Диссертация (1145422), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Таким образом, эти четыре72уравнения, которые вместе можно записать в виде = 0,(3.35)являются связями, т. е. условиями, ограничивающими начальные данные ( ), 0 ( ), задаваемые на поверхности 0 = . Интересно, чтоуравнения (3.35), которые были связями в ОТО, остались таковыми и втеории вложения, несмотря на то, что независимые переменные ОТО –метрика – выражаются через независимые переменные теории вложения – функции () – с помощью дифференцирования. Будем называтьуравнения (3.35) эйнштейновскими связями. Заметим, что именно их выполнение предложили искусственно потребовать Редже и Тейтельбойм вработе [1], поскольку условие (3.35) совпадает с (3.20).3.5Сравнение уравнений теории вложенияс уравнениями ЭйнштейнаТеперь рассмотрим полный набор уравнений движения теории вложения (3.17), записав их в форме соотношения между тензорами объемлющего пространства: = 0.(3.36)Предположим, что они выполнены, причем будем их рассматривать, какописывающие изменение со временем трехмерной пространственноподобной поверхности ℳ̂, соответствующей 0 = .
Для того чтобырешить упоминавшуюся выше проблему "лишних" решений, выясним,какие дополнительные ограничения нужно ввести в теорию, чтобы онастала эквивалентна ОТО, т. е. ее уравнения были бы эквивалентны выполнению уравнениям Эйнштейна. Только что проведенный анализ показывает, что для этого, как минимум, нужно выбрать начальные данные –значения ( ) и 0 ( ) в начальный момент времени – так, чтобы ониудовлетворяли эйнштейновским связям.Будем считать, что это сделано, т. е. в начальный момент выполнены уравнения (3.35). Тогда, используя (2.56),(2.57) можно в начальный73момент времени вместо (3.36) написать Π̂ Π̂ ℎ = 0(3.37) ˆ ˆ ℎ = 0.(3.38)илиСтоящую в этом уравнении величину ℎ можно воспринимать как матрицу с мультииндексами ℎ и {}.
При этом можно считать, что ℎ пробегаетне все десять, а только шесть значений, вследствие выполнения четырехтождественных соотношений (2.29), а мультииндекс {} также пробегает шесть значений вследствие симметричности величины ℎ . Таким образом, величина ℎ может рассматриваться как квадратная матрица 6 × 6.Предположим дополнительно, что эта матрица является неособой во всехточках начальной поверхности, что можно условно записать как(︀ )︀det ℎ ̸= 0.(3.39)Это предположение носит технический характер, оно всего лишь исключает некоторое множество начальных данных, имеющее меру ноль.
Еслиматрица ℎ неособая, то уравнение (3.38) эквивалентно уравнению ˆ ˆ = 0,(3.40)которое вместе с наложенными связями (3.35) можно записать в видеуравнений Эйнштейна = 0.(3.41)Таким образом, мы получаем первый результат: уравнения теории вложения, дополненные наложенными в некоторый момент времени связями(3.35) и техническим условием (3.39) приводят к выполнению уравненийЭйнштейна в этот момент времени.Теперь исследуем, как ведет себя производная по времени от связей(3.35).
Для этого запишем следствие тождества Бьянки = 0⇒Π = 0.74(3.42)Преобразуем левую часть этого тождества:√︀Π = Π + Π 00 0 =√︀√︀= Π − Π⊥ 00 0 + 00 0 =√︀√︀√︀ 0000= Π + 0 Π⊥ − 0 + 00 0 ( ) . (3.43)Здесь были использованы формулы (2.59), (2.21) и свойства проекторов.Подставив (3.43) в (3.42), из полученного уравнения можно выразить производную по времени от связей (3.35) в виде10 ( ) = − √︀ Π − 0 Π⊥ + 0 .
00(3.44)Из этого соотношения легко получить второй результат: если в некоторый момент времени выполняются уравнения Эйнштейна (3.41), то производная по времени от связей (3.35) оказывается в этот момент времениравной нулю.Вместе с найденным выше первым результатом сказанное позволяетзаключить, что если всегда выполняются уравнения теории вложения, втечение некоторого промежутка времени выполняется техническое условие (3.39) и в начальный момент такого промежутка наложены эйнштейновские связи (3.35), то в течение этого промежутка времени выполняются уравнения Эйнштейна.
Поскольку, в частности, эйнштейновские связи,будучи наложены в начальный момент, выполняются далее автоматически, то в терминах канонического формализма эти связи следует отнести к связям первого рода. Подробно каноническая формулировка теории, возникающей в результате наложения в начальный момент времениэйнштейновских связей, будет исследоваться в главе 4.В итоге находим, что если в начальный момент времени потребоватьвыполнения эйнштейновских связей и технического условия (3.39), то,по крайней мере в течение некоторого времени, динамика системы, задаваемая уравнениями теории вложения, будет эквивалентна динамикеОТО. Будем называть такой подход формулировкой гравитации РеджеТейтельбойма.Отличия могут появиться, только если в какой-то момент времениокажется нарушенным техническое условие (3.39), т.
е. предположение онеособенности матрицы ℎ . Если эта матрица станет особой только в од75ной точке , то, по непрерывности, это не приведет к появлению отличийот динамики ОТО. Наиболее вероятно, что такие отличия могут появиться, только если матрица ℎ станет особой в некоторой трехмерной области, но это может произойти только при очень специальном подборе начальных данных. В результате можно заключить, что при выборе начальных данных, подчиненных эйнштейновским связям, в ситуации общегоположения динамика теории вложения совпадает с динамикой ОТО. Следует, однако, отметить, что случай, когда начальная трехмерная поверхность ℳ̂ является точно плоской, нарушает техническое условие (3.39),и, следовательно, не попадает в такую ситуацию общего положения.Интересно отметить, что ситуация, когда матрица ℎ становится особой, является специальной и для самих уравнений Эйнштейна, записанных в терминах функции вложения.
Чтобы это увидеть, рассмотрим "динамическую" часть уравнений Эйнштейна, т. е. те из них, которые неявляются связями. Они получаются сворачиванием уравнения (3.21) с величиной ˆ ˆ :ˆ ˆ ℎ ℎ = 0.(3.45)Выделим из этого уравнения члены, содержащие вторые производные повремени от . Понятно, что величина 02 появляется в (3.45) только ввиде выражения ℎ , которое можно записать в виде ℎ = Πℎ = Π⊥ ℎ =√︀ 00 Π⊥ ℎ 0 + . . . ,(3.46)где использованы равенства (2.28),(2.23),(2.59), а под многоточием понимаются слагаемые, не содержащие 02 . Поэтому уравнению (3.45) можно придать формуˆ ˆ ℎ, ℎ = ,(3.47)где не содержит 02 . Используя (3.46) и обозначение (3.24), его также можно переписать в виде, ℎ 0 ℎ = ˜ ,76(3.48)где ˜ не содержит 02 , а затем представить в форме¯ , ˜ ,ℎ 0 ℎ = (3.49)¯ , = 1 (ˆ ˆ − ˆ ˆ − ˆ ˆ )2(3.50)гдепредставляет собой величину, обратную к определяемой формулой (3.24)величине , в смысле действия в пространстве симметричных трехмерных матриц:(︀)︀¯ , , = 1 + .2(3.51)Отметим, что величина (3.50) с точностью до множителя совпадает с известной метрикой суперпространства Уилера-ДеВитта, см.
[82].Чтобы определить однозначно изменение поверхности ℳ̂ со временем необходимо иметь возможность найти из уравнения (3.49) проекциюΠ⊥ ℎ 0 ℎ (остальные компоненты величины 0 ℎ либо тождественно равны нулю – пропорциональные ℎ , либо соответствуют изменению координат на начальной поверхности – касательные к ℳ̂). Но для того, чтобыэто можно было сделать, должно выполняться условие (3.39), т. е.
величина ℎ должна быть неособой как матрица с мультииндексами ℎ и {}.Можно предположить, что если матрица ℎ оказывается особой внекоторой трехмерной области, то по этой области можно склеивать разные решения уравнений Эйнштейна, записанные в терминах ().
Поскольку, кроме того, в этой области разрушается доказательство совпадения динамик теории вложения и ОТО, можно склеивать решения уравнений теории вложения, соответствующие ОТО, с "лишними" решениями.3.6"Лишние" решения в теории вложенияКак показано в предыдущем разделе, "лишние", т. е. не соответствующие ОТО, решения уравнений Редже-Тейтельбойма можно исключить(с некоторыми оговорками), если в начальный момент времени наложитьэйнштейновские связи (3.35). Представляет, однако, интерес исследовать77также, какие результаты возникают в исходной теории вложения, без такого искусственного наложения.Следует отметить, что к проблеме лишних решений можно относится двумя противоположными способами – считая лишние решения какнедостатком, мешающим воспринимать теорию вложения как правильную теорию гравитации, так и, возможно, достоинством.
Достоинствомлишние решения могли бы стать, если бы с их помощью можно было быобъяснить некоторые эффекты, требующие для объяснения в рамках ОТОвведения новых объектов, таких как темная материя и темная энергия.Идея заключается в том, что уравнения Редже-Тейтельбойма (3.11)можно записать в виде уравнений Эйнштейна = κ ( + ) ,(3.52)в правую часть которых добавлена величина , которую можно интерпретировать как вклад тензора энергии-импульса некоторой фиктивной -материи, а подчиняется уравнению(︀)︀ = 0.(3.53)Если бы существовали лишние (т. е.
соответствующие ̸= 0) решения,для которых соответствовало бы поведению темной энергии (т. е. ≈ Λ ) или темной материи, то это позволило бы решить многие имеющиеся проблемы современной наблюдательной космологии (опроблемах см., например, [83]).
Следует отметить, что аналогичная идеяинтерпретировать темную материю путем некоторой модификации уравнений Эйнштейна недавно была использована в работах [84, 85].Попытка избежать необходимости введения в теорию темной энергии, используя лишние решения уравнений теории вложения, в рамкахсимметрии Фридмана была сделана в работе [17]. Однако полученное решение не обеспечивает ускоренного расширения вселенной в настоящеевремя, что, как теперь известно, следует из наблюдений, так что даннуюпопытку следует считать неудачной. В работе [18] была предпринята другая попытка – используя лишние решения уравнений теории вложения врамках симметрии Фридмана избежать необходимости введения в теорию темной материи. Однако и эту попытку сложно признать успешной,поскольку оказывается необходима тонкая подстройка.78Чтобы это показать, проанализируем уравнения Редже-Тейтельбоймав случае симметрии Фридмана.
Прежде всего заметим, что уравнение(3.53) можно записать в виде уравнения неразрывности для некоторого"тока": = 0, =√− .(3.54)Это означает наличие некоторых сохраняющихся величин, что упрощаетанализ уравнений.Поскольку в теории вложения независимой переменной являетсяфункция вложения (), можно предположить, что описываемая ей четырехмерная поверхность в объемлющем пространстве тоже соответствуетсимметрии Фридмана. Это означает, что ее сечения постоянного времени должны являться однородными и изотропными пространствами как сточки зрения внутренней, так и с точки зрения внешней геометрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
