Диссертация (1145422), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Поэтому его существование можетне противоречить обсуждаемому утверждению только если нарушаетсяпоследнее условие утверждения – гладкость на горизонте.Гладкость действительно отсутствует согласно критерию (7.23), поскольку при записи вложения (7.35) в форме (7.21) одна из компонентфункции вложения имеет вид√︁√︀52 = − 1 12 − 02,(7.37)не сводящийся к разложению (7.23), если > 1.Исследуем подробнее, какую структуру при > 1 имеет особенностьвложения (7.35) на горизонте, которому соответствует множество точек(︁)︁ ⋂︁⋃︁⋂︁⋂︁ 2220101 = = − 1 > 0 5 = 0 2 + 3 + 4 = 2 .
(7.38)189Для этого заметим, что соответствующую поверхность можно задать спомощью двух уравнений на координаты объемлющего пространства:222222 0 − 1 − 2 − 3 − 4 − 5 = −2 ,12=02(7.39)25,+ 2 −1(7.40)второе из которых является уравнением конуса. Уравнение (7.39) не запрещает окрестности вершины этого конуса принадлежать поверхности,поэтому соответствующая (7.35) поверхность при > 1 в одной из соответствующих горизонту точек, а именно при 0 = 1 = 5 = 0, имеетособенность конического типа.Наличие конической особенности у задаваемой (7.35) поверхностиприводит к тому, что величина поверхностной гравитации , вычисляемаяизложенным в разделе 7.7 способом, использующим вид функции вложения, начинает зависеть от ее параметра , в метрику не входящего.
Причиной этого является тот факт, что изменение, которое было бы изометрическим изгибанием, если бы поверхность оставалась гладкой, оказывается сингулярным преобразованием, при котором точки, имевшие конечные значения функции вложения, переходят на бесконечность или в точкусингулярности (это можно увидеть из анализа предела → 0, → ∞ дляфункции вложения (7.26)).
В результате при наличии особенности (в данном случае при > 1) определяемая таким способом величина уже необязательно является значением поверхностной гравитации с точки зрения внутренней геометрии пространства-времени. Как следствие, неправильное (зависящее от ) значение возникает и для температуры Хокинга . Рассмотренный пример показывает важность условия гладкости в доказанном в разделе 7.7 утверждении.Отметим, что несмотря на то, что поверхность соответствующую вложению (7.16) можно, по аналогии с (7.39),(7.40), задать с помощью двухуравнений на координаты объемлющего пространства:222222 0 − 1 − 2 − 3 − 4 + 5 = 2 ,12=02(7.41)25,+ 2 +1190(7.42)последнее из которых является уравнением конуса, соответствующая(7.16) поверхность не имеет особенности, поскольку уравнение (7.41) запрещает значение 0 = 1 = 5 = 0.
Таким образом, (7.16), в отличие от(7.35) является гладким гиперболическим вложением.В результате можно заключить, что известные примеры отсутствия соответствия между эффектами Хокинга и Унру не входят в противоречиесо сформулированным в разделе 7.7 утверждении о достаточных условиях существования такого соответствия.7.9Поверхности, на которыхдвухточечные функции определяютсяобъемлющим пространствомКак уже говорилось выше, квантовые эффекты в римановом пространстве определяются свойствами заданных в нем квантовых полей,например, массивным скалярным полем, удовлетворяющим инвариантному уравнению(︀)︀ + 2 () = 0.(7.43)А квантовые эффекты на вложенной поверхности, определяются свойствами квантовых полей, заданных в плоском объемлющем пространствеи удовлетворяющих уравнениям вида(︀)︀ + 2 () = 0.(7.44)Уравнения (7.43) и (7.44) имеют достаточно много общего, чтобы принекоторых дополнительных условиях на форму поверхности возникаласвязь между квантовыми эффектами в римановом пространстве и на соответствующей некоторому его вложению поверхности в плоском объемлющем пространстве.Кроме являющегося такой связью обсуждавшегося в предыдущих разделах данной главы соответствия между эффектами Хокинга и Унру,существует и другая аналогичная связь.
Она имеет место для вложений, для которых метрика объемлющего пространства, плоская в лоренцевых координатах , в некоторой криволинейной системе координат191˜ ≡ ( , ) принимает вид так называемой warped-геометрии, когда интервал записывается в виде:⊥2 = ()¯ () + () ,(7.45)(здесь и далее индексы , , . . . принимают − 4 значения, где –размерность плоского объемлющего пространства). Предполагается, чтовложенному риманову пространству соответствует четырехмерная поверхность, отвечающая какому-то значению = , а играетроль координат на поверхности, в которых метрика имеет вид =()¯ (). Отметим, что именно такой способ описания системы четырехмерных поверхностей – с помощью введения ( − 4)-компонентногополя ( ) – использовался в главе 5 при описании гравитации в видетеории разбиения, однако возможность записать метрику в форме (7.45)там не предполагается.
С другой стороны, следует отметить, что в общемслучае при использовании warped-геометрии (например, в рамках теории бран) предполагается, что в факторизованном виде (7.45) записанане плоская метрика , а произвольная. Это соответствует гораздо болееобщей ситуации, чем обсуждаемая здесь, когда (7.45) является записью вкриволинейных координатах именно плоской метрики.Для поверхностей, соответствующих факторизации плоской метрикив форме (7.45), в работе [28] устанавливается связь между двухточечными функциями Вайтмана на поверхности и в объемлющем пространстве.Это удается сделать с помощью разделения переменных, в результате которого квантовое поле в объемлющем пространстве (удовлетворяющееуравнению вида (7.44)) выражается через удовлетворяющее уравнениювида (7.43)) квантовое поле в римановом пространстве и классическуюпеременную, зависящую от поперечных координат .
Очевидно, что вполучении этого результата решающую роль сыграла возможность записать метрику в форме (7.45), без чего было бы неясно, как провестиразделение переменных. Отметим, что кроме плоского пространства в работе [28] в качестве объемлющего пространства рассматриваются такжепространства де Ситтера и анти-де Ситтера.В работах [29, 30] был получен похожий результат для связи двухточечных функций Грина и анализировалась связь между причинной структурой объемлющего пространства и вложенного риманова пространства.Результат также был получен в предположении, что вложение соответ192ствует факторизации плоской метрики объемлющего пространства в форме (7.45).Интересно рассмотреть вопрос о том, насколько сильные ограничения на структуру вложенной поверхности накладывает условие факторизации метрики (7.45) вместе с предположением о плоском характереэтой метрики (метрика соответствует выбору некоторых криволинейныхкоординат в плоском пространстве).
С точки зрения внутренней геометрии ответ на этот вопрос можно получить как следствие теоремы 3.1из работы [135], из которой следует, что вложенная поверхность должнабыть пространством постоянной кривизны. Получим этот же результат,используя изложенный в главе 2 формализм теории вложения, при этомудается параллельно найти и некоторое дополнительное условие, ограничивающее уже внешнюю геометрию.Метрика объемлющего пространства в криволинейных координатах˜ ≡ ( , ) связана с плоской метрикой в лоренцевых координатах стандартной формулой ˜ (˜ ) = , ˜ ˜(7.46)которая, с учетом (7.45), сводится к уравнениям( ) ( ) = ()¯ (),( ) ( ) = 0,⊥( ) ( ) = (),(7.47)(7.48)где ≡ / , ≡ / . Дифференцируя равенство (7.47) по ,получаем( ) ( ) + ( ) ( ) = ( ()) ¯ ().(7.49)Поскольку, согласно (7.48), величина по индексу ортогональна всемкасательным векторам к поверхности = в данной точке, в левойчасти (7.49) можно перебросить производные, в результате чего получится уравнение− 2 = ( ()) ¯ (),193(7.50)где величина = = Π⊥ (7.51)является второй основной формой поверхности = (здесь Π⊥ = − Π – поперечный проектор).Используяобратнуюметрику ⊥ ()изамечая,что( ) ⊥ ()( ) = Π⊥ , уравнение (7.50) несложно переписатьв виде = , ()1, = − ( ) ⊥ ()2()(7.52)где использовано, что метрика поверхности = ()¯ ().
Теперь,воспользовавшись выражением (2.38) для тензора кривизны в формализме вложения (являющимся частным случаем уравнения Гаусса, см. подробности в главе 2), получаем = − = ( − ) = () ⊥ () ()( − ) . (7.53)=4()2Отсюда следует, что поверхность = обязательно является пространством постоянной кривизны, что и предполагалось показать. Однако в процессе рассуждений мы получили и более сильное условие на поверхность, затрагивающее также и внешнюю геометрию – условие (7.52)на вторую основную форму, в соответствии с которым она обязательнодолжна быть пропорциональна метрике.Простейшими вариантами поверхностей, для которых выполняетсяэто условие, являются плоскость, сфера и псевдосфера (гиперболоид)произвольного числа измерений.
Именно они используются в качествевложений в плоское объемлющее пространство как в работе [28], так ив работах [29, 30]. Однако не исключено, что эти варианты не являются единственно возможными. Используя предложенный в главе 6 методпостроения поверхностей с заданной симметрией, можно попытаться построить и другие поверхности, вторая основная форма которых удовлетворяет условию (7.52). Таким свойством обладает, например, нетривиальное вложение трехмерной плоскости, использующееся при построе194нии вложения метрики пространственно-плоской модели Фридмана в разделе 6.3.3. Вопрос о свойствах квантовых эффектов для вложений такоготипа требует дополнительного исследования.195Глава 8"Исправленный"канонический формализмна световом фронте вквантовой теории поляДанная глава посвящена использованию канонического формализмадля непертурбативного описания квантовой теории поля в координатах светового фронта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
