Диссертация (1145422), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Кроме того, эти контрчлены должны не нарушать имеющиеся пространственные симметрии. Предварительный анализ показывает, что в процессе перенормировки это приводит к обычным перерастяжению полей , , (причем независимому для их абелевой и неабелевой частей) и пере230нормировке константы связи , а также к появлению в действии (8.29)ренормировочных коэффициентов перед разными частями слагаемых 3(см. (8.31)) и . Возможно появление в действии и еще нескольких удовлетворяющих всем симметриям членов, в частности, содержащих векторы , ¯ , как это было обнаружено в [163]. Таким образом, при перенормировке теории на поперечной решетке возникнет некоторое количествонеизвестных коэффициентов, что является следствием нарушения полной Лоренц-инвариантности решеткой и появлением нефизических полей. Точный вид всех возникающих контрчленов может быть получентолько после полного построения процедуры перенормировки теории споперечной решеткой, что требует проведения дополнительных исследований.231Глава 9Непертурбативный расчетспектра масс двумернойКЭДГлава посвящена применению описанного в предыдущей главе метода"исправления" гамильтониана на с.
ф. к двумерной квантовой электродинамике, называемой также массивной моделью Швингера. С помощьюперехода к бозонной форме теории и анализа соответствующей ей т. в.по массе фермиона удается в конечном итоге построить "исправленный" гамильтониан на с. ф. в фермионных терминах.
Полученное длянего выражение отличается от результата наивного квантования нас. ф. дополнительным контрчленом. Спектр масс, вычисленный на основе полученного гамильтониана на с. ф. с хорошей точностью воспроизвел известные результаты решеточных расчетов в широком диапазонеизменения константы связи, что подтверждает непертурбативный характер обсуждаемого метода. Результаты данной главы опубликованыв работах [165–168].9.1Массивная модель ШвингераКак уже упоминалось в предыдущей главе, при описании сильноговзаимодействия элементарных частиц при низких энергиях, когда константа взаимодействия не является малой, применение теории возмущений оказывается непродуктивно.
Для корректного описания теории вэтом случае необходимо использовать какие-либо непертурбативные ме232тоды. Дополнительные сложности возникают вследствие калибровочного характера описывающей сильное взаимодействие теории – квантовойхромодинамики (КХД). Поэтому представляет интерес изучение моделей,которые, с одной стороны, обладают калибровочной инвариантностью, ас другой – оказываются достаточно простыми для того, чтобы при использовании непертурбативных методов удавалось получить достаточноточные результаты. Одной из таких моделей является двумерная квантовая электродинамика (КЭД-2) с ненулевой массой фермиона, в которойоказывается также возможным провести анализ рядов теории возмущений во всех порядках.Эта модель, называемая также массивной моделью Швингера [150],описывается плотностью лагранжиана1ℒ = − + Ψ̄( − )Ψ,4(9.1)где , = 0, 1, = − , = − , – вектор(︀ )︀потенциал электромагнитного поля, Ψ = −+ , Ψ̄ = Ψ+ 0 – фермионноеполе с массой , – аналог заряда электрона.
В данной главе используется сигнатура (+, −), матрицы можно выбрать в виде(︃)︃(︃)︃0−00 =, 1 =.(9.2) 0 0Данная двумерная модель привлекает к себе внимание как объект применения методов, в конечном итоге предназначенных для изучения КХД,поскольку она обладает многими свойствами, сходными с КХД: конфайнмент, нарушение киральной симметрии, топологический -вакуум(см. [169] и цитируемую там литературу, а также [170–172]). Известныпопытки использовать информацию, полученную при анализе КЭД-2, прианализе четырехмерных калибровочных теорий в координатах с. ф. [173].С другой стороны, как известно, при нулевой массе фермиона рассматриваемая модель точно решаема [174], в этом случае ее называютмоделью Швингера.
Поэтому для случая ̸= 0 можно рассматривать такназываемую "киральную" теорию возмущений, то есть т. в. по массе фермиона [171]. Это представляет интерес, так как такая т. в. соответствует непертурбативному подходу с точки зрения обычной т. в. по константесвязи . Действительно, реально разложение идет по безразмерному от233ношению / (константа связи в двумерии имеет размерность массы).Поэтому киральную т. в. можно рассматривать как разложение по 1/,которое применимо в области больших . Следует отметить, что обычнаят. в. по константе связи для теории (9.1) плохо определена из-за наличиясущественных инфракрасных расходимостей в этой двумерной безмассовой теории. В калибровочных теориях с числом измерений больше двухобращение в ноль массы фермиона не делает модель точно решаемой.Несмотря на это, и в таких теориях можно пытаться рассматривать разложение по 1/ с помощью перехода к "дуальной" форме модели.
Киральная т. в. для КЭД-2 может служить простым примером такого разложения,на котором можно изучать его особенности.Киральную т. в. для КЭД-2 удобнее всего рассматривать, переходяк эквивалентной формулировке теории в бозонных переменных с помощью процедуры "бозонизации" [144, 150, 175]. Соответствующий бозонный лагранжиан имеет вид:ℒ=)︀1 (︀ − 2 2 +8 =,2 : : + − : − :,22= √ ,(9.3)где = 0.577216 – постоянная Эйлера, параметр определяет выборинстантонного -вакуума в КЭД-2 [171, 175, 176], а символ нормальногоупорядочения означает, что в т. в.
по исключаются диаграммы с закороченными линиями (это соответствует обычному значению символанормального упорядочения в гамильтониане).Этот лагранжиан описывает теорию массивного скалярного поля сэкспоненциальным взаимодействием. При этом масса фермиона играет роль константы взаимодействия, так что киральная т. в. для КЭД-2совпадает с обычной т.
в. для бозонной теории (9.3). Пропагатор этой т. в.имеет простой вид (отличающийся лишь числовым множителем от стандартного пропагатора скалярного поля), но лагранжиан (9.3) содержитнеполиномиальное взаимодействие. Вследствие этого в данном порядкет. в. по присутствует бесконечное число диаграмм. Каждая отдельная диаграмма не имеет расходимостей, но оказывается, что некоторыебесконечные суммы диаграмм данного порядка по могут расходиться,причем эта расходимость имеет УФ природу [171]. Поэтому вопрос о наличии УФ расходимостей в разложении по бозонных функций Грина234нетривиален, несмотря на то, что обычно двумерные модели свободны отУФ расходимостей.Для того чтобы применить к теории (9.3) описанный в главе 8 метод"исправления" гамильтониана на с.
ф. путем анализа т. в. для функцийГрина во всех порядках, необходимо прежде всего проанализировать УФповедение теории. В следующем разделе будет доказано отсутствие УФрасходимостей во всех порядках т. в. по (а значит, по ) для функцийГрина без вакуумных петель в бозонной теории (9.3). Под отсутствиемУФ расходимостей понимается конечность результата в пределе снятияпроизвольной УФ регуляризации (введение промежуточной УФ регуляризации при вычислениях необходимо из-за отсутствия абсолютной сходимости сумм диаграмм в данном порядке т. в. по ).
Конечность результата имеет место вследствие того, что при суммировании всех вкладовданного порядка по в каждую функцию Грина все расходимости сокращаются.9.2Отсутствие УФ расходимости9.2.1Анализ общей расходимости в порядкахвыше второгоРассмотрим структуру диаграмм фейнмановской т. в. по для лагранжиана (9.3).
В диаграммах встречаются два типа вершин с внешнимилиниями ( = 0, 1, 2, . . . ), соответствующих двум членам взаимодействияв (9.3). Этим вершинам отвечают множители+1 2и−+1 −2(9.4)для первого и второго типов, соответственно. Вершины с = 0, т. е. безлиний, должны рассматриваться как поддиаграммы несвязной диаграммы. Удобно отнести часть вершинных множителей ± к линиям, внешним по отношению к вершине (± на каждую линию), тогда вершинныемножители примут вид 2 − .2и235(9.5)Пропагатор ∆() = ⟨0| () (0)|0⟩, где поле () относится к свободной теории, в которую переходит (9.3) при = 0, имеет вид∫︁1,(9.6)∆() = 2 ∆(),∆() =2 ( − 2 + 0)где 2 = 0 1 , = 0 0 + 1 1 .Экспоненциальность взаимодействия теории с лагранжианом (9.3)позволяет переформулировать т.
в. по на языке суперпропагаторов, т. е.сумм вкладов одного порядка по , соответствующих вариантам соединения пары вершин разным числом пропагаторов (см., например, [171]).Для пары вершин разного типа суперпропагатор равен∞∑︁1∆() = Δ() ,!=0(9.7)а для вершин одного типа он равен∞∑︁1(−1) ∆() = −Δ() .!=0(9.8)В формулах (9.7) и (9.8) множитель 1/! является симметрийным коэффициентом, который соответствует параллельным линиям. Учтены также отнесенные к линиям части вершинных множителей (9.4) (см. текстпосле этой формулы). При таком подходе сумма всех обычных (в томчисле несвязных) диаграмм с данным числом вершин и данным способом присоединения внешних линий описывается одной диаграммой, вкоторой каждая пара вершин соединена соответствующим суперпропагатором (под связностью всегда понимается связность в обычном смысле).Внешним линиям при этом сопоставляются обычные пропагаторы (9.6)с дополнительным множителем ±, который является отнесенной к этойлинии частью вершинного множителя.Перейдем в евклидово пространство (т.
е. сделаем виков поворот)и введем какую-нибудь промежуточную УФ регуляризацию пропагатора(9.6) (например, методом высших производных).Рассмотрим сумму (бесконечную) ′ всех диаграмм порядка т. в. по (в том числе несвязных), для которых способ прикрепления внешнихлиний к вершинам фиксирован, и задано, какой тип имеет каждая вершина. В терминах суперпропагаторов эту сумму можно изобразить в виде236одной диаграммы, каждая пара вершин которой соединена соответствующим суперпропагатором (9.7) или (9.8).Пусть – сумма всех связных диаграмм, входящих в ′ . Ее можнозаписать как = ′ − ′′ ,(9.9)где ′′ – сумма соответствующих несвязных диаграмм. Величину ′′ можно представить в виде суммы, каждое слагаемое которой есть сумма всехнесвязных диаграмм с фиксированным разбиением исходной диаграммына связные части.
Каждое такое слагаемое представляет собой произведение нескольких величин ˜ с ˜ < . Теперь для каждой ˜ можно сделатьразложение (9.9) и повторять приведенное рассуждение до тех пор, покавсе очередные величины типа ˜ не совпадут с 1 . Учитывая, что 1 = 1′(так как в первом порядке т. в. нет несвязных диаграмм), заключаем, что можно представить в виде конечной суммы произведений величин ′с 6 : =∑︁ ∏︁′ ,(9.10)∑︁ = .(9.11)Исследуем общую УФ расходимость (в пределе снятия промежуточной регуляризации) величины . Под общей УФ расходимостью понимается степень расходимости, определяемая по индексу УФ расходимостидиаграммы без учета возможных подрасходимостей, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
