналогично можно записать и искусственно введенный тензор энергии-импульса -материи: = ( + ) − ,(3.56)вводя "плотность" и "давление" -материи.Учитывая следствие тождества Бьянки = 0, а также уравнение = 0, следующее из уравнений движения материи, используя (3.52)можно получить, что = 0.(3.57)Это позволяет переписать уравнение (3.53) в виде = 0,(3.58)где – вторая основная форма поверхности (2.28).
В рассматриваемомслучае единичной коразмерности поверхности, когда = (см.(2.34)), уравнение (3.58) сводится к единственному уравнению, имеющему вид (см. подробности в работе [68]):)︁(︁√︀32(3.59)0 ˙ + = 0,где = 1, −1, 0 для закрытой, открытой и пространственно-плоской модели соответственно.С другой стороны, уравнения (3.52) приводят к уравнениям Фридманас дополнительным вкладом -материи:(︂ )︂2κ˙= ( + ) − 2 ,380(3.60)а условия = 0 и (3.57) приводят к известным уравнениям сохранения0 ( 3 ) + 0 (3 ) = 0,(3.61)0 ( 3 ) + 0 (3 ) = 0.(3.62)Используя (3.60), из уравнения (3.59) получаем алгебраическое соотношение√4 + = ,(3.63)где – определяемая начальными данными константа.Если в начальный момент времени точно выполняется условие = 0,то константа равна нулю.
Отсюда следует, что во все последующие моменты времени будет = 0 вследствие уравнения (3.63) и = 0 изсоотношения (3.62) (как всегда, случай в точности статической вселенной ˙ = отбрасываем), т. е. будут выполнены уравнения Эйнштейна бездополнительного вклада . Этот факт является частным случаем общего результата, полученного в предыдущем разделе.Теперь предположим, что начальные данные находятся в ситуации общего положения. По современным представлениям (см., например, [86]),в первую классическую эпоху развития Вселенной (когда начали действовать классические уравнения движения, в качестве которых мы берем неуравнения Эйнштейна, а уравнения теории вложения) основной вклад втензор энергии-импульса давала имитирующая Λ-член материя.
В течение периода, когда это так, уравнения Эйнштейна предсказывают экспоненциальное расширение Вселенной, т. е. инфляцию, гипотеза о существовании которой необходима для решения известных проблем теориигорячего Большого взрыва, см. [86]. Если уравнения Эйнштейна заменить уравнениями Редже-Тейтельбойма, что эквивалентно введению материи, плотность которой подчиняется соотношению (3.63), а давление определяется из уравнения (3.62), то, в зависимости от начальныхусловий, могут возникать разные режимы. В работе [68] показано, чтопри большинстве начальных данных возникает именно инфляционныйрежим, при котором параметр () экспоненциально растет со временем, а величина стремится к нулю, в то время как ≈ Λ меняется медлен81но.
С учетом этого из (3.63) можно заключить, что в процессе инфляции ∼1,4(3.64)а значит, поскольку параметр за время инфляции увеличивается чрезвычайно сильно, к концу инфляции оказывается очень мало, если толькооно не было чрезвычайно велико в ее начале.Разумно предположить, что в начале инфляции, когда возникшая изквантовой флуктуации вселенная оказалась достаточно велика для того, чтобы начали выполняться классические уравнения движения (в рассматриваемом подходе – не уравнения Эйнштейна, а уравнения РеджеТейтельбойма), значения компонент тензора Эйнштейна и компоненттензора энергии-импульса материи отличались друг от друга не чрезвычайно сильно (в планковских единицах, в которых κ = 1).
Тогда иопределяемая уравнением (3.52) величина = κ1 − в начале инфляции будет отличаться от не чрезвычайно сильно. Тогда к моменту,когда расширение вселенной привело к достаточно удовлетворительнойработе приближения симметрии Фридмана, соответствующая этому моменту величина in будет не чрезвычайно сильно (т.е. на не слишкомбольшое число порядков) отличаться от плотности материи in в этотмомент времени.Из соотношения (3.64) следует, что если за время инфляции вселеннаяувеличилась в 60 раз (это минимальное значение, необходимое для решения проблем теории горячего Большого взрыва), то к моменту окончанияинфляции будетinin−240≈ in ≈ in10−104 .(3.65)В работе [68] показано, что в следующие за инфляцией эпоху ультрарелятивистской материи и эпоху нерелятивистской материи отношение /увеличивается, но недостаточно быстро, чтобы перестать быть очень малым – оценки показывают, что к концу эпохи нерелятивистской материибудетin10−44 ,≈ in82(3.66)а в следующую за ней эпоху темной энергии (в начале которой мы живемсогласно современным представлениям) это отношение снова начинаетуменьшаться.Таким образом, для того чтобы обосновать выдвинутую в работе [18]идею интерпретировать величину (введенную искусственно с цельюзаписать динамику теории вложения в виде динамики ОТО с дополнительным вкладом в тензор энергии-импульса) как темную материю, которой сейчас должно быть как минимум больше, чем обычной материи,необходимо чтобы в начале инфляции выполнялось соотношениеin> 1044 .in(3.67)Такое предположение противоречит высказанным выше соображениям,inсогласно которым отношение inне должно на много порядков отли /чаться от единицы, и оно оказывается введением тонкой подстройки.Поэтому следует заключить, что, по крайней мере в рамках симметрии Фридмана, задаваемая уравнениями Редже-Тейтельбойма динамикатеории вложения после окончания эпохи инфляции с высокой точностьюсовпадает с динамикой ОТО, поскольку играющая роль "степени невыполнения" уравнений Эйнштейна величина (см.
уравнение (3.52)) оказывается пренебрежимо мала по сравнению с тензором энергии-импульса . Другими словами, в рамках симметрии Фридмана лишние решениятеории вложения оказываются подавлены в результате существования вистории вселенной эпохи инфляции. Однако остается неизвестным, можно ли считать лишние решения также подавленными и вне рамок симметрии Фридмана, т. е. может ли величина стать заметной в процессероста флуктуаций.Дать ответ на этот вопрос в общем случае оказывается слишком сложной задачей. Однако удается в какой-то степени проанализировать, существуют ли лишние решения в таком физически интересном случае, какстатический сферически-симметричный случай, соответствующий задаче о гравитационное поле статического сферически-симметричного распределения масс.
В работе [69] показано, что если потребовать, чтобыфункция вложения обладала соответствующей такому случаю симметрией (3) ⊗ 1 и ограничиться минимальной для вложений с такой симметрией размерностью объемлющего пространства, равной 6, то в обла83сти вне распределения масс лишние решения с асимптотически плоскойметрикой будут отсутствовать. Это означает, что в теории вложения (покрайней мере в рамках сделанных предположений), как и в ОТО, гравитационное поле для указанной задачи сводится к решению Шварцшильда,а значит не удается объяснить в рамках теории вложения связанные сдвижением звезд на краю галактик наблюдаемые эффекты, объясняемыеобычно с помощью введения темной материи.84Глава 4Канонический формализмдля теории вложенияДанная глава посвящена исследованию канонического формализма длятеории вложения.
Обсуждаются различные его варианты, подробно исследуется случай дополнительного наложения эйнштейновских связей,приводящего к эквивалентной ОТО формулировке гравитации РеджеТейтельбойма. Для этого случая найден правильный вид системы связей первого рода и вычислена образуемая ими алгебра. Предложено действие, соответствующее такому каноническому описанию теории. Полученные в данной главе результаты опубликованы в работах[60, 61, 87, 88].4.1Возможные вариантыОбсудим различные возможные варианты канонического описаниятеории вложения. Для простоты как и раньше будем ограничиваться случаем отсутствия материи, т.
е. будем брать действие теории в виде∫︁√1=−4 − .(4.1)2κВ такой его исходной форме действие содержит вторые производные (втом числе по времени) от метрики , а значит, в соответствии с (2.4),третьи производные от являющейся независимой переменной функциивложения . Это является большим неудобством для построения канонического формализма, однако ситуацию легко улучшить стандартным85способом – перейдя с помощью интегрирования по частям от записи действия (4.1) к виду∫︁)︁(︁14 √ − (4.2)=−Γ Γ − Γ Γ .2κТеперь действие содержит уже только первые производные от метрики, азначит, вторые производные (в том числе по времени) от функции вложения .
Это по-прежнему затрудняет построение канонического формализма, но, тем не менее, в работе [12] изучалась возможность его построения с помощью разработанных для такого случая специальных методов.Продвинуться на этом пути удалось только после полной фиксации калибровки. Похожий подход был также использован в работе [20].Однако оказывается, что канонический формализм можно построитьи без использования специальных методов. Как отмечалось в разделе 3.3(см. текст после формулы (3.18)), уравнения теории вложения не содержат производных по времени выше вторых от функции вложения .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
