Диссертация (1145422), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Соответствующие результаты были получены для различныхтипов черных дыр (в том числе с числом измерений, отличным от 4),черных струн и кротовых нор, см. работы [123–128] и цитированную тамлитературу. Обсуждалась также ситуация, в которой детектор движетсяпо окружности [129] или свободно падает [130]. В этом случае спектр излучения уже не является в точности тепловым. В работе [131] было показано, что совпадение сохраняется и для поправок к температурам Хокингаи Унру. В работе [132] было замечено, что соответствие имеет место, еслиограничиться вложением только ( − )-сектора риманова пространства.Важно отметить, что во всех случаях использовались гладко покрывающие горизонт гиперболические вложения вида (6.57), в которых линиивремени представляют собой гиперболы в объемлющем пространстве.Подход, при котором термодинамические свойства пространств с горизонтами анализируются с использованием изометрических вложений1773y32w160426402y1y0−20−2−4−4−6−6Рисунок 7.2.
Соответствующая равноускоренному движению линия времени на вложении Фронсдала ( – вектор ускорения).в плоское объемлющее пространство, обычно называют GEMS ("globalembedding Minkowskian spacetime" в англоязычной литературе). Следуетотметить некоторую неточность этого термина – далеко не всегда используемые в его рамках вложения являются действительное глобальными,т.
е. гладкими во всех несингулярных точках риманова пространства. Например, при анализе соответствия между эффектами Хокинга и Унру дляметрики заряженной черной дыры Райсснера-Нордстрома в работе [27]используется вложение, которое гладко покрывает внешний горизонт, однако его нельзя гладко продолжить под внутренний горизонт (в отличиеот вложений, исследовавшихся в разделе 6.6).
Таким образом, под глобальностью в термине GEMS понимается только тот факт, что вложение гладко покрывает наблюдаемую область пространства вместе с горизонтом, а сохраняется ли гладкость и глубоко под горизонтом, считаетсянесущественным.1787.5Примеры отсутствия соответствияНесмотря на большое количество примеров вложений, для которыхописанное в предыдущем разделе соответствие между эффектами Хокинга и Унру имеет место, можно предъявить и контрпримеры.Такими контрпримерами, в частности, являются все перечисленные втаблице 6.2 вложения невращающихся черных дыр, относящиеся к спиральному (формула (6.58)), экспоненциальному (формула (6.59)) или кубическому (формула (6.60)) типам (т.
е. ко всем типам кроме гиперболического). Линии времени для всех этих трех вложений не являютсягиперболами. Они являются стационарными траекториями и аналог эффекта Унру для них изучался в работе [120]. Например, для детектора,движущегося в объемлющем пространстве по линиям времени кубического вложения (6.60) спектр был найден точно, он имеет вид(︃ √ (︂(︂)︂2)︂ )︃21222√1−exp − 2 1 − ,(7.12)() =8 2 3 2и тепловым не является. Для линий времени экспоненциального вложения (6.59) в работе [120] спектр исследовался численно, также он анализировался в недавней работе [121]. Как и в предыдущем случае спектр неявляется тепловым.Линии времени спирального вложения (6.58) соответствуют движению детектора по окружности. Аналог эффекта Унру для этого случаямного обсуждался в литературе, для этого случая спектр тоже не являетсятепловым.
Более того, для относящегося к спиральному типу асимптотически плоского вложения (6.68) метрики Шварцшильда при → ∞, каклегко заметить, радиус окружности стремится к нулю (при фиксированной угловой скорости) и детектор оказывается покоящимся в выбраннойсистеме координат объемлющего пространства, а значит, эффект Унру вэтом пределе должен точно отсутствовать.
Такая ситуация, естественно,связана с тем, что это вложение является асимптотически плоским, но какраз именно такое вложение кажется наиболее естественным с точки зрения теории вложения как описания гравитации, см. обсуждение в разделе6.5. Таким образом, для глобальных минимальных вложений невращающихся черных дыр, относящихся ко всем типам кроме гиперболического,соответствие между эффектами Хокинга и Унру отсутствует.179Еще один класс примеров отсутствия соответствия между эффектами Хокинга и Унру можно легко получить тривиальным изометрическимизгибанием (таким, как изгибание плоскости в часть цилиндра) плоского объемлющего пространства, содержащего поверхность, для которой,в частности, до изгибания соответствие имело место.
Например, осуществив изгибание стандартного гиперболоида, можно получить для метрики де Ситтера нестандартное вложение в плоское пространство с сигнатурой (+, −, −, −, −, −), имеющее вид012345======sinh(sinh ),cosh(sinh ),cosh cos ,cosh sin cos ,cosh sin sin cos ,cosh sin sin sin .(7.13)Для него линии времени уже не будут гиперболами (и даже не будут являться стационарными траекториями), а значит, соответствующий такомудвижению спектр не будет тепловым и соответствие будет отсутствовать.Может возникнуть впечатление, что критерием наличия соответствияявляется гиперболичность вложения, однако это не вполне так, посколькуеще одним контрпримером является результат изгибания четырехмернойплоскости, описываемый функцией вложения01234= −1 sinh ,= −1 cosh ,= cos ,= sin cos ,= sin sin (7.14)с сигнатурой объемлющего пространства (+, −, −, −, −). Легко проверить, что ей соответствует метрика, совпадающая с метрикой пространства Минковского, т.
е. (7.14) задает нетривиальное вложение пространства Минковского в плоское 5-мерное объемлющее пространство. Еслидетектор Унру-де Витта двигается по линии времени такого вложения,то с точки зрения внутренней геометрии он не будет наблюдать никакогоизлучения, поскольку двигается по инерциальной траектории в четырехмерном пространстве Минковского.
Однако в объемлющем пространстве180линии времени являются гиперболами, детектор движется равноускоренно, и должен иметь место стандартный эффект Унру. Таким образом, вданном примере соответствие тоже отсутствует.Другим примером гиперболического вложения, для которого отсутствует соответствие, является предложенное в [133] вложение метрикипространства анти-де Ситтера, для которого2 = 2 ch2 2 − 2 2 − 2 sh2 2 − 2 sh2 sin2 2 .(7.15)Это вложение можно записать в содержащем произвольный параметр виде (в [133] оно было построено для случая произвольной размерности)012345= −1 ch sh(),= −1 ch ch(),= sh cos ,= sh sin cos ,= sh sin sin ,√= 1 + −2 ch (7.16)с сигнатурой объемлющего пространства (+, −, −, −, −, +).
Используя(7.5), замечаем, что для наблюдателя, движущегося по линиям времени этого вложения, температура Унру =2 ch (7.17)зависит от произвольного параметра , от которого метрика не зависит,см. (7.15). Поэтому, несмотря на то, что оба спектра (для излучений, наблюдаемых детектором с точки зрения внутренней геометрии и с точкизрения движения в объемлющем пространстве) являются тепловыми, дляданного вложения изучаемое соответствие тоже будет отсутствовать, если || ≠ 1 [134], поскольку температура Хокинга определяется тольковнутренней геометрией и не может зависеть от , а значит будет ̸= .Отметим, что для стандартного вложения метрики анти-де Ситтера в виде гиперболоида в пятимерном пространстве, соответствие имеет место,что было проверено в работе [27].Если проанализировать примеры, для которых проверено наличие илиотсутствие соответствия между эффектами Хокинга и Унру, то видно, чтооно существует в случаях, когда метрика имеет горизонт, а вложение яв181ляется гиперболическим и гладко этот горизонт покрывает (подробностианализа контрпримеров см.
в разделе 7.8). В следующих двух разделахмы докажем, что при этих условиях соответствие действительно всегдаимеет место.7.6Общий вид гиперболического вложенияметрики с горизонтомПрежде всего сформулируем, какой общий вид имеет гиперболическое вложение метрики, обладающей горизонтом. Поскольку нас интересуют метрики, для которых существует излучение Хокинга, будем считать, что имеется времениподобный вектор Киллинга и существует горизонт Киллинга (см., например, [116]), т.
е. светоподобная гиперповерхность , такая, что к ней касателен и на ней 2 = 0. В остальномметрику будем считать произвольной, т. е. не обладающей какой-либо дополнительной симметрией и не являющейся, вообще говоря, решениемуравнений Эйнштейна с какой-то определенной материей. Выберем координаты , , 2 , 3 так, чтобы был касателен к линиям времени , акоордината обращалась в ноль на , так что 2 −→ 0. Будем считать,→0что наблюдатель (например, детектор Унру-де Витта) покоится в выбранной системе координат и имеет постоянные координаты = 0 > 0, 2 , 3 ,а также что 2 > 0 при 0 < 6 0 .Существование времениподобного вектора Киллинга означает, чтометрика обладает симметрией относительно одномерной группы трансляций – сдвигов времени (иначе говоря, при некотором выборе времени метрика стационарна, т. е.
не зависит от времени). Чтобы построитьявляющуюся вложением рассматриваемой метрики поверхность ℳ, которая тоже обладает симметрией относительно этой группы, необходиморассматривать представления группы трансляций, матрицы которых соответствуют преобразованиям группы Пуанкаре объемлющего пространства (см. подробности в разделе 6.2). В одном из простейших случаевуказанные матрицы соответствуют лоренцевым бустам в объемлющемпространстве, т.
е. сдвиг эквивалентен бусту. Именно такие вложениябудем называть гиперболическими в самом общем случае, для них линиивремени в объемлющем пространстве оказываются гиперболами.182Примером гиперболического вложения является вложение (6.57). Вобщем случае, используя произвол в выборе координат , 2 , 3 , а такжевозможность делать замену времени → + (, 2 , 3 ), гиперболическоевложение можно в области 0 6 6 0 (где 2 > 0) записать в виде 0 = sh(), 1 = ch(), = (, 2 , 3 ).(7.18)Здесь и далее = 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
