Диссертация (1145422), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Это означает, что вклад в разницу между светоподобными и лоренцевыми диаграммами от области больших −не меняется, если перейти к "частичным" суперпропагаторам (9.26). Последнее эквивалентно переходу к конечным суммам диаграмм в терминахобычных пропагаторов. К таким диаграммам можно применить описанный в главе 8 метод сравнения светоподобного и лоренцева способа вычисления диаграмм. Для рассматриваемой скалярной теории этот методпоказывает, что отличия есть только для о.г.-диаграмм [177]. Но в рассматриваемой форме т. в.
таких поддиаграмм нет (см. текст после формул(9.38) и (9.40)).Таким образом, получаем, что если параметр удовлетворяет условию (9.41), то порождаемая действием (9.36) светоподобная т. в. в пределе , → 0 во всех порядках эквивалентна лоренц-ковариантной т. в. Азначит, соответствующий этому действию гамильтониан на с. ф.)︂(︂∫︁21 22*−−2 ||−× : : − : : − : : − 2 = 82∫︁(︁)︁((− − − ))−−(− ) −( − )× : : −1 (|− − − | − )(9.42)|− − − |определяет теорию, в пределе снятия регуляризации пертурбативно эквивалентную лоренц-ковариантной КЭД-2.9.6Снятие промежуточнойУФ регуляризацииНайдем параметр из уравнения (9.41):√︂1′1++− ′′2 + ′′ .=−224(9.43)Здесь ′ и ′′ – вещественная и мнимая части величины , а знак передкорнем выбран в соответствии с низшим порядком разложений (9.37) и(9.39).
Как видно из (9.38), величина является функцией произведения и при () → 0 расходится как ln().249Гамильтониан (9.42) и уравнение (9.41) были получены в результатеанализа т. в. по при фиксированном параметре регуляризации . Поэтому снятие регуляризации → 0 невозможно в рамках т. в. Но, посколькуанализ был проведен во всех порядках т. в., далее мы предполагаем выйтиза рамки т.
в., применяя полученный гамильтониан для непертурбативныхрасчетов. В этом случае мы можем осуществить снятие промежуточнойУФ регуляризации → 0, а значит, → ∞.Заметим, что величина представляет собой ряд (9.37), который всоответствии с (9.41) можно получить, если подставить в (9.43) разложение (9.39). Этот ряд начинается с линейного по члена, и видно, чтопри больших его радиус сходимости ведет себя пропорционально 1/.Поэтому в рассматриваемом пределе → ∞ этот радиус сходимостистремится к нулю, так что до взятия предела необходимо совершить аналитическое продолжение по величины в область положительных значений , лежащих вне определяемого этим радиусом круга.
Для этогонайдем поведение подкоренного выражения из (9.43) при → ∞ и порядка 1/. Учитывая известную информацию о расходимости величины (см. формулу (9.40) и текст перед ней), получаем:√︃√︂(︂ )︂′111′′2 =2++−(1+cos).(9.44)422Отсюда находим, что существуют две точки ветвления и что положенияобоих даются формулой)︂(︂111,2 = −.(9.45)+ cos 3/2Из формул (9.44) и (9.45) можно заключить, что в пределе → ∞ искомое аналитическое продолжение величины имеет вид√︂2 = sign(cos )− ′′2 + ′′ .(9.46)4Легко заметить, что этому выражению соответствует || = 2 , вследствие чего удобно ввести обозначение= ^ ,2250(9.47)где безразмерная, имеющая угловой характер величина ˆ является некоторой функцией отношения / и вакуумного угла .
Сравнение (9.47) и(9.46) дает соотношения:sin ˆ =2′′,ˆ = sign(cos ),sign(cos )(9.48)из которых следует, что ˆ представляет собой ряд по (напомним, что′′ это мнимая часть величины , определяемой рядом (9.39), причемсогласно (9.40) она УФ конечна). Сравнивая (9.47) с (9.39) легко заметить,что этот ряд начинается с :ˆ = + () .(9.49)Если в диаграммах, определяющих величину , сделать евклидов поворот, то выясняется, что – это вещественная функция величин , , ,− .
Отсюда следует, что замена знака параметра эквивалентна комплексному сопряжению величины , а при = эта величина вещественна. Используя эти факты и формулу (9.46), легко заключить, что ˆявляется нечетной функцией , а также что, если = , то ˆ = .Интересно отметить, что по модулю константа взаимодействия светоподобной теории оказалась такой же, как в исходной лоренцковариантной теории (напомним, что комплексный параметр играет всветоподобной теории ту же роль, что величина 2 в лоренц-ковариантной). При больших под корнем в (9.46), в принципе, может оказатьсяотрицательное число. Это означает, что уравнение (9.41) не имеет решения, а значит, при таких предложенная схема построения гамильтонианана с.
ф. неприменима. Заметим также, что из-за специальной структурыконтрчлена равенство нулю параметра в гамильтониане (9.42) не приводит к появлению расходимостей в матричных элементах.9.7Возврат к фермионным переменнымСкалярную теорию, заданную гамильтонианом на с. ф. (9.42), можнопереписать в виде некоторой фермионной теории на с. ф., используя обратную процедуру бозонизации. При этом вместо регуляризации |− | > вводится обрезание |− | 6 с периодическими граничными условиями251(как в упомянутом во введении методе DLCQ) и исключается из рассмотрения нулевая мода по − .
В результате роль параметра начинает игратьшаг / дискретного импульса − . Для проведения обратной процедурыбозонизации удобно в последнем слагаемом гамильтониана (9.42) изменить нормальное упорядочение экспонент по формуле)︃(︃ ∞∑︁1 − (− −− )−−−− (9.50): ( ) −( ) : = : ( ) : : −( ) : exp −=1и выбрать функцию () в виде(︃ ∞)︃ ∞∑︁ 1∑︁1 () = || exp−1+2=−∞=1(9.51)(напомним, что в ее определении есть произвол, см. текст после формулы(9.34)).
Тогда, используя формулу обратной бозонизации [144, 175] − −1+ () = √ − − 2 : −() :,2(9.52)гамильтониан на с. ф. (9.42), задающий теорию, в пределе снятия регуляризации пертурбативно эквивалентную лоренц-ковариантной КЭД2, можно записать в фермионных переменных в виде (см. подробностив [177])∫︁=−(︂)︂)︀ 2 + −1)︀2 (︀ +2 (︀ −1 + [ + ] − 0 + э.с. − + , (9.53)2 − +22 + −−где −(/,)^.
= 3/2 2(9.54)Поле + подчинено антипериодическим граничным условиям по − иразлагается по операторам рождения и уничтожения следующим образом:(︃)︃∑︁∑︁11−(+ 21 )−+ () = √ − (− 2 ) ++,(9.55)2 >1>0252+{ , +′ } = { , ′ } = ′ , |0⟩ = |0⟩ = 0.(9.56)В выражении (9.52) величина является оператором заряда, определяющим физическое подпространство векторов |ℎ⟩:=∑︁>1+ −∑︁+ ,|ℎ⟩ = 0.(9.57)>0В выражении (9.53) оператор есть канонически сопряженная заряду величина, обладающая свойствами [144, 175]: |0⟩ = +1 |0⟩,− + ()− = + (),− |0⟩ = +0 |0⟩,(9.58)которые полностью ее определяют, а квадратные скобки означают отбрасывание нулевой моды по − . Из (9.58) и (9.55) следует, что − = +1 ,− += +−1 , > 1,− += 1 .
(9.59)0Оператор светоподобного импульса − имеет вид− =∑︁>1(+∑︁11− )++(+).22>0(9.60)Интересно отметить, что присутствующий в окончательном гамильтониане на с. ф. (9.53) коэффициент и определяющий его параметр ˆсвязаны со значениями вакуумных конденсатов в лоренцевых координатах [177]:5Im = ⟨Ω| : Ψ̄ Ψ : |Ω⟩, || = 3/22(9.61)(последнее равенство следует из (9.54)) иsin ˆ = ⟨Ω| : sin( + ) : |Ω⟩.(9.62)Здесь |Ω⟩ – физический вакуум, а нормальное упорядочение проводитсяв лоренцевых координатах.При вычислении спектра масс связанных состояний величина ˆ является независимым параметром теории, наряду с и , а связь между ˆи при ̸= 0, можно, в принципе, находить, сравнивая результаты рас253чета спектра масс теории в лоренцевых координатах и теории на с.
ф.Отметим, что выражение для "исправленного" гамильтониана на с. ф.(9.53) отличается от выражения, получаемого в результате наивного канонического квантования исходной фермионной теории (9.1) в координатахс. ф. [38], только добавлением второго слагаемого, линейного по операˆ а следовательно, от значения вакуумноготорам поля и зависящего от ,угла . Таким образом, видно, что наивное каноническое квантование неучитывает вакуумных эффектов.9.8Вычисление спектра масссвязанных состоянийДля получения спектра масс связанных состояний теории будем искать собственные значения "исправленного" фермионного гамильтониана на с.
ф. (9.53) (индекс нумерует собственные значения, расположенные по возрастанию):|Ψ ⟩ = |Ψ ⟩(9.63)в подпространстве физических состояний с фиксированным значениемсветоподобного импульса (9.60). Это подпространство определяется условиями− |Ψ⟩ = − |Ψ⟩.|Ψ⟩ = 0,(9.64)Вследствие антипериодических граничных условий и первого из равенств(9.64) собственное значение − имеет вид− =,(9.65)где – целое неотрицательное число. При этом массы связанныхсостояний даются формулой (8.12):2 = 2− =2 .(9.66)Если в выражении для гамильтониана (9.53) сделать замену переменнойинтегрирования − = и воспользоваться разложением (9.55), то опера2542тор 2 , определяющий величины , не будет явно содержать параметра регуляризации , но будет зависеть от .
Величина будет влиятьна спектр масс только через соотношение (9.65). Поскольку − не зависитот , то из (9.65) заключаем, что пределу снятия регуляризации → ∞соответствует предел → ∞.Вследствие использования антипериодических граничных условийподпространство, определяемое условиями (9.64), оказывается конечномерным. Это происходит потому, что существует минимальное положи, а операторытельное значение светоподобного импульса − , равное 2рождения соответствуют только положительным значениям − . Произвольное состояние, удовлетворяющее условиям (9.64), имеет вид2 +1 + 1|Ψ⟩ = +. .
. +1 . . . + = 0, 1;0 −1 |0⟩,⃒⃒(︂)︂22∑︁∑︁⃒⃒11⃒ − + ⃒ = ,sign − + = 0,⃒22⃒=1=1(9.67)где sign – знаковая функция. Степени здесь принимают только значения0 или 1 вследствие антикоммутационных соотношений (9.56).Конечномерность подпространства, заданного формулами (9.67), в котором нужно решать уравнение (9.63), сводит задачу к нахождению собственных значений матрицы конечного размера mat × mat , элементыкоторой задаются матричными элементами оператора 2 между состояниями (9.67).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
