Диссертация (1145422), страница 17
Текст из файла (страница 17)
обсуждение после(4.10)). Если же, как и в разделе 4.2, изучать формулировку гравитацииРедже-Тейтельбойма, а значит дополнительно наложить эйнштейновскиесвязи, которые при использовании условия (4.56) принимают вид)︀1 (︀ − ≈ 0,ℋ̃0 =2)︁(︁√︀1, ˆˆ ≈ 0,−ˆ ℋ̃ =κ(4.63)то ситуация упрощается, поскольку (4.60) переходит в соотношение = ,(4.64)причем матрица , имея ранг 6, является в ситуации общего положенияобратимой в шестимерном пространстве, ортогональном векторам ˆ .В результате оказывается несложным получить гамильтониан такойтеории, он оказывается пропорционален одной из эйнштейновских связей ℋ̃0 .
Поэтому обобщенный гамильтониан снова, как и в случае, когдаусловие (4.56) не используется (см. (4.36)), сводится к линейной комбинации связей с множителями Лагранжа, но в количестве не восемь, а семь:∫︁(︁)︁gen30˜ = Φ̃ + Ψ̃ + 0 ℋ̃ ,(4.65)где Ψ̃ = ℋ̃ + Φ̃ ˆ и связи выражаются через канонические переменные , соотношениями(︂)︂√︀1ˆ √Φ̃ = ˆ ,Ψ̃ = − −ˆ ˜ + ˆ ,−ˆ104κ1 √︀ ˆ ¯ , ℋ̃0 = − √−ˆ , ˜ ˜ +2κ2 −ˆ(4.66)где ˜ является величиной, обратной к ˆ в соответствующем подпространстве, по аналогии с определяемой формулами (4.17),(4.18) величиной , см. подробности в работе [88].Поскольку, как уже говорилось выше, уравнения движения теориивложения после введения калибровки в действие не изменяются, канонический формализм, построенный для действия (4.58), должен совпадатьс результатом наложения дополнительных условий (4.56) в каноническомформализме для исходного действия (4.6) и последующего исключенияпары канонических переменных с помощью появляющихся связей второго рода.
Именно такая ситуация имеет место в примере, рассмотренном вразделе 1.3. Однако для формулировки гравитации Редже-Тейтельбойма,когда при построении канонического формализма происходит дополнительное наложение эйнштейновских связей, заранее нет полной уверенности в том, что возникающая система семи связей будет образовыватьалгебру связей первого рода, а также что гамильтониан (4.65) задает туже динамику, что и гамильтониан (4.36) после введения дополнительныхусловий и решения пары связей. Тем не менее это оказывается именнотак, это было проверено в работе [88].В результате приходим к выводу, что при каноническом описании эквивалентной ОТО формулировки гравитации Редже-Тейтельбойма можноперейти от внутреннего времени 0 к "внешнему" времени 0 и это не изменит физического содержания теории.105Глава 5Теория разбиенияВ этой главе предлагается вариант описания гравитации в рамкахтеории вложения, сформулированный в виде теории некоторого многокомпонентного поля в плоском пространстве-времени с числом измерений больше четырех.
Конфигурации поля описывают разбиение этогопространства-времени на систему четырехмерных поверхностей, каждая из которых может рассматриваться как наше четырехмерноепространство-время. Получено действие теории, уравнения движениядля которого обеспечивают выполнение уравнений Редже-Тейтельбойма(среди решений которых есть и решений уравнений Эйнштейна) длякаждой из поверхностей. Обсуждается построение канонического формализма теории, а также ее возможные дальнейшие обобщения.
Результаты данной главы опубликованы в работе [90].5.1Гравитация как теория поляКак говорилось в разделах 3.1,3.2, идея описывать гравитацию в виде теории вложения – теории поверхности в плоском объемлющем пространстве, может оказаться полезной при квантовании теории. Однако,являясь теорией в плоском пространстве, теория вложения не являетсятеорией поля, поэтому описанные в разделе 3.1 проблемы квантования,возникающие при обычном описании гравитации, отчасти присущи и ей.В частности, остается проблема причинности: при квантовании функциявложения ( ) становится оператором, коммутационные соотношениядля которого снова сложно задать, так как этот оператор зависит от координат точек на поверхности, интервал между которыми определяется106метрикой, тоже оказывающейся оператором, поскольку она выражаетсячерез ( ) формулой (2.4).Преодолеть эту проблему можно, переходя от теории вложения в терминах функции ( ) к некоторой эквивалентной ей (в каком-нибудьсмысле), теории поля в плоском объемлющем пространстве.
Посколькудля всех взаимодействий, кроме гравитационного, прогресс в построенииквантовой теории был достигнут именно при их описании в виде теорииполя в плоском пространстве, такой подход имеет шансы оказаться перспективным. Хотя следует сразу отметить, что, поскольку объемлющеепространство, в котором предполагается рассмотреть теорию поля, обладает большей чем обычно размерностью, при квантовании такой теорииполя нужно ожидать ухудшения ультрафиолетового поведения теории посравнению с привычными теориями поля в четырехмерном пространстве.Построим пример теории поля, в некотором смысле эквивалентнойтеории вложения.
Для большей общности, в данной главе будем формулировать теорию для произвольного числа > 4 измерений объемлющего пространства 1, −1 , предполагая, что времениподобное направлениев нем только одно. Заметим, что для того чтобы работали описанныев главе 3 аргументы, призванные показать, что теория вложения можетбыть эквивалентна ОТО (после наложения дополнительных связей илив результате инфляции), нужно брать = 10, однако сама по себе излагаемая здесь формулировка теории поля, соответствующая теории вложения, может использоваться при любых > 4. В этой главе мы небудем жестко фиксировать выбор сигнатуры объемлющего пространства1, −1 , считая, что она имеет вид (, −, .
. . , −), где = ±. Также, небудем предполагать отсутствия материи.Как уже упоминалось в разделе 3.2, теория вложения может рассматриваться как динамика трехмерного пространства (трехмерной браны),описывающего с течением времени четырехмерную поверхность в плоском пространстве-времени, т. е. существует аналогия между ней и механикой материальной точки – теорией одной частицы, описывающей стечением времени одномерную мировую линию в пространстве Минковского. Отличия заключаются только в размерности, а также в том, что вкачестве действия берется не просто объем, а интеграл от скалярной кривизны. Для того чтобы перейти к теории поля, можно перейти от однойтрехмерной браны к состоящей из таких бран среде, заполняющей всеплоское объемлющее пространство, аналогично тому как вместо одной107частицы можно рассмотреть состоящую из таких частиц среду.
Инымисловами, будем рассматривать теорию поля, описывающую сразу много четырехмерных поверхностей, заполняющих все пространство 1, −1 ,т. е. проходящих через каждую его точку.Будем предполагать, что эти поверхности (обозначаемые через ℳ) непересекают друг друга, т. е. через каждую точку проходит только однаповерхность, а также, что разные поверхности не взаимодействуют (или,возможно, почти не взаимодействуют) друг с другом. Можно сказать, чтопроисходит разбиение плоского пространства 1, −1 на систему поверхностей ℳ.
Теорию поля, которая описывает такую систему поверхностей будем для краткости называть "теорией разбиения". Будем такжеполагать, что кроме описывающего систему поверхностей поля в пространстве 1, −1 могут присутствовать и другие поля – поля материи.Несмотря на то, что эти поля понимаются как заданные в объемлющемпространстве, попытаемся так построить их взаимодействие, чтобы в результате возникла теория, в которой любые возмущения распространялись бы только вдоль четырехмерных искривленных поверхностей ℳ,а геометрия этих поверхностей соответствовала бы решениям уравненияРедже-Тейтельбойма.
Тогда любую из поверхностей ℳ можно будет считать нашим четырехмерным пространством-временем.5.2Переменные теорииОпределим явный способ описания системы поверхностей ℳ с помощью поля, заданного в объемлющем пространстве 1, −1 , и найдем, как втерминах этого поля можно записать скалярную кривизну каждой поверхности. Рассмотрим в пространстве 1, −1 теорию вещественного поля ( ), состоящего из − 4 компонент.
Здесь – лоренцевы координатыв пространстве 1, −1 , , , . . . = 0, . . . , − 1 и , , . . . = 1, . . . , − 4.Каждой конфигурации поля ( ) соответствует разбиение пространства 1, −1 на систему поверхностей ( ) = , т. е. поверхностейравного значения поля. Ясно, что за исключением вырожденных ситуаций эти поверхности ℳ оказываются четырехмерными.
Будем считать,что физическим степеням свободы соответствует только способ разбиения пространства 1, −1 на систему поверхностей, но не конкретныезначения поля на каждой поверхности. Это соответствует предполо108жению о симметрии теории относительно соответствующих "перенумерации" поверхностей преобразований поля () −→ ′ () = (()),(5.1)где () – произвольная функция.Будем считать, что одна из поверхностей () = (любая из них)представляет собой наше пространство-время. Тогда внутренняя геометрия нашего пространства-времени, которая определяет гравитационноевзаимодействие, будет определяться формой поверхности, а значит конфигурацией поля (), причем преобразование (5.1) эту геометрию неизменяет.
Для того, чтобы записать большую часть характеристик внутренней геометрии, например, метрику, необходимо ввести координатнуюсистему на ℳ. Однако все инвариантные характеристики однозначноопределяются формой поверхности ℳ, а значит конфигурацией поля (), поэтому описывая систему в терминах этого поля мы имеем инвариантное, не привязанное к конкретной системе координат, описаниегравитации.Введем обозначение () ≡ ≡ .(5.2)Заметим, что при фиксированных значениях индекса величина представляет собой набор нормалей к поверхности ℳ. Пространство значений функции () представляет собой ( − 4)-мерное многообразие,обозначим его через .
Преобразование (5.1) представляет собой замену координат на этом многообразии, т. е. является "общековариантным"преобразованием в пространстве значений поля (обычно мы называемобщековариантным преобразованием замену координат в пространствеаргументов поля). Величину можно рассматривать как отображение(взаимно-однозначное в ситуации общего положения) между касательным пространством в данной точке многообразия (понимаемом каклинейное пространство дифференциалов координат на ) и пространством, ортогональным к ℳ в данной точке. Важно отметить, что всеточки определенной поверхности ℳ соответствуют одной точке в , ипространства, ортогональные к одной и той же поверхности ℳ в разныхточках отображаются в одно и то же касательное пространство к .109Поскольку пространство 1, −1 является плоским, в нем существует метрика = diag(, −, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
