Диссертация (1145422), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Для каждого типа указываются сигнатуры объемлющего пространства, совместимые с требованиемпространственноподобности интервалов, отвечающих приращениям угловых переменных , и соответствующих (3)-вращениям.Эллиптические вложения, сигнатура (, , , −, −, −) (здесь и далее, , = ±):012345= () sin( + ()),= () cos( + ()),= ℎ(),= cos ,= sin cos ,= sin sin .(6.55)Параболические вложения, сигнатура (, −, −, −, −, −):2 2ℎ() + () + (), =2 2 = () + ℎ(), − = ℎ()+(6.56)(в этом и последующих вложениях, если не приведены выражения длякомпонент 3 , 4 , 5 , то они совпадают с приведенными в формуле (6.55)).Гиперболические вложения, сигнатура (, −, , −, −, −): 0 = () sh( + ()), 1 = () ch( + ()), 2 = ℎ().151(6.57)Спиральные вложения, сигнатура (, , , −, −, −): 0 = () sin( + ()), 1 = () cos( + ()), 2 = + ℎ().(6.58)Экспоненциальные вложения, сигнатура (+, −, , −, −, −):1exp( + ()), − = () exp(−( + ())), 2 = + ℎ(),+ =(6.59)√где ± = ( 0 ± 1 )/ 2, сигнатура указывается для лоренцевых компонент 0 , 1 , .
. ..Кубические вложения, сигнатура (, −, −, −, −, −):2 ′3 =+ ()′ + (),6′22 =+ (),2 − = ′ ,+(6.60)где ′ = + ℎ().Кроме уже перечисленных шести, еще есть три типа вложений, обладающих необходимой симметрией, однако они содержат слишком малопроизвольных функций для того чтобы, используя их, удалось построитьвложение конкретной метрики. Приведем их тоже:вложение с сигнатурой (, , , −, −, −) 0 = 0 + ℎ0 (), 1 = 1 + ℎ1 (), 2 = 2 + ℎ2 (),152(6.61)вложение с сигнатурой (+, +, +, −, −, −)012345= sh( + ())= sh( + ())= sh( + ())= ch( + ())= ch( + ())= ch( + ())cos ,sin cos ,sin sin ,cos ,sin cos ,sin sin (6.62)и аналогичное (6.62) вложение с сигнатурой (−, −, −, −, −, −), в которомsh и ch заменены на sin и cos (оно априори непригодно для построениявложений метрик любых псевдоримановых пространств, так как обладаетевклидовой сигнатурой).
В приведенных формулах , – положительныеконстанты, а (), (), ℎ() – произвольные функции.На основе первых шести вышеприведенных типов вложений в работе [96] были получены шесть шестимерных вложений для метрикиШварцшильда, которая соответствует интервалу)︂(︂(︀ 2)︀222222 −−+sin,(6.63) = 1 −1 − где = 2 – радиус Шварцшильда, – масса черной дыры. Напомним,что вследствие упоминавшейся в разделе 6.1 теоремы Казнера именношестимерные вложения для метрики Шварцшильда являются минимальными.Вложение гиперболического типа оказалось вложением Фронсдала[24]:>:<:√︂√︂(︂ )︂(︂ )︂ 0 = 2 1 −sh, 0 = ±2− 1 ch,22√︂√︂(︂ )︂(︂ )︂11ch− 1 sh = ±2 1 −, = 2,22√︃(︂ )︂2 (︂ )︂3∫︁ 2 = ++,(6.64) 3 = cos , 4 = sin cos , 5 = sin sin .153Здесь используется сигнатура (+, −, −, −, −, −), что при > соответствует выбору = + в (6.57), а при < – выбору = − и переобозначению 0 ↔ 1 . Данное вложение является, наверное, наиболее известным из вложений метрики Шварцшильда.
Можно показать, что оновсюду гладкое (это неочевидно, поскольку оно записано в координатахШварцшильда, сингулярных при = ) и что оно покрывает все области, соответствующие максимальному аналитическому расширению метрики Шварцшильда. Проекция на трехмерное пространство { 0 , 1 , 3 }двумерного сечения соответствующей четырехмерной поверхности гиперплоскостью 4 = 5 = 0 изображено на рис. 6.1. Видно, что эта32.52y31.510.564026042−2y00y1−4−2−4−6−6Рисунок 6.1. Проекция на пространство { 0 , 1 , 3 } сечения 4 = 5 = 0вложения Фронсдала (6.64), в единицах радиуса Шварцшильда .проекция сходна с седловой поверхностью, седловая точка которой соответствует радиусу Шварцшильда.
При > имеются две "параллельныеВселенные" (крылья седловой поверхности, соответствующие | 3 | > 1 нарисунке), связанные только через область < (крылья седловой поверхности, соответствующие | 3 | < 1 на рисунке). Эта область, в своюочередь, состоит из двух частей (соответствующий положительным и отрицательным значениям 0 ), связанных только через область > . Две154эти части соответствуют черной дыре (при 0 > 0) и белой дыре (при 0 < 0).
Более точно, все четыре упомянутые области (четыре крыла седловой поверхности) соприкасаются в седловой точке, соответствующейсфере Шварцшильда. При движении по времениподобным или светоподобным линиям можно из белой дыры выйти в любую из параллельныхВселенных, а также из любой из них зайти в черную дыру. Таким образомпереход между этими параллельными Вселенными оказывается невозможен. При → 0, как видно из (6.64), будет 0 → ±∞, 2 → −∞, т. е.центральная сингулярность оказывается на бесконечности.Как видно, рассмотрение вложения в сложных случаях позволяет лучше понять структуру многообразия.
Картина, возникающая при изученииструктуры решения Шварцшильда в терминах функции вложения Фронсдала, совпадает с картиной, даваемой использованием известных координат Крускала-Шекереса (см., например, [89], §31.4). Это связано с тем,что такие координаты , , фактически, являются перерастянутыми с помощью некоторой функции от координатами 0 , 1 объемлющего пространства при данном вложении, а именно: = 0 (), = 1 (),(6.65)где1() =2√︂ /(2),√︁=32 + 42 + 52.(6.66)Как уже упоминалось в разделе 6.1, есть основания полагать, что вложение Фронсдала сыграло определенную роль при построении координатКрускала-Шекереса.Еще три из приведенных выше типов шестимерных вложений тоже,как и гиперболический тип, воспроизвели известные ранее вложения.Вложение эллиптического типа оказалось вложением Казнера [23], вложение параболического типа – вложением Фуджитани-Икеда-Мацумото[46], а вложение экспоненциального тип – вложением Дэвидсона-Паза[81].На основе же оставшихся двух типов в работе [96] были построены два новых, неизвестных ранее шестимерных вложения для метрики155Шварцшильда.
Первое из них – это кубическое вложение:(︂)︂2 ′3 ′0 = + 1− + (),622 1 = ′3 − ′ + (),62(︂)︂ ′212 = +1−,22 3 = cos , 4 = sin cos , 5 = sin sin (6.67)с сигнатурой (+, −, −, −, −, −). Здесь функция () задается некоторым√интегралом и является гладкой при всех > 0 если > 27/(32).Многообразие, определяемое этим вложением, является всюду гладким(при → 0 либо 0 → ∞, либо 1 → ∞). Как и вложение ДэвидсонаПаза [81], данное вложение покрывает половину соответствующего максимальному аналитическому расширению метрики Шварцшильда риманова пространства, определяемую условием + > 0 в координатахКрускала-Шекереса, а при + → 0 оказывается 0 → −∞.Второе новое вложение – это асимптотически-плоское вложение, относящееся к вложениям спирального типа. Оно имеет достаточно простой вид: 0 = ′ ,3/2(3)1 = √(3)3/2 = √2(︃(︂)︂3/2 )︃1+,3(︃√︂ (︂)︂3/2 )︃′1+,cos−333/2 sin√︂′33/2 −(6.68) 3 = cos , 4 = sin cos , 5 = sin sin с сигнатурой (+, −, −, −, −, −), где ′ = + ℎ(), а функция ℎ() задается некоторым интегралом, см.
подробности в работе [96]. Определяемаяэтим вложением поверхность является всюду гладкой. При → 0 радиусыспиралей, определяемых при фиксированном формулой (6.68), неогра156ниченно растут, т. е. центральная сингулярность оказывается на бесконечности. Данное вложение тоже покрывает только область + > 0 вкоординатах Крускала-Шекереса.В отличие от всех прочих известных вложений в шестимерное пространство, данное вложение является асимптотически плоским, т.
е. задаваемая им поверхность при → ∞ стремится к четырехмерной плоскости, что явно видно из (6.68). Существование асимптотически плоскоговложения может оказаться важным для описанного в предыдущих главахподхода к гравитации как к теории вложения. Действительно, разумнопредположить, что при удалении на большое расстояние от гравитирующего тела поверхность должна стремиться к некоторой "средней" поверхности, однородной и изотропной на масштабах, малых, по сравнениюмасштабами Вселенной (на которых в рамках модели Фридмана четырехмерные однородность и изотропность нарушаются). А поскольку на этихмалых масштабах средняя кривизна пространства-времени не заметна,удобно считать, что "средняя" поверхность должна быть четырехмернойплоскостью, а значит, вложение метрики гравитирующего тела должнобыть асимптотически плоским.
Таким образом, существование асимптотически плоского вложения позволяет рассматривать в рамках теориивложения задачу многих тел.Следует отметить, что известно асимптотически плоское вложениеметрики Шварцшильда, предложенное в работе [106], но это вложениев семимерное пространство, т. е. оно не является минимальным, а крометого для него, в отличие от вложения (6.68), в объемлющем пространствеприсутствуют два времениподобных направления, что для теории вложения является неудобным, а с точки зрения теории разбиения – полностьюнеприемлемым, поскольку мешает определять причинность для этой теории поля.6.6Глобальные вложения метрикневращающихся черных дыр6.6.1Невращающиеся черные дыры с горизонтамиОписанные в предыдущем разделе шесть типов вложений в шестимерное пространство можно использовать не только для поиска вложе157ний метрики Шварцшильда (полные соответствующие результаты описаны также в предыдущем разделе), но и для поиска вложений любыхневращающихся черных дыр, поскольку они обладают той же симметрией (3) × 1 .В самом общем случае метрика невращающейся черной дыры соответствует интервалу2 = ()2 −(︀)︀2− 2 2 + sin2 2 , ()(6.69)где2 2 Λ 2 () = 1 −+ 2− .3(6.70)Здесь – масса черной дыры, – ее заряд, а Λ – космологическая постоянная, положительная, если рассматривается черная дыра в пространстведе Ситтера, и отрицательная – в пространстве анти-де Ситтера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
