Диссертация (1145422), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Это преобразования, являющиеся изометрическими изгибаниями поверхностей постоянного времени ℳ̂(см. формулу (4.28) и текст после нее), дополненными соответствующими преобразованиями множителей Лагранжа , 0 . Оставшиеся четырепреобразования симметрии – это преобразования, при которых величина′изменяется по тензорному закону, в результате чего действие (4.43)не изменяется.′совпадаетПри наложении калибровочных условий (4.42) величина с индуцированной метрикой. Как следствие, в этой калибровке она удовлетворяет уравнениям Эйнштейна (это верно, если начальные данныенаходятся в ситуации общего положения, см. выше).
Но, поскольку этавеличина не изменяется при преобразованиях, с помощью которых произвольные значения переменных приводятся к калибровке (4.42), она удовлетворяет уравнениям Эйнштейна и в том случае, когда калибровочныеусловия (4.42) не накладываются. Поэтому, в принципе, можно считать′инвариантным относительно дополнительных преобразовавеличину ний симметрии определением метрики, совпадающим с индуцированнойметрикой только в калибровке (4.42).Отметим, что описанная здесь ситуация является примером способасовершить в действии замену переменных, содержащую дифференцирование, и сохранить при этом эквивалентность исходной теории путем введения вспомогательной степени свободы таким образом, чтобы она аддитивно входила в эту замену (как в последних двух формулах в (4.44)).При этом возникает калибровочная симметрия, соответствующая такомуизменению новой и вспомогательной переменных, при котором стараяпеременная не изменяется.Недостатком найденного действия расширенной теории (4.43) является наличие выделенного направления времени, связанное с тем, что вформулы (4.44) временные компоненты входят не на равных правах с пространственными.
Было бы интересно найти такую модификацию формул(4.44), при которой не появлялись бы выделенные направления и, в то же99время, уравнения движения такой теории оставались бы эквивалентныуравнениям Эйнштейна.4.5Обсуждение существованиядополнительных связей первого родаВ данном разделе мы хотим обсудить, какой смысл может иметь существование в каноническом формализме дополнительных связей, которые находятся в инволюции с гамильтонианом теории и, возможновместе с прочими, присущими теории связями, образуют алгебру связей первого рода.
Именно такими дополнительными связями являютсяэйнштейновские связи (4.12),(4.13) для формулировки гравитации РеджеТейтельбойма.Рассмотрим для сравнения простую модель в пространстве Минковского с действием)︂(︂∫︁ ∫︁11(0 )(0 ) − ( − ) ( − ) , (4.51) = 3 24где независимой переменной является трехкомпонентное поле ().Обобщенным импульсом будет величина = 0 , первичные связи отсутствуют. Гамильтониан модели имеет вид(︂)︂∫︁11 = 3 + ( − ) ( − ) .(4.52)24Рассмотрим дополнительную связь Φ() = ().
Легко проверить, чтоона находится в инволюции с гамильтонианом, т. е. их скобка Пуассонаравна нулю. Поскольку {Φ(), Φ()} = 0, величина Φ() является связью первого рода и ее можно добавить к гамильтониану с множителемЛагранжа:)︂(︂∫︁11gen3 = + ( − ) ( − ) + . (4.53)24Таким образом, ситуация с наложенной дополнительно связью Φ() вэтой модели полностью аналогична ситуации с эйнштейновскими связями в формулировке гравитации Редже-Тейтельбойма.100Построим действие ′ , соответствующее гамильтониану (4.53). Новоевыражение для обобщенной скорости имеет вид gen0 == − .(4.54)Выражая из этого соотношения обобщенный импульс и совершая преобразование Лежандра, получаем искомое действие(︂∫︁ ∫︁1 ′ = 3 (0 + )(0 + )−2)︂1− ( − ) ( − ) .
(4.55)4Множитель Лагранжа (), связанный с наложенной дополнительно связью, появился в этом действии как новая независимая переменная. Введяновое обозначение 0 = −, легко узнать в полученном выражении (4.55)действие свободной электродинамики, канонический формализм для которого обсуждался в разделе 1.4.
Исходное же действие (4.51) получаетсяиз него фиксацией калибровки 0 = 0.Рассмотренный пример показывает, что возможность наложения в каноническом формализме дополнительных связей первого рода можно воспринимать как сигнал о том, что исходная теория, в которой дополнительные связи не вводятся, является результатом фиксации калибровки (возможно, частичной) в некоторой расширенной теории с дополнительнойкалибровочной симметрией. В частности, обладающая четырехпараметрической калибровочной группой исходная теория вложения с действием(3.16), в которой независимой переменной является функция вложения,оказывается результатом частичной фиксации калибровки в описываемой гамильтонианом (4.37) и действием (4.43) формулировке гравитацииРедже-Тейтельбойма, которая обладает восьмипараметрической калибровочной группой.
Следует отметить, что, фиксация калибровки в действииможет приводить к потере части уравнений движения (см. пример, рассмотрение которого было начато в разделе 1.4 и продолжено в данномразделе; однако, может и не приводить, как в примере из раздела 1.3).Именно поэтому уравнения Редже-Тейтельбойма (3.17) имеют лишниерешения.1014.6Переход к внешнему времениПри обычном подходе к теории вложения, когда независимой переменной является фyнкция вложения ( ), роль времени играет времениподобная координата 0 . При этом теория обладает симметрией относительно произвольных замен координат → ′ ( ), в том числепроизвольно изменяющих время. Как уже обсуждалось в разделе 1.3, вэтом случае гамильтониан оказывается пропорционален связям, а значитпри квантовании равен нулю при действии на физическом подпространстве состояний (см.
раздел 1.2). Для формулировки гравитации РеджеТейтельбойма, когда дополнительно накладываются эйнштейновские связи, это тоже оказывается так, см. выражение для обобщенного гамильтониана (4.37). Как говорилось в разделе 3.1, эту проблему выбора времени можно попытаться решить, выбрав в качестве "физического" временикакую-то другую величину вместо 0 . Поскольку теория вложения формулируется в плоском объемлющем пространстве, естественным кандидатом на роль физического времени является "внешнее" время – времениподобная координата 0 объемлющего пространства.Для использования внешнего времени нужно перейти от описания поверхности функцией вложения ( ) к ее описанию функцией ( 0 , )(здесь и далее , , .
. . = 1, 2, 3, и , , . . . = 1, . . . , 9), задающей динамику по времени 0 функции вложения трехмерного сечения нашегопространства-времени в плоское девятимерное пространство 0 = .Такой переход сводится к наложению условия 0 ( ) = 0 ,(4.56)частично фиксирующего общековариантный произвол выбора координат на поверхности, т. е. являющегося частичной фиксацией калибровки. Кроме того, что переход от "внутреннего", выбираемого произвольновремени 0 , к внешнему времени 0 объемлющего пространства Минковского кажется естественным с точки зрения проблемы выбора временипри квантовании, такой переход также может оказаться полезным промежуточным шагом для построения канонического формализма для описываемой в главе 5 теории разбиения.Как показывают рассмотренные в разделах 1.3,1.4 примеры, фиксация калибровки с самого начала, т.
е. сразу в действии, может как при102водить, так и не приводить к изменению теории. Рассматриваемое длятеории вложения условие (4.56) является полностью аналогичным условию (1.37), использованному при рассмотрении релятивистской частицыв разделе 1.3, когда введение калибровки в действие оказалось неизменяющим теории.
Поэтому можно ожидать аналогичного поведения прииспользовании (4.56) в теории вложения. И это действительно оказывается так. В работе [88] показано, что из девяти уравнений = 0,(4.57)возникающих из действия (3.16) после использования в нем калибровки(4.56), следуют все десять уравнений Редже-Тейтельбойма (3.17).Отбрасывая как и раньше поверхностный вклад в действии (3.16) ииспользуя (4.56) результирующее действие с частично зафиксированнойкалибровкой можно записать в виде⎞⎛∫︁√︁˙ ˙ 1⎜⎟+ 1 + ˙ Π̂⊥ ˙ ⎠ ,(4.58) = 4 ⎝ √︁21 + ˙ Π̂⊥ ˙ где = −1 √︀,−ˆ ˆˆ, κ(4.59)а , определено формулой (3.24), см. подробности в работе [88]. Соответствующее выражение для обобщенного импульса, сопряженного кнезависимой переменной , имеет вид)︀1 (︀ = + − ,2(4.60)гдеΠ̂⊥ ˙ √︁ =.1 + ˙ Π̂⊥ ˙(4.61)Этот вектор, в отличие от входящего в формулу (4.9), уже не являетсянормированным, поэтому из соотношения (4.60) следует наличие только103трех связейΦ̃ = ˆ ≈ 0,(4.62)а не четырех, как было в разделе 4.2, когда не было фиксации калибровкив действии.К сожалению, из соотношений (4.60),(4.62) явно выразить обобщенные скорости через обобщенные импульсы не удается, поскольку для этого опять нужно решать систему кубических уравнений (4.60) относительно , поэтому развить канонический формализм для исходной теориивложения остается чрезвычайно сложной задачей (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
