Диссертация (1145422), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Поэтому для нахождения упомянутой разницы в рамках т. в. достаточно сравнить результаты вычисления"светоподобных" и обычных (вычисляемых в лоренцевых координатах)диаграмм.Как было показано в [8, 9], разница между результатами этих двухвычислений для любой конкретной диаграммы может быть записана ввиде суммы некоторых специальных диаграмм (названных конфигурациями исходной диаграммы), для каждой из которых удается сделать оценкув виде .
При этом являющаяся целым числом характеристика конфигурации определяется топологией конфигурации, а также поведениемразличных элементов диаграммной техники по отношению к растяжениюимпульсов. Очень важным оказывается то, что для многих теорий по мереусложнения диаграммы (т. е. при увеличении порядка т. в.) характеристика либо увеличивается, либо остается неизменной, причем в последнемслучае зависимость коэффициента перед от внешних импульсов оказывается одинаковой во всех порядках теории возмущений.202В результате для конкретной теории может оказаться возможным либодоказать, что > 0 для любых конфигураций всех диаграмм, что означает исчезновение изучаемой разницы в пределе снятия светоподобнойрегуляризации → 0, либо для конфигураций диаграмм какого-то видаможет оказаться = 0 и известна зависимость этих конфигураций отвнешних импульсов. В последнем случае изучаемая разница может бытьскомпенсирована добавлением к гамильтониану на с.
ф. определенныхконтрчленов с неизвестными коэффициентами. Эти коэффициенты можно, в принципе, найти точно в каком-то порядке, анализируя диаграммы конкретного порядка т. в., но если пытаться получить гамильтонианна с. ф., воспроизводящий обычную (т. е. соответствующую вычислениюдиаграмм в лоренцевых координатах) т. в.
во всех порядках, то указанныекоэффициенты, являющиеся суммой ряда, можно воспринимать толькокак неизвестные, которые можно пытаться определять из каких-то дополнительных соображений. Конечно, для каких-то теорий могут возникатьи конфигурации, для которых < 0, это обычно приводит к резкому увеличению числа необходимых контрчленов. Если это число оказываетсябесконечным – следует заключить, что провести "исправление" гамильтониана не удалось.Описанный метод "исправления" гамильтониана на с. ф. был успешноприменен к разным вариантам теории скалярного поля и модели Юкавыв работах [8, 9] и [148, 149].
В работах [9, 44] было также начато рассмотрение двумерной квантовой электродинамики в бозонизованной форме,также известной как массивная модель Швингера [150]. В предположении УФ конечности модели во всех порядках т. в. с использованием регуляризации Паули-Вилларса был построен "исправленный" гамильтонианана с. ф. теории в бозонных терминах. Дальнейшее исследование этой модели будет продолжено в главе 9.Для калибровочной теории при использовании простейшей УФ регуляризации применение метода приводит к необходимости добавления кканоническому гамильтониану на с. ф.
бесконечного числа контрчленов,т. е. "исправление" не удается [8]. Как было показано в работах [9, 45]ситуацию можно изменить с помощью введения специфической нестандартной регуляризации, похожей на регуляризацию Паули-Вилларса, приэтом, к сожалению, оказывается нарушенной калибровочная инвариантность. В процессе УФ перенормировки это приводит к появлению некоторого конечного числа контрчленов с неизвестными коэффициентами.203Предложенный в [9, 45] способ регуляризации можно применить дляквантовой электродинамики (КЭД), при этом плотность лагранжиана записывается в виде(︃(︂)︂ )︃2 2∑︁2+ −Λ1(−1) , 1 − ⊥2 +1+ℒ=−+4 =0,1ΛΛ223∑︁1 ¯¯ , ( − ) + +(8.13)=0∑︀3∑︀3где , = , − , , = ,0 + ,1 , =,=0=0 =√∑︀3∑︀32=0 ==0 = 0, 0 = 1, ± = (0 ± 3 )/ 2 и предполагается−, = 0, что соответствует выбору светоподобной калибровки.
В рамкахтакой регуляризации, действуя описанным выше методом удается доказать, что гамильтониан на с. ф. не требует "исправления", т. е. в расчетахможно использовать получающийся обычным квантованием в координатах с. ф. гамильтониан. При этом регуляризацию необходимо сниматьследующим образом (см. подробности в работе [45]): сначала → 0, потом → 0 (после чего будет восстановлена лоренц-инвариантность) итолько потом снятие УФ регуляризации 1,2,3 → ∞, Λ → ∞.Для УФ регуляризации фотонного поля в лагранжиане (8.13) использованы высшие производные, которые для КЭД не нарушают калибровочную инвариантность.
При построении канонического гамильтониана нас. ф. действие можно переписать в форме, не содержащей выше первыхпроизводных по светоподобному времени + . Для того чтобы в пределеснятия светоподобной регуляризации → 0 регуляризованная теория нетребовала "исправления" гамильтониана на с. ф., в (8.13) введены поляПаули-Вилларса для фермионов, в результате чего калибровочная инвариантность нарушается.
В общем случае для ее восстановления в пределе устремления к бесконечности масс 1,2,3 полей Паули-Вилларса (чтодолжно быть сделано обязательно после взятия пределов → 0, → 0,см. выше) необходимо вводить соответствующие контрчлены. Однако внекотором приближении необходимость их введения может исчезнуть.Поскольку при квантовании на с. ф. математический вакуум совпадает с физическим, можно предположить, что вектора соответствующего фоковского пространства с небольшим числом операторов рожденияявляются достаточно хорошим приближением к собственным векторам204гамильтониана на с. ф. и тогда можно ограничиться только подпространством этих векторов, совершив "обрывание" ("truncation" в англоязычнойлитературе) фоковского пространства.
В лоренцевых координатах такойподход называют приближением Тамма-Данкова [32, 33], но там он неявляется хорошим приближением из-за сложной структуры физическоговакуума. При квантовании же на с. ф. этот подход работает достаточнохорошо, он успешно использовался в работах [151–154].Для теории с плотностью лагранжиана (8.13) если выбрать "обрывание" фоковского пространства, запрещающее рождение пар, то это оказывается равнозначно отсутствию фермионных петель в т.
в. В таком приближении регуляризуемые полями Паули-Вилларса расходимости не возникают и можно предположить, что восстанавливающие калибровочнуюинвариантность контрчлены не нужны, следовательно можно при фиксированном значении Λ после взятия пределов → 0 и → 0 сразу взятьпредел 1,2,3 → ∞. Вычисления, проведенные в работе [136] подтверждают такое предположение, показывая, что в этом пределе результатыостаются конечными. Если же изменить "обрывание", включив состоянияфоковского пространства, допускающие рождение пар, то ситуация изменится и восстанавливающие калибровочную инвариантность контрчленыокажется необходимо включать.Построив гамильтониан на с. ф.
для теории (8.13) и, в соответствиис идеей "обрывания" фоковского пространства, рассмотрев его проекциюна подпространство, являющееся линейной комбинацией однофермионного состояния и состояния, содержащего один фермион и один фотон(см. детали в работе [136]), можно искать собственное число (определяющее физическую массу ) и собственный вектор этого "оборванного"гамильтониана на с. ф. численно. Возникающее уравнение на массу имеетвид20)︀ 2 (︀)︀ (︀2 + 20 + + 2 − 2 ,− =2(8.14)где – постоянная тонкой структуры, а величины , , – могут бытьвычислены при заданных 0 , и Λ (см. [136]). При больших Λ ониимеют асимптотики1 = ln Λ2 +.
. . ,40=−ln Λ2 +. . . ,22053 2=−ln Λ2 +. . . . (8.15)4Удерживая только эти главные члены уравнение (8.14) удается решить,получив соотношение20 = )︀ 3 (︀ )︀22 2lnΛ−lnΛ16 (︀ )︀ 1 (︀ )︀2 .1 + ln Λ2 + 4 ln Λ221 −12(︀ В низшем порядке по это дает)︂(︂3ln Λ2 ,20 = 2 1 −2(8.16)(8.17)что воспроизводит хорошо известный однопетлевой результат для собственной энергии электрона.В работе [136] был также численно найден собственный вектор "оборванного" гамильтониана на с. ф., приближенно описывающий состояние системы, и с его помощью вычислен аномальный магнитный моментэлектрона.
Полученный результат воспроизвел правильное значение, хотяи с довольно большой погрешностью, что не удивительно в связи с оченьгрубым "обрыванием" используемого фоковского пространства.В результате можно заключить, что проведенные непертурбативныерасчеты с "исправленным" гамильтонианом КЭД на с. ф. приводят к более или менее удовлетворительным результатам, что в какой-то степени подтверждает корректность описанного выше метода "исправления".Главной трудностью при работе с КЭД оказывается тот факт, что это четырехмерная теория, а значит очень сложно достаточно точно вычислитьспектр ее гамильтониана.
Выбранный в работе [136] способ вычисления сиспользованием "обрывания" фоковского пространства является не слишком точным. Ситуация резко упрощается при уменьшении числа измерений пространства-времени: для КЭД в (1+1)-мерном пространстве Минковского метод "исправления" гамильтониана на с. ф. дает возможностьпровести непертурбативное вычисление спектра масс теории с большойточностью, см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
