Диссертация (1145422), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Для второй основной формы поверхности можно получить ещеодно удобное представление. Заменив в (2.28) Π на −Π⊥ и перебросивпроизводную, получаем = Π⊥ = Π⊥ ,(2.30)откуда сразу видна симметричность по нижним индексам. Легко также заметить, что (2.30) можно переписать в явно ковариантном виде = = .(2.31)Если поверхность ℳ является гиперповерхностью, т.
е. ее коразмерность (разность между размерностью объемлющего пространства и размерностью поверхности) равна единице, то ортогональный проектор Π⊥проецирует на одномерное пространство, следовательноΠ⊥ = ,(2.32)где 2 = = ±1 (знак зависит от того, является ли вектор времениподобным или пространственноподобным). В этом случае, вследствиеусловия (2.29), вместо достаточно рассматривать величину = ,(2.33)которую в этом случае также называют второй основной (или второйквадратичной) формой поверхности.
При этом = .2.4(2.34)КривизнаВторая основная форма поверхности играет важную роль при описании гравитации в терминах функции вложения, поскольку в случае плос45кого объемлющего пространства именно через нее выражается тензоркривизны Римана. Этот тензор можно определить с помощью коммутатора двух ковариантных производных[ ] = ,(2.35)где использовано обозначение[ ] = − ,(2.36)причем если пара индексов после квадратных скобок стоит внизу (наверху), то нужно менять местами именно нижние (верхние) соответствующие индексы.
Вычислим левую часть (2.35) (используя (2.28) и (2.31)):[︀(︀)︀]︀[︀ (︀)︀]︀[ ] = = =]︀]︀[︀[︀= = Π⊥ =[︀[︀]︀]︀= Π = .(2.37)В результате заключаем, что]︀[︀ = .(2.38)Следует отметить, что это уравнение представляет собой известное уравнение Гаусса (см., например, [66]) в частном случае подмногообразияплоского объемлющего пространства; общий случай этого уравнения будет рассмотрен в разделе 2.6.Используя (2.31) легко заметить, что тензор кривизны Римана выражается в терминах функции вложения в явно ковариантном виде:[︀]︀ = = [ ] .(2.39)Это факт, вместе с возможностью записывать ковариантные производныетензоров в явно ковариантном виде (2.18) (без использования связности),позволяет полностью избежать появления в формулах формализма вложения нетензорных величин.
Это является безусловным преимуществомданного формализма по сравнению с обычным подходом, в котором призаписи ковариантной производной обязательно используется не являюща-46яся тензором связность, а выражение тензора Римана в терминах метрикине является явно ковариантным.Отметим, что иногда бывает удобно записывать тензор кривизны водном из следующих видов, которые эквивалентны формулам (2.38) и(2.39):[︀]︀ = ( )Π⊥ ( ) ,(2.40) = [( Π )( Π )] ,(2.41)вследствие чего скалярную кривизну можно записать как[︀]︀ = = ( Π )( Π ) .(2.42)Подставляя выражение (2.38) в представление для тензора Эйнштейна ≡ −11 = ,24(2.43)√︀где = / || – ковариантный единичный антисимметричныйтензор, тензор Эйнштейна можно записать в виде =1 .2(2.44)Отсюда также можно получить еще одно удобное представление для скалярной кривизны1 = − .2(2.45)Эти формулы будут использованы ниже.2.5Форма объемаПолезно ввести форму объема 1 ...
, соответствующую касательномупространству к поверхности ℳ в данной точке. Это полностью антисимметричный тензор ранга, равного размерности поверхности , удовлетво-47ряющий условию1 ...−1 Π⊥ = 0(2.46)и нормированный условием1 ... 1 ... = sign() !,(2.47)где sign() – знак детерминанта метрики поверхности ℳ. Несложно показать, что указанные условия определяют форму объема однозначно сточностью до знака и можно выбрать1 ... = 11 . . . 1 ... .(2.48)Понятно, что форму объема можно построить не только для всей поверхности ℳ, но и для любого ее подмногообразия.Как и проекторы Π и Π⊥ , форма объема 1 ... обладает некоторымиполезными свойствами.
В частности, для ее произвольной малой вариации легко доказать тождестваΠ⊥ Π⊥ 1 ...−2 = 0,Π11 . . . Π 1 ... = 0.(2.49)Важную роль играет еще одно свойство формы объема: 1 ...−1 = 0.(2.50)Для его доказательства нужно заметить, что вследствие (2.49) левая частьформулы (2.50) равна сумме таких же как она выражений, в которых поодному из индексов 1 .
. . −1 вставлен проектор Π⊥ . А каждый из нихобращается в ноль, поскольку ( 1 ...−1 )Π⊥ 1 = 1 ...−1 ( Π1 )Π⊥ == 1 ...−1 1 ( )Π⊥ = 0(2.51)вследствие антисимметрии 1 ...−1 и симметрии = по индексам , .Важность формулы (2.50) связана со следующим. Если в плоском пространстве задана в каждой точке -мерная площадка, то формула (2.50),48записанная в формеΠ 1 ...−1 = 0,(2.52)где и Π – форма объема и проектор, соответствующие площадке, является одним из способов записи условия интегрируемости Фробениуса(см., например, [65]), гарантирующего существование поверхностей, к которым заданные площадки будут касательными.2.6Описание подмногообразийПроцедура вложения риманова пространства в плоское объемлющеепространство оказывается чрезвычайно полезной при описании подмногообразий риманова пространства. Это связано с простым фактом: еслимы вложим риманово пространство в плоское объемлющее пространство,то все его подмногообразия автоматически тоже окажутся вложены в этообъемлющее пространство, следовательно, для их описания можно использовать все введенные выше величины, такие, как , Π и т.д.
Единственный нюанс, о котором следует помнить – исходное риманово пространство всегда можно локально вложить в плоское пространство минимальной размерности ( + 1)/2, а подмногообразие окажется погруженным в плоское пространство уже не минимальной для него размерности.При описании гравитации необходимость рассматривать подмногообразия риманова пространства возникает при рассмотрении динамики повремени, в частности, когда развивается канонический формализм. Такими подмногообразиями являются поверхности постоянного времени, ивозникает необходимость связывать их геометрические характеристикис аналогичными характеристиками всего риманова пространства.
Однойзадач такого рода является вывод формулы, связывающей скалярную кривизну всего четырехмерного пространства со скалярной кривизной гиперповерхности постоянного времени. Эта формула лежит в основе записи действия в подходе Арновитта-Дезера-Мизнера [58], представляющего собой канонический формализм для теории гравитации Эйнштейна. Вданном и нескольких последующих разделах будут изложены особенности использования формализма вложения при описании подмногообразийдля случая произвольных размерностей.
Будет показано, как с его помощью могут быть выведены некоторые известные формулы, в частности,49вышеупомянутая формула, связывающая скалярные кривизны римановапространства и лежащей в нем гиперповерхности.Пусть риманово пространство размерности вложено в виде поверхности ℳ в плоское пространство + ,− большей размерности. Пусть ℳ̂– -мерное гладкое подмногообразие в ℳ. Понятно, что ℳ̂ также является некоторой поверхностью в + ,− . Введем на ℳ координаты , ипусть пробегает значений таким образом, чтобы , где пробегает значений, были координатами на ℳ̂, а прочие компоненты ( пробегает − значений) имели на ℳ̂ постоянные значения. Если ( ) функция вложения для ℳ, то ясно, что функция вложения поверхностиℳ̂ в + ,− будет иметь видˆ ( ) = ( )| = .(2.53)Будем помечать шляпкой все величины, относящиеся к подмногообразию ℳ̂.
Сигнатуру ℳ̂ будем считать произвольной (в пределах, накладываемых сигнатурой ℳ), будем лишь требовать невырожденностиметрики ˆ на ℳ̂. Для ℳ̂ можно построить из (2.53) все величины, ввеˆ ,денные выше в разделах 2.1-2.5 для ℳ: ˆ , ˆ , Π̂ , Π̂⊥ , ˆ1 ... , ˆ , ˆ , ˆ и т. п. Легко найти связь между реперами поверхностей ℳ̂ и ℳ:ˆ = ˆ = = ,(2.54)ˆ = ˆ ˆ = = .(2.55)откуда сразу следуетОднако отметим, что, вообще говоря, ˆ ̸= и ˆ ̸= . Несложно такжезаметить свойства проекторов:Π = Π̂ + Π̄ ,Π⊥ = Π̂⊥ − Π̄ ,(2.56)если ввести Π̄ как проектор на подпространство касательного пространства к ℳ (в данной точке), ортогональное касательному пространству кℳ̂.502.7Случай гиперповерхностиВ часто возникающем случае, когда ℳ̂ является гиперповерхностью вℳ (т.
е. − = 1) величина Π̄ оказывается проектором на одномерноепространство и ее можно записать в видеΠ̄ = ,(2.57)где – единичный вектор нормали, = = ±1 (знак зависит от сигнатуры одномерного пространства). Явную формулу для можно получить так. Из (2.7) следует, что = 0⇒ ˆ = 0,(2.58)следовательно, вектор (если ℳ̂ – гиперповерхность, то индекс принимает только одно значение) ортогонален всем касательным к ℳ̂ векторам, но лежит в касательном к ℳ пространстве, так что ∼ , а значит,с учетом нормировки,= √︀. = √︀| || |(2.59)Вектор нормали определен, естественно, с точностью до знака, которыйне влияет на проектор (2.57).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
