Диссертация (1145422), страница 30
Текст из файла (страница 30)
. . , − 1, а – произвольная положительная константа, введенная для общности. Отметим, что компоненты функциивложения ( ) как-то зависят от координат , 2 , 3 , но не от . Следует отметить, что не для любой метрики, обладающей симметрией относительно сдвигов времени, существует гиперболическое вложение. Каквидно из (7.18), такое вложение существует только для метрик, для которых при некотором выборе времени оказывается 01 = 02 = 03 = 0, т. е.для являющихся не только стационарными, но и статическими.При построении вложений конкретных метрик далее необходимо подставлять общий вид вложения (7.18) в уравнение (2.4) и искать его решения.
Без какой-либо дополнительной симметрии метрики сделать этообычно не удается, но провести интересующий нас сейчас общий анализможно. Будем нормировать соответствующий сдвигам времени векторКиллинга так, чтобы он был единичным в точке наблюдения = 0 .Тогда в координатах , , 2 , 3 его компоненты будут иметь вид = 0 √︀100 (0 )= 01,0(7.19)а в объемлющем пространстве ему соответствует вектор = скомпонентами0 =ch(),01 =sh(),0 = 0.(7.20)Будем предполагать, что вложение гладко покрывает горизонт, т. е.что рассматриваемая четырехмерная поверхность является гладкой при = 0. Поскольку координата оказывается сингулярной на горизонте(как например, время координат Шварцшильда для черной дыры) функция вложения при использовании этой координаты не обязательно будетявно гладкой, поэтому гладкость нельзя определить напрямую.
Чтобы этосделать, заметим, что, оставаясь касательным к поверхности ℳ, вектор183 в сколь угодно малой окрестности точки 0 = 1 = 0 имеет сильно отличающиеся направления, лежащие, однако, в плоскости 0 , 1 . Этосовместимо с гладкостью поверхности ℳ только в том случае, если всяплоскость 0 , 1 является касательной к ℳ в точке 0 = 1 = 0. Следовательно, величины 0 , 1 можно использовать в качестве координат на ℳв окрестности точки 0 = 1 = 0 и гладкость ℳ гарантирует гладкостьфункции вложения, записанной в этих координатах.
При использовании вуказанной окрестности в качестве координат на ℳ величин 0 , 1 , 2 , 3функция вложения (7.18) (в области, где эта формула применима, т. е. при22 1 − 0 > 0) приобретает вид)︂(︂√︁22 1 − 0 , 2 , 3 .(7.21)0 = 0,1 = 1, = Ее гладкость по 0 , 1 означает гладкую зависимость функции (, 2 , 3 )от 2 , откуда следует, что в окрестности горизонта, которому в объемлющем пространстве соответствует множество точек, удовлетворяющихуравнению22 1 − 0 = 0,(7.22)выполняется разложение:23(︁ = ( , ) + 12−02)︁23ℎ ( , ) + (︂(︁12−02)︁2 )︂.(7.23)Выполнение этого разложения, таким образом, является критерием того,что рассматриваемое вложение гладко покрывает горизонт.7.7Доказательство существованиясоответствияДокажем следующее утверждение.Утверждение: для гладко покрывающего горизонт гиперболическоговложения (которое всегда можно записать в форме (7.18)) произвольнойметрики, допускающей такое вложение и обладающей времениподобнымвектором Киллинга и горизонтом Киллинга, соответствие между эффектами Хокинга и Унру имеет место.184Для определения температуры возникающего из-за наличия горизонта излучения Хокинга найдем из уравнения (7.4) величину поверхностной гравитации с точки зрения наблюдателя, имеющего координату = 0 .
Для этого перепишем это уравнение в терминах вектора объемлющего пространства (7.20). В соответствии с (2.18), ковариантнаяпроизводная вектора может быть записана в виде = ( ) ,(7.24)где неквадратные реперы и определены формулами (2.1) и (2.6), соответственно. Умножая уравнение (7.4) на величину и используя формулу (7.24), получаем уравнениеΠ = ,(7.25)где проектор на касательное пространство к поверхности ℳ в даннойточке определяется формулой (2.20).Для удобства анализа уравнения (7.25) введем в объемлющем пространстве светоподобные координаты ± = 0 ± 1 , аналогично тому, какбыло сделано в разделе 7.3 при обсуждении тривиального соответствиямежду эффектами Хокинга и Унру (формулы (7.8),(7.9)).
В этих координатах формула (7.18) приобретет вид + = , − = −− , = (, 2 , 3 ),(7.26)используя который, формулу (7.20) можно записать как +, = =00+ −− = =− .00− = 0.(7.27)В предыдущем разделе было показано, что функция вложения поверхности ℳ является гладкой в координатах 0 , 1 , 2 , 3 (см. (7.21)), следовательно, она также будет гладкой и в координатах + , − , 2 , 3 , в которых она приобретает вид(︁√︀)︁++−−2 3+− = , = , = , , .(7.28)Запишем в этих координатах уравнение (7.25) в точке горизонта, для которой − = 0, + > 0 (что соответствует уравнению горизонта (7.22)), а185значит, в ней − = 0 согласно (7.27). Для левой части уравнения (7.25)имеем:Π =Π + + + = 2 Π ,0(7.29)где это постоянный вектор с компонентами + = 1; − = 0; = 0.Легко заметить из вида формулы (7.28), что при − = 0 вектор является касательным к ℳ, поскольку совпадает с + .
Следовательно, посвойству проектора будет Π = и в итоге уравнение (7.25) переписывается в виде+ + = .200(7.30)Из него легко найти величину поверхностной гравитации для наблюдателя, имеющего координату = 0 :=1.0(7.31)Это означает, что, согласно формуле (7.3), наблюдатель фиксирует излучение Хокинга с температурой = 1/(20 ).С другой стороны, как видно из (7.18), этот наблюдатель в объемлющем пространстве движется с постоянным ускорением = 1/0 , азначит фиксирует излучение Унру с температурой (7.5), которая оказывается совпадающей с . Следовательно, сформулированное в началеэтого раздела утверждение доказано.Следует отметить, что во многом проведенные при доказательстверассуждения являются повторением рассуждений, использованных вышев разделе 7.3 при обсуждении тривиального соответствия между эффектами Хокинга и Унру.
Отличие заключается только в том, что при выводе формулы (7.31) пришлось учитывать нетривиальность ковариантнойпроизводной, а при выводе (7.11) ковариантная производная совпадала собычной. Однако результаты в обоих случаях получились одинаковые –соответствие между эффектами Хокинга и Унру имеет место, и это можнопросто объяснить следующим образом.Заметим, что отличие гиперболического вложения общего вида (7.18)от записи пространства Минковского в координатах Риндлера (7.6) за186ключается только в том, что для пространства Минковского "поперечные" компоненты 2,3 не зависят от , а для гиперболического вложенияаналогичные "поперечные" компоненты от зависят.
Однако эта зависимость при малых для гладких вложений не имеет линейного по члена (см. разложение (7.23)). Поэтому в малой окрестности горизонтагладкая поверхность ℳ при фиксированных 2,3 в первом приближениисовпадает с пространством Минковского, а значит для наблюдателя, координата которого мала, температуры Хокинга и Унру совпадают тривиально.
Для наблюдателей же с произвольным значением координаты этосовпадение сохраняется автоматически вследствие следующего из (7.5) и(7.18) соотношения√ 001 √︀ 2 2= = 2(7.32)и выглядящего точно так же известного закона Толмена (см., например,[116]):√ 00 = .(7.33)Таким образом, в основе соответствия между эффектами Хокинга и Унрудля произвольных гладко покрывающих горизонт гиперболических вложений лежит локальное сходство между такими вложениями и записьюпространства Минковского в координатах Риндлера.Отметим, что существование соответствия между эффектами Хокингаи Унру удалось доказать при достаточно общих предположениях.
О метрике пространства-времени предполагалось только существование времениподобного вектора Киллинга и горизонта Киллинга (без этого нельзябыло бы говорить об излучении Хокинга), а также существование для неегиперболического вложения. Функция вложения была взята в самом общем виде, соответствующем гиперболическому типу реализации трансляционной инвариантности относительно сдвигов времени. Наличие какойлибо еще симметрии, например, сферической, не предполагалось.Доказанное в этом разделе утверждение позволяет заключить, что прииспользовании гладко покрывающих горизонт гиперболических вложений соответствие между эффектами Хокинга и Унру всегда имеет местои предложенный в работах [26, 27] метод GEMS анализа термодинамиче-187ских свойств пространств с горизонтами должен всегда давать хорошиерезультаты.7.8Анализ контрпримеровПроанализируем, как соотносится доказанное в предыдущем разделе утверждение, определяющее достаточные условия существования соответствия между эффектами Хокинга и Унру, с описанными в разделе7.5 примерами отсутствия такого соответствия.
Упоминавшиеся там вложения невращающихся черных дыр, относящиеся к отличным от гиперболического типам, очевидным образом не удовлетворяют условиям доказанного утверждения. Такова же ситуация для примеров, получаемыхпростым изометрическим изгибанием плоского объемлющего пространства, до которого соответствие имело место, один из таких примеров (дляпространства де Ситтера) дается формулой (7.13).Для гиперболического вложения (7.14), являющегося простым изгибанием четырехмерной плоскости, условия обсуждаемого утверждениянарушены отсутствием горизонта Киллинга для линий времени в лоренцевых координатах в пространстве Минковского.
Следует отметить, чтоиз-за этого вложение (7.14) вообще не укладывается в общий вид (7.18),при записи которого существование горизонта предполагалось. Аналогичная ситуация реализуется для предложенного в [133] вложения (7.16),являющегося нестандартным вложением метрики пространства анти-деСиттера. Действительно, несложно заметить, что оно не содержит горизонта Киллинга для линий времени, поскольку приводя его к виду (7.18)мы получаем = −1 ch и не может обратиться в ноль.Интересно проанализировать на предмет соответствия обсуждаемомуутверждению еще один пример, являющийся нестандартным вложениемметрики пространства де Ситтера, для которой2 = 2 cos2 2 − 2 2 − 2 sin2 2 − 2 sin2 sin2 2 .188(7.34)Такое вложение строится тем же приемом, что был использован при построении вложения (7.16), оно имеет вид:012345= −1 cos sh(),= −1 cos ch(),= sin cos ,= sin sin cos ,= sin sin sin ,√= 1 − −2 cos (7.35)с сигнатурой объемлющего пространства (+, −, −, −, −, −).
Данное вложение является гиперболическим. Для него соответствие между эффектами Хокинга и Унру имеет место только при = 1, когда оно переходит встандартный гиперболоид де Ситтера (это было проверено в работе [27]),а при > 1 соответствие отсутствует, поскольку температура Хокинга зависит только от внутренней геометрии и, значит, не зависит от (поскольку не входит в (7.34)), а температура Унру, как следует из (7.5),равна =.2 cos (7.36)Вложение (7.35), являясь гиперболическим, соответствует виду (7.18) при = −1 cos и для линий времени в используемых координатах содержит горизонт Киллинга при = /2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
