Диссертация (1145422), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Для случая√︀S-dS необходимо брать = −1 и 6 Λ/3, а для RN-dS и RN-AdS –√︀брать = +1, причем для RN-dS должно быть > Λ/3. Для случая SdS при = −1, а также для случая RN-AdS при = +1 можно заметить,что функция () − 2 будет обращаться в ноль обязательно дважды,причем в точках, где ′ () имеет разные знаки (см. рис. 6.2), поэтомудля этих случаев глобального вложения построить нельзя (см. замечаниепосле формулы (6.84)).В результате остается возможность построения глобального вложения√︀только для случая RN-dS при = +1 и > Λ/3.
Если дополнительноположить = 1, то исследуемое подкоренное выражение примет вид () = ′2 + 42 ( − 1)2 .(6.87)Для соответствующей случаю RN-dS функции () (см. (6.70)) можновыбрать такое достаточно большое значение , что выражение (6.87) будет положительно при любых (хотя дать точную оценку для требуемого значения является нетривиальной задачей). Следовательно, можнопредъявить минимальное глобальное экспоненциальное вложение черной165дыры RN-dS в виде1exp(′ + ()),1 − ()− =exp(−(′ + ())),2+ =(6.88) 2 = ′(остальные компоненты 3,4,5 как в (6.55)), где√︀∫︁ ′ + ′2 + 42 ( − 1)2() = ,2( − 1)(6.89)′ = + ℎ(), а ℎ() имеет вид интеграла, который несложно записать спомощью формул (6.82),(6.83) и (6.89).В результате имеем, что минимальные глобальные экспоненциальноевложения существуют для черных дыр S, RN и RN-dS.6.6.5Кубические вложенияНаконец, вычислим по (2.4) соответствующие кубическому вложению(6.60) компоненты метрики:00 = 2,01 = (2 ℎ′ + ′ ),11 = (2 ℎ′2 − ′2 + 2ℎ′ ′ ) − 1.
(6.90)Снова используя (6.69) и (6.70), заключаем, что =,2ℎ′ = −′.(6.91)Как видно из (6.60), для гладкого вложения гладкой должна быть функция(), поэтому уравнение, возникающее из формулы (2.4) для компоненты11 , удобно записать в терминах именно этой функции. Такое уравнениеимеет вид′2 = 1 − − ′2.42(6.92)Для гладкости функции (), а значит, и всего вложения, необходиманеотрицательность правой части этого уравнения при любых .166Для черной дыры Шварцшильда глобальным минимальным кубическим вложением оказывается описанное в разделе 6.5 вложение (6.67).Для черных дыр RN и S-dS анализ уравнения (6.84) позволил доказатьгладкость соответствующих вложений, см.
подробности в работах [98]и [99], соответственно. Проделаем такой анализ для оставшихся трех случаев.Запишем для них асимптотики правой части (6.92). При → 0 будетS-AdS:′2 −→ 2→03,2 5RN-dS,RN-AdS:′2 −→ −→06, (6.93)2 8а при → ∞ для всех трех случаев будетΛ3 4. −→ →∞ 272′2(6.94)Сравнивая эти формулы, легко заметить, что для черных дыр S-AdS иRN-dS ни при каком выборе не удается обеспечить неотрицательностьправой части (6.92), что означает невозможность построения глобальныхвложений. Для оставшегося случая RN-AdS такая неотрицательность впределах → 0 и → ∞ имеет место при = −1.
Однако, пока остаетсяне ясным, можно ли выбором параметра обеспечить ее при всех , этотвопрос требует дополнительного исследования.В результате получаем, что минимальные глобальные кубические вложения существуют для черных дыр S, S-dS, RN и, возможно, RN-AdS.6.6.6РезультатыСоберем полученные результаты относительно существования глобальных, т. е. гладких при всех значениях радиуса, вложений невращающихся черных дыр в шестимерное пространство. Как уже говорилось выше, см. раздел 6.6.1, такие вложения являются минимальными, т. е. имеющими минимально возможную размерность объемлющего пространства.Результаты приведены в таблице 6.2 (для типов вложения, не приведенных в таблице, глобальные вложения отсутствуют, см.
обсуждение в конце раздела 6.6.1). В таблице показана сигнатура объемлющего пространства для каждого известного вложения (в виде: число времениподобныхнаправлений плюс число пространственноподобных), а также ссылка наработу, в которой это вложение было впервые построено. Прочерком от167SS-dSS-AdSRNRN-dSRN-AdSI 1+5, [24]—————II 1+5, [96] 1+5, [99]—2+4, [98]—[100]2+4, ?III 1+5, [81]——2+4, [98] 2+4, [100]—IV 1+5, [96] 1+5, [99]—2+4, [98]—[100]2+4, ?Таблица 6.2. Глобальные минимальные вложения невращающихся черных дыр: I – гиперболическое, II – спиральное, III – экспоненциальное,IV – кубическое. Цифры показывают размерность и сигнатуру объемлющего пространства.мечены случаи, в которых соответствующее вложение не существует, азнаком вопроса – те, для которых вопрос о существовании вложения покаостается открытым.168Глава 7Соответствие междуэффектами Хокинга и Унрув теории вложенияГлава посвящена изучению связи, которая может обнаруживатьсямежду квантовыми эффектами в римановом пространстве и квантовыми эффектами, возникающими на соответствующей его вложениюповерхности в плоском объемлющем пространстве вследствие наличияв последнем квантовых полей.
Обсуждается, в каких случаях возникаетсоответствие между эффектами Хокинга и Унру. Доказывается утверждение, определяющее достаточные условия существования такого соответствия и анализируются примеры, для которых соответствие отсутствует. Исследуется также, какова внешняя геометрия поверхностей, для которых существует связь между двухточечными функциямиВайтмана на поверхности и в объемлющем пространстве. Изложенныев этой главе результаты опубликованы в работах [107–109].7.1Соответствия квантовых эффектовНесмотря на отсутствие в настоящее время удовлетворительной квантовой теории гравитации, при не слишком высоких энергиях можноизучать влияние гравитации на квантовые эффекты, рассматривая квантованные поля в римановом пространстве, см., например, монографии[110, 111].
К наиболее известным нетривиальным примерам такого влияния можно отнести эффекты Хокинга [112] (излучение черных дыр) и169Унру [113] (наблюдение теплового излучения равноускоренным наблюдателем).В рамках обсуждавшегося в главах 3-5 описания гравитации в видетеории вложения наше пространство-время рассматривается как четырехмерная поверхность в плоском объемлющем пространстве. В связис этим можно поставить вопрос о связи между квантовыми эффектами впространстве-времени как римановом пространстве и эффектами, возникающими на поверхности вследствие наличия квантовых полей в плоскомобъемлющем пространстве.
И оказывается, что такая обнаруживается, покрайней мере для определенных типов вложений некоторого класса римановых пространств, в том числе являющихся физически интереснымирешениями уравнений Эйнштейна.Как было замечено Дезером и Левиным [26, 27] (отметим также появившуюся в это же время, но менее известную работу [114]), предсказанное Хокингом излучение черных дыр может быть отождествлено снаблюдаемым в объемлющем пространстве излучением Унру. Для этогонужно рассмотреть определенное вложение метрики черной дыры (т.
е.имеющую такую метрику четырехмерную поверхность в плоском объемлющем пространстве), для которого покоящийся на фиксированном расстоянии от черной дыры наблюдатель оказывается движущимся равноускоренно в объемлющем пространстве. Такое соответствие между эффектами Хокинга и Унру ("Hawking into Unruh mapping" в англоязычнойлитературе) было в последующих работах обнаружено для многих физически интересных метрик.Эффект Хокинга возникает в результате взаимодействия детектора сзаданным в римановом пространстве квантовым полем, например, безмассовым скалярным полем, удовлетворяющем инвариантному уравнению [112] () = 0.(7.1)Соответствующий ему эффект Унру возникает в результате взаимодействия детектора с квантовым полем, заданным в плоском объемлющемпространстве и удовлетворяющем уравнению () = 0.170(7.2)Решения уравнений (7.1) могут быть продолжены до решений уравнений(7.2), удовлетворяющих дополнительному условию равенства нулю первых двух производных в "поперечных" направлениях (связь между уравнениями (7.1),(7.2) используется, например, при исследовании взаимосвязи термодинамики и горизонтов в работе [115]).
Поэтому существованиесоответствия между эффектами Хокинга и Унру может говорить о наличии тесной связи между квантовыми теориями в римановом пространствеи в плоском объемлющем пространстве, в которое оно вложено. Такуюсвязь можно воспринимать как косвенный аргумент в пользу использования подхода к гравитации на основе теории вложения при попытках ееквантования, в особенности в предложенном в главе 5 варианте, имеющем вид теории поля в объемлющем пространстве.Следует отметить, что соответствие между эффектами Хокинга и Унру является не единственным примером связи между квантовыми эффектами в римановом пространстве и на соответствующей ему вложеннойв плоское объемлющее пространство поверхности.
Обсуждается такжевозможность связать двухточечные функции Вайтмана (или функции Грина) в римановом пространстве и в объемлющем пространстве. Это можно сделать для поверхностей, соответствующих так называемой warpedгеометрии. Для функций Вайтмана соответствующий анализ проведен вработе [28], а для функций Грина – в работах [29, 30]. В разделе 7.9 мыобсудим, для какого класса поверхностей применим этот подход.7.2Эффекты Хокинга и УнруВ наиболее общем смысле эффект Хокинга [112] заключается в том,что в пространстве-времени с горизонтом событий наблюдатель, расположенный вне горизонта, фиксирует наличие потока частиц, имеющих тепловое распределение.
В основе этого квантового эффекта лежит нетривиальность причинной структуры пространства-времени с горизонтом, вкотором рассматривается квантовая теории поля. Из-за этой нетривиальности вектор состояния, являющийся вакуумным с точки зрения операторов поля на начальной поверхности в прошлом, будучи разложеннымпо базису состояний, соответствующему операторам поля на конечнойповерхности в будущем (включающей в себя бесконечно удаленную по-171верхность и горизонт событий), соответствует наличию излучения с тепловым спектром.Фиксируемая наблюдателем температура этого излучения (температура Хокинга) выражается формулой =2(7.3)через так называемую "поверхностную гравитацию" , определяемую дляданного наблюдателя следующим образом (см., например, [116]). Пусть – времениподобный вектор Киллинга, нормированный таким образом,что его значение 0 в точке, где находится наблюдатель, подчинено условию 02 = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
