Диссертация (1145422), страница 40
Текст из файла (страница 40)
ф. Поэтомуприходится проводить анализ в координатном пространстве.При использовании упомянутого метода учитывается вклад области− ≈ , + ≈ 1 , что в координатном пространстве соответствует области больших − ≈ 1 . Анализ сходимости в этой области экспоненциальных рядов разложения суперпропагаторов позволяет заключить, что рядыможно оборвать, т. е. что можно перейти к "частичным" суперпропагаторам±()∑︁1′(±∆()),=′ !′ =0±Δ() = lim ±(),→∞(9.26)после чего можно использовать результаты, полученные упомянутым методом.
Подробно такие рассуждения будут проведены ниже, в разделе 9.5.Сначала же найдем отличия между светоподобным и лоренцевым суперпропагаторами при конечных − в пределе → 0. Обычно таких отличиймежду пропагаторами не бывает, но в рассматриваемой модели в терминах суперпропагаторов такой вклад есть из-за плохого УФ поведениятеории. Именно такой вклад должен быть прежде всего найден и скомпенсирован контрчленом к гамильтониану на с.
ф.2439.4Отличия при конечных −Светоподобный пропагатор, полностью регуляризованный условием 6 |− | 6 можно записать в виде (см. подробности в работе [177])∆, ()∫︁= −(︁)︁2 +− + sign(+ )2(9.27)(при этом исходным является выражение (9.25) с дополнительным обрезанием |− | 6 ). С другой стороны, вводя в лоренцевых координатахобрезание импульса |1 | 6 Λ, лоренцев пропагатор можно привести кпохожему виду∫︁Λ∆Λ () = −(︁)︁2 +− + sign(0 )2,(9.28)Λгде Λ −→ 0, Λ −→ ∞ (см. [177]). При 2 ̸= 0 в выражениях (9.27)Λ→∞Λ→∞и (9.28) регуляризацию можно снять, после чего они совпадут (нужноучесть, что после снятия регуляризации знак в показателе экспонентыоказывается несущественным), а значит совпадут и соответствующие суперпропагаторы. При 2 ≈ 0, ̸= 0 в пределе снятия регуляризациилоренцев пропагатор ведет себя как)︂(︂2 2 2∆() ∼ − ln −( − 0) .4(9.29)Отсюда для лоренцева суперпропагатора, соединяющего вершины разныхтипов, получаем поведение в пределе снятия регуляризации при указанных :Δ()4−2 1∼−.2 2 − 0(9.30)Для лоренцева суперпропагатора −Δ() , соединяющего вершины одноготипа, поведение будет описываться правой частью (9.30) в степени −1.Для светоподобных суперпропагаторов при − ≈ 0, + ̸= 0 поведение совпадает с лоренцевыми, поскольку в этой области формулы (9.27)и (9.28) совпадают.
При + ≈ 0, − ̸= 0 поведение −Δ () по непрерыв244ности такое же, как и −Δ() , а Δ () ведет себя как обобщенная функция 1+ в смысле главного значения (это можно показать, оценив интегралот Δ () по малой области вокруг точки + = 0, см. [177]):Δ ()4−2∼−2(︂)︂11. +2− − 0 sign(+ )(9.31)Суммируя все вышесказанное, получаем−Δ() = −ΔΔ() − Δ()=−(),(9.32)2−2(+ ),2− | |(9.33)причем эти равенства верны в смысле обобщенных функций, действующих на классе основных функций, равных нулю при = 0 и имеющихноситель, ограниченный по − .
Если заменить предельные значения светоподобных суперпропагаторов ±Δ () на регуляризованные ±Δ () , торавенства (9.32), (9.33) останутся верными в пределе → 0, если упомянутый носитель имеет по − размер такой, что −→ 0.→0Теперь нужно добавить к гамильтониану на с.
ф. контрчлен, обеспечивающий исправление светоподобного суперпропагатора Δ () по формуле (9.33). В качестве соответствующего контрчлена к действию можновыбрать выражение−2 2 =2 2∫︁22(︁ : () −())︁: −1 ××(+ − + )(|− − − | − )((− − − )),|− − − |(9.34)куда включена произвольная, непрерывная, быстро убывающая функция(), удовлетворяющая условиям (0) = 1, * () = (−), и где с помощью параметра (который впервые был введен в формуле (9.24)) вырезана УФ особенность.Можно показать (см.
[177]), что такая добавка к действию эквивалентна (с точностью до поправок порядка ) добавлению величины2 −2 + (|− | − )− 2 ( )(− )−| |245(9.35)к каждому светоподобному суперпропагатору Δ () . Эта величина совпадает с правой частью (9.33) при действии на функции из описанногопосле (9.33) класса в пределе , → 0. Указанная эквивалентность доказывается с помощью преобразования выражения для произвольной функции Грина через суперпропагаторы. При этом существенна следующая из(9.27) оценка: −Δ () |+ =0 = ().Следует отметить, что наличие -функции по + в равенстве (9.33)и, как следствие, в формуле (9.34) обеспечивает локальность действияпо времени + и позволяет перейти от контрчлена (9.34) в действии кконтрчлену в гамильтониане на с.
ф.9.5Сравнение светоподобной и лоренцевойтеорий возмущенийРассмотрим светоподобную т. в. для функций Грина без вакуумныхпетель, порождаемую действием)︂(︂∫︁)︀1 (︀2 2*−2 − + : : + : : += 8∫︁(︁)︁2 −2 222() −() : : −1 ×+ 2 ||((− − − ))×(+ − + )(|− − − | − ). (9.36)|− − − |Это действие отличается от действия, соответствующего лагранжиану(9.3), заменой константы взаимодействия 2 на комплексный параметр и добавлением контрчлена, описанного в предыдущем пункте (с коэффициентом, связанным с также, как коэффициент в (9.34) с 2 ).Будем доказывать, что порождаемая действием (9.36) светоподобная т.
в. в пределе , → 0 во всех порядках эквивалентна лоренцковариантной. При этом величина зависит от , , , , и представляет собой ряд∞∑︁ = + .2=2246(9.37)При анализе т. в. удобно перейти от ее формулировки в терминах суперпропагаторов ±Δ() к "неполным" суперпропагаторам (±Δ() − 1). Вновых терминах каждая пара точек может соединяться или не соединяться соответствующим неполным суперпропагатором, причем рассматриваются только связные диаграммы.
Тем самым исключаются вакуумныеподдиаграммы, которые учитывались бы при использовании полных суперпропагаторов ±Δ() .Как уже говорилось в разделе 9.3, в обычной светоподобной т. в. существует класс диаграмм, всегда равных нулю – это диаграммы, все внешние линии которых присоединены к одной вершине. Будем называть этидиаграммы "обобщенный головастик" (или о.г.-диаграммы). В рассматриваемой теории ненулевые о.г.-диаграммы с некоторой точки зрения существуют: в соответствии с тем, что говорилось в разделе 9.4, наличиепоследнего слагаемого в (9.36) можно заменить добавлением к каждомусуперпропагатору (Δ () − 1) величины (9.35), после чего о.г.-диаграммаможет стать ненулевой.
Можно показать (см. подробности в работе [177]),что ненулевой становится только о.г.-диаграмма второго порядка с разными типами вершин (которая есть просто произведение двух вершинныхмножителей на суперпропагатор). В ее значение дает вклад только добавка (9.35), и он равен2|| ,где2−2=2∫︁− (|−| − )(− ).−| |(9.38)Эта о.г.-диаграмма может присоединяться или не присоединяться к каждой вершине. Поэтому ее учет можно заменить переопределением вершинных множителей: вместо и * считать вершинными множителямисуммы ( + ||2 ) и ( * + ||2 ).
Таким образом, порождаемая действием (9.36) светоподобная т. в. имеет вид набора диаграмм, состоящихиз неполных светоподобных суперпропагаторов с добавкой (для случаявершин разных типов) величины (9.35), причем эти диаграммы не содержат о.г.-поддиаграмм и имеют вершинные множители ( + ||2 ) и( * + ||2 ).В лоренц-ковариантной т. в. (порождаемой лагранжианом (9.3) с учетом промежуточной УФ регуляризации (9.24)) о.г.-диаграммы во всех порядках не равны нулю. Но, тем не менее, аналогичным образом рассуждая, можно заменить их учет переопределением вершинных множителей:247вместо 2 и 2 − считать вершинными множителями величины и* , где – это вычисленная в лоренцевых координатах сумма (во всехпорядках по , включая первый)∞∑︁ = +2(9.39)=2всех о.г.-диаграмм с внешними линиями, присоединенными к вершине 2 .
Используя результаты раздела 9.2, можно заключить, что при > 2величины конечны, а величина 2 расходится при → 0 или → 0(поскольку это сумма диаграмм второго порядка с фиксированным способом присоединения внешних линий), причем оказывается, что расходящаяся часть выделяется следующим образом (см. подробности в работе [177]):22 = + .4(9.40)Таким образом, регуляризованная по (9.24) лоренц-ковариантная т. в.
будет представлять собой набор диаграмм, состоящих из неполных лоренцевых суперпропагаторов, причем эти диаграммы не содержат о.г.поддиаграмм и имеют вершинные множители и * .В полученном виде светоподобную и лоренцеву т. в. удобно сравнивать. Прежде всего, потребуем равенства их вершинных множителей + ||2 = .(9.41)Далее, как показано в разделе 9.4, составляющие светоподобную т.
в.неполные светоподобные суперпропагаторы с добавкой (для случая вершин разных типов) величины (9.35) в пределе → 0 совпадают с составляющими лоренцеву т. в. неполными лоренцевыми суперпропагаторами вобласти конечных (в пределе → 0) − . Причем это верно и при |− | 6 вследствие регуляризации (9.24). Поэтому разница между светоподобнойи лоренцевой т. в. может возникнуть только за счет отличий в областибольших − ∼ 1 . Как можно увидеть из (9.27), для таких (и бо́льших) −светоподобный пропагатор остается конечным при любых + и , а значит, ряд (9.26) для светоподобного суперпропагатора можно оборвать, иостаток ряда будет мал равномерно по + и . Можно также показать, чтовклад добавок (9.35) в области больших − оказывается несущественным.248Для лоренцева суперпропагатора его аналитическое поведение (9.29) позволяет отвести контур интегрирования по + от особенности + = 0, азначит, можно снова оборвать ряд, и остаток ряда будет мал равномернопо + (а от зависимости нет).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
