Диссертация (1145422), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Начальный вектор 0 должензависеть от , однако направление вектора 0 от зависеть не может,поскольку определяется подгруппой стабильности вектора 0 . Поэтому врассматриваемом случае от зависит только длина вектора 0 (обозначимее как ()) и величина 01 (). Выражая вектор 0 через () и характеризующие сферические углы , , получаем из (6.23) функциювложения в виде: + = 0 + 01 (), − = 0, 2 = () cos , 3 = () sin cos , 4 = () sin sin ,(6.27)где + , − – светоподобные координаты в объемлющем пространстве,метрика которого с точностью до знака дается формулой (6.24).
Если заметить, что при фиксированных значениях параметров , , координата + принимает любые значения за счет изменения параметра трансляции , то оказывается, что функция вложения (6.27)) описывает поверхностьℳ, представляющую собой четырехмерную светоподобную плоскость − = 0. Ее сечения = не являются трехмерными плоскостями (хотя проводя сечение по-другому, трехмерные плоскости получить можно).Полученная поверхность обладает желаемой симметрией, однако легкопроверить, что получить вложение метрики (6.22), используя такую функцию вложения, не удается.Остается рассмотреть вариант 0 = 0 для случая представления (6.23).Снова учитывая, что начальный вектор 0 зависит от , и записывая вектор в сферических координатах , , , получаем для данного случаяфункцию вложения в виде:1 + = 01 () + 2 02 ()2 ,2−0 = 2 (), 2 = 02 () cos , 3 = 02 () sin cos , 4 = 02 () sin sin .(6.28)Подставляя ее в (6.1) с правой частью, соответствующей (6.22), находим, что направления 3 , 4 , 5 объемлющего пространства должны бытьпространственно-подобными и что должны выполняться следующие со-140отношения: 02 () = (),2 ˙ 01 () ˙ 02 () = 1,(6.29)откуда01 () =2∫︁.()˙(6.30)После использования (6.29),(6.30) в формулах (6.28) оказывается, чтолоренцев буст в плоскости + , − объемлющего пространства эквивалентен умножению константы на произвольное положительное число, по√этому можно выбрать любое значение > 0.
Взяв = 2, и переписав(6.28) в лоренцевых координатах, получаем окончательное выражение дляфункции вложения пространственно-плоской модели Фридмана:(︂)︂∫︁12 () ++ () ,0 =2()˙(︂)︂∫︁11 =2 () +− () ,2()˙(6.31) 2 = () cos , 3 = () sin cos , 4 = () sin sin ,причем сигнатура объемлющего пространства имеет вид (+, −, −, −, −).Эта формула дает единственную при = 5 обладающую симметриейпространственно-плоской модели Фридмана функцию вложения для соответствующей метрики, эта функция вложения совпадает с найденной вработе [22].Отметим, что сечение = (равно как и любые другие сечения)полученной поверхности ℳ не является трехмерной плоскостью, несмотря на то, что это сечение обладает симметрией относительно группы движений такой плоскости. Это сечение представляет собой некоторую параболическую (поскольку она квадратична по ) поверхность, являющуюсяпромежуточным вариантом между сферой, возникающей в закрытой, ипсевдосферой, возникающей в открытой моделях Фридмана.
Об этом говорит тот факт, что вложение (6.31) может быть получено некоторыми141предельными переходами из вложений (6.13) и (6.18) закрытой и открытой моделей.Получим такой предельный переход для закрытой модели (для открытой рассуждения проводятся аналогично). Для этого сделаем в (6.15) замену → ,() →1(),(6.32)и будем считать, что → 0, а область изменения ограничена так, что ≪ 1. Тогда компоненты 2 , 3 , 4 в формуле (6.13) в пределе перейдутв соответствующие компоненты формулы (6.31). Для оставшихся компонент имеем∫︁∫︁ √︃ 2 ˙0+1= ++ ( 3 ), = 2 2˙ 1 = cos() = − 2 + ( 3 ).(6.33) 2Легко показать, что после совершения лоренцева буста с параметром /2в плоскости 0 , 1 и взятия предела → 0, компоненты (6.33) совпадают (с точностью до знака 1 , что не существенно) с соответствующимикомпонентами формулы (6.31).6.4Классификация поверхностейс симметрией (3) × 1Для того чтобы построить обладающие соответствующей симметрией вложения невращающихся черных дыр (в первую очередь – метрикиШварцшильда), используем предложенный в разделе 6.2 метод для классификации всех обладающих нужной симметрией поверхностей.
Кроме соответствующей группе (3) симметрии относительно вращений,невращающиеся вечные черные дыры также обладают симметрией относительно трансляций по параметру , который вне горизонтов играет рольвремени. Это, в определенном смысле, означает, что метрики рассматриваемых черных дыр являются статическими, однако это не совсем строгоиз-за того, что под горизонтом параметр перестает играть роль времени, так как соответствующее направление становится пространственно142подобным.
В целом можно сказать, что мы рассматриваем черные дыры,симметричные относительно группы симметрии = (3) × 1 .Будем искать общий вид четырехмерной поверхности ℳ, обладающей симметрией относительно указанной группы . При этом будем считать, что такой симметрией должна обладать не только вся четырехмернаяповерхность ℳ, но и ее трехмерные подмногообразия, соответствующиефиксированным значениям параметра . Для удобства чтения основныерезультаты, полученные в данном разделе, собраны в конце раздела.Симметрия ℳ относительно означает, что ℳ переходит в себя поддействием () ∈ , где ∈ , а – некоторое представление группы ,см. раздел 6.2.
Будем исследовать возможный вид этого представления.Представления прямого произведения (3) × 1 сводятся к прямойсумме представлений ˜ , являющихся тензорными произведениями представлений групп (3) и 1 :˜ () = ˜1 () ⊗ ˜2 (), ∈ (3), ∈ 1,(6.34)причем можно считать, что представления ˜1 и ˜2 не являются вполнеприводимыми.Обсудим сначала представления группы (3). Известно, что всеее конечномерные неприводимые представления можно получить, рассматривая тензорные представления универсальной накрывающей группы (2), которые классифицируются значением спина. Поскольку предполагается, что симметрией относительно обладают подмногообразияℳ, соответствующие фиксированным значениям , поверхность, образуемая точками вида (6.7) при = ( × 1), соответствует фиксированнымзначениям параметров и .
Поэтому она должна быть двумерна, так какеще два измерения связаны с приращениями этих параметров. Поскольку элементы группы (2) зависят от трех вещественных параметров,это накладывает некоторое условие на выбор как представления, так иначального вектора 0 . А именно, в (3) должна существовать однопараметрическая подгруппа (2), для элементов которой(︃)︃ (︃)︃00 ()=,(6.35)11143(︀ )︀т. е. одномерная подгруппа стабильности вектора 10 . Можно показать,что для всех представлений с полуцелым спином (действующих в вещественных пространствах, получаемых овеществлением соответствующих комплексных пространств) это условие выполнить нельзя.
Поэтому следует ограничиться неприводимыми представлениями с целым спином, которые можно рассматривать как тензорные представления группы(3), действующие в пространствах вещественных неприводимых тензоров 1 ... (, = 1, 2, 3). В этом случае указанное условие означает,что соответствующий начальному вектору 0 тензор 01 ... должен бытьинвариантен относительно поворотов вокруг некоторой оси, а значит, выражаться через направленный вдоль этой оси вектор :01 ...
= (1 . . . − . . .) ,(6.36)где многоточие означает слагаемые, обеспечивающие неприводимостьданного тензора, а – вектор, преобразующийся по фундаментальномупредставлению группы (3).Таким образом пространство представления ˜1 из формулы (6.34) является пространством неприводимых симметричных тензоров 1 ... ихарактеризуется целым числом > 0, а компонента 0 начального век(︀ )︀тора 10 , относящаяся к пространству представления ˜ , имеет вид(︀)︀ 0 = 0 ⊗ 0 ,(6.37)где 0 дается формулой (6.36), а 0 принадлежит пространству представления ˜2 () и будет конкретизироваться ниже. Чтобы подчеркнуть, чтопредставление ˜1 характеризуется целым числом > 0, далее вместо ˜1будем писать ˜1 .Как уже упоминалось в конце раздела 6.2, в рассматриваемой задаче необходимо считать симметрию (3) глобальной и дополнительнопотребовать, чтобы топология двумерной поверхности, соответствующейфиксированным значениям параметров и , совпадала с топологией сферы.
Первое является еще одной причиной, по которой должны быть отброшены соответствующие полуцелому спину двузначные представления(выше они были исключены как дающие слишком большую размерностьповерхности). А второе приводит к необходимости существования хотябы одного нечетного ранга в прямой сумме, определяющей полное144пространство, в котором действует представление . Действительно, если все четные, то векторам и − будет соответствовать одна и та жеточка построенной поверхности и ее топология будет топологией сферыс отождествленными противоположными точками, а значит, будет отличаться от топологии сферы.Теперь обсудим представления ˜2 абелевой группы 1 , входящие вформулу (6.34).
Будем считать, что элементами группы являются вещественные числа, а групповой операцией является их сложение. Тогда всамом общем случае матрица представления ˜2 () может быть записана ввиде˜2 () = ,(6.38)где – некоторая произвольная, фиксированная, комплексная матрица,а – положительный размерный множитель, выделенный для того, чтобы было безразмерным. Можно считать, что ˜2 не является вполнеприводимым. Поэтому, поскольку выбором базиса любую матрицу можно привести к жордановой форме, можно записать в виде матрицыразмера + 1, состоящей из одной жордановой клетки:⎛⎜⎜ =⎜⎝0...01...0⎞0 ···1 ··· ⎟⎟,... ... ⎟⎠0 (6.39)где – некоторое комплексное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
