Диссертация (1145422), страница 34
Текст из файла (страница 34)
ниже, в главе 9.2068.3Случай неабелевойкалибровочной теорииКак уже говорилось в предыдущем разделе, для калибровочной теории в работах [9, 45] была предложена специальная регуляризация, похожая на регуляризацию Паули-Вилларса, при использовании которой гамильтониан на с. ф. не требует "исправления". Однако при этом оказалась нарушена калибровочная инвариантность, что для неабелевой теории в процессе УФ перенормировки привело к появлению большого числа контрчленов с неизвестными коэффициентами. Только при некоторой,неизвестной заранее, зависимости этих коэффициентов от параметров УФрегуляризации, полученный гамильтониан на с.
ф. в пределе снятия регуляризации воспроизводит во всех порядках т. в. результаты лоренцковариантной теории. Следует также отметить, что, в отличие от двумерных моделей, в которых в рамках уже упоминавшегося в разделе 8.1метода DLCQ пространство состояний оказывается конечномерным (см.подробности ниже, в главе 9), в четырехмерной теории это не так, поскольку дополнительно имеются направления 1 , 2 .
Это, вместе со следующим из нарушения калибровочной инвариантности наличием большого числа неизвестных коэффициентов, сильно затрудняет вычислениеспектра гамильтониана на с. ф.Попытаться решить сразу обе эти проблемы – нарушение калибровочной инвариантности и бесконечномерность пространства состояний –можно введением в теорию двумерной решетки по поперечным направлениям 1 , 2 (конечномерным пространство состояний станет при одновременном введении периодических граничных условий по ним). В этом случае при обычном способе введения решетки компоненты калибровочногополя в направлении 1,2 заменяются относимыми к ребрам решетки унитарными матрицы.
Такой подход при построении гамильтониана на с. ф.исследовался в работе [140]. Однако унитарность матриц делает действиетеории неполиномиальным относительно независимых переменных, чточрезвычайно усложняет анализ фейнмановской теории возмущений. Поэтому кажется более перспективным считать эти матрицы произвольнымикомплексными (об использовании этой идеи для четырехмерной решетки см. в обзоре [155]), т. е. использовать предложенный в работе [156]метод поперечной решетки ("the transverse lattice method" в англоязычной207литературе). В таком подходе действие оказывается полиномиальным ианализ теории возмущений упрощается, но зато в теории появляются дополнительные, нефизические степени свободы.Для того чтобы применить к теории с поперечной решеткой предложенный в [8, 9] метод построения "исправленного" гамильтониана нас.
ф. нужно прежде всего сформулировать фейнмановскую теорию возмущений в присутствии решетки. Далее, необходимо выбрать действиетаким образом, чтобы функции Грина теории в лоренцевых координатахв пределе стремления к нулю постоянной решетки совпали с функциямиГрина обычной КХД, а нефизические степени свободы отключились. Приэтом необходимо провести процедуру перенормировки теории при снятиирешеточной регуляризации. Затем можно будет действуя упомянутым методом построить "исправленный"гамильтониан на с. ф., который будетсоответствовать, по крайней мере в рамках теории возмущений (во всехпорядках) по константе связи, обычной КХД. Такой гамильтониан может быть использован для непертурбативного вычисления спектра масстеории. Главным его преимуществом по отношению к гамильтониану, построенному в работе [45] будет конечномерность пространства состоянийв рамках метода DLCQ.
Кроме того, при использовании решетки можнонадеяться на меньшее количество неизвестных коэффициентов, поскольку вместо нарушения калибровочной инвариантности (если быть точным,то некоторое такое нарушение все-таки придется ввести для регуляризации УФ расходимостей в продольном пространстве 0 , 3 , но число расходящихся таким образом диаграмм конечно, см. ниже) имеется лишьчастичное нарушение лоренц-инвариантности вследствие введения поперечной решетки.Следует отметить, что метод поперечной решетки, сочетающий использование гамильтониана на с. ф. и введение поперечной решетки является весьма плодотворным для описания КХД, см.
обзор [157] и цитируемую там литературу. Однако обычно в этом подходе замена унитарных матриц на произвольные комплексные понимается как переход кновым "colour-dielectric" переменным, представляющим важные степенисвободы на достаточно грубой решетке [158]. При этом, как упоминаетсяв [159], переход к малым значениям постоянной решетки оказываетсяне совсем ясным. Кроме того, обычно используется "наивный" гамильтониан на с.
ф., так что построение "исправленного" гамильтониана, соответствующего перенормированной теории с отключающимися в пределе208 → 0 нефизическими степенями свободы может позволить получить новые интересные результаты.В последующих разделах данной главы делаются первые шаги на пути к построению "исправленного" гамильтониана на с. ф. для КХД напоперечной решетке: записывается действие теории, формулируется фейнмановская теория возмущений, анализируются все не содержащие расходимостей фейнмановские диаграммы и определяется схема процедурыперенормировки теории. Для упрощения задачи вместо КХД рассматривается теория неабелевого калибровочного поля с калибровочной группой ( ).8.4Действие теории на поперечной решеткеСформулируем калибровочную теорию в четырехмерном пространстве-времени, в котором два пространственных направления замененыквадратной решеткой.
Выберем переменные теории таким образом, чтобы действие по ним было полиномиальным. При этом компоненты калибровочного поля вдоль непрерывных координат , , , . . . = 0, 3,рассматриваются обычным образом, и мы их относим к узлам поперечной решетки. Компоненты же поля вдоль дискретных поперечных координат , , , .
. . = 1, 2, описываются для случая ( )-теории произвольными комплексными × матрицами (), которые отнесены кребрам решетки. Матрица () относится к ребру, соединяющему узлы − и и соответствует положительному направлению вдоль оси ,см. рис. 8.1,a.
Вектор связывает соседние узлы решетки, он направa)sx − ekb)Mk (x)sx − eksxMk+ (x)sxРисунок 8.1лен вдоль оси , причем | | = , где – постоянная решетки. Матрицы () рассматриваются в качестве независимых переменных. Они несчитаются подчиненными условию унитарности, что и позволяет сделатьдействие полиномиальным. Матрица + () относится к тому же реб209ру что и (), но соответствует противоположному направлению, см.рис.
8.1,b.Любому замкнутому направленному циклу по ребрам решетки можносопоставить след произведения матриц (), расположенных на этихребрах, упорядочив матрицы в согласии с последовательностью ребер вцикле справа налево. Например, выражениеTr{︀}︀2 ()1 ( − 2 )2+ ( − 1 )1+ ()(8.18)соответствует циклу, показанному на рис. 8.2,a. Отметим, что цикл, со-a)sx − e1M1+ (x)sM2+ (x − e1 )x − e1 − e2b)xM2 (x)sM1 (x − e2 )sx − ekssx − e2Рисунок 8.2стоящий из одного и того же ребра, пройденного в противоположныхнаправлениях (см. рис. 8.2,b), не отвечает единице, так как матрицы неунитарны.Калибровочные преобразования, осуществляемые унитарными × матрицами (), действуют на отнесенные к узлам решетки продольныекомпоненты () калибровочного поля как обычно:′ () = () () + () + () () + (),(8.19)а на матрицы () следующим образом:′ () = () () + ( − ).(8.20)Всякий след матрицы, соответствующей циклу (типа показанных нарис.
8.2) инвариантен относительно этих преобразований.Установим связь матричных переменных () с остающимся внепрерывном пределе → 0 калибровочным полем (), состоящем из210xсоответствующих группам ( ) и (1) неабелевой и абелевой частей.А именно: () = + ( () + ()) ≡ + (),(8.21)где – единичная матрица, а (), () – эрмитовые матрицы. Поле () является вспомогательным нефизическим полем, которое должноотключаться в непрерывном пределе.При наличии решетки поперечные компоненты тензора напряженности можно определять разными способами. Чисто продольные компоненты относятся к узлам решетки и имеют обычный вид: () = () − () − [ (), ()].(8.22)Смешанные компоненты определим как, () =1( () − ( () () − () ( − ))) , (8.23)они относятся к ребру, тому же, что и () и при калибровочном преобразовании преобразуются по формуле, аналогичной (8.20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
