Диссертация (1145407), страница 26
Текст из файла (страница 26)
 ýòîì ðàçäåëå ìû ïðèâîäèì îäèí èç ãëàâíûõ ðåçóëüòàòîâíàñòîÿùåé ðàáîòû - òåîðèþ âëèÿíèÿ àçû ëàçåðíîãî èìïóëüñà íà êîíå÷íîåñîñòîÿíèå êâàíòîâîé ñèñòåìû.Ïîäõîä íà îñíîâå àíàëèçà óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà ñ ìíîãîìåðíûì âðåìåíåì îêàçàëñÿ ÷ðåçâû÷àéíî ïðîäóêòèâíûì: îí ïîçâîëèë íå òîëüêî äàòüîáúÿñíåíèå ýåêòîâ ÔÍÎ è êà÷åñòâåííî îïèñàòü óñëîâèÿ âîçíèêíîâåíèÿòàêèõ ýåêòîâ, íî òàêæå ïîðîæäàåò íîâûå òåîðåòè÷åñêèå ïîäõîäû äëÿðàññìîòðåíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ êâàíòîâûõ ñèñòåì ñ ëàçåðíûìè èìïóëüñàìè.Èäåÿ èñêóññòâåííîãî ðàñøèðåíèÿ ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì èùóòñÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ, çà ñ÷¼ò äîáàâëåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäûñ ïîñëåäóþùåé èõ ðåäóêöèåé äàâíî ïðèìåíÿåòñÿ â òåîðåòè÷åñêîé è ìàòå189ìàòè÷åñêîé èçèêå. Îäèí èç êëàññè÷åñêèõ ïðèìåðîâ - ðàáîòà Â.À.
Ôîêàïî àíàëèçó ñïåêòðà îïåðàòîðà îáîáù¼ííîãî óãëîâîãî ìîìåíòà äëÿ ñèñòåìûòð¼õ ÷àñòèö - îïåðàòîðà Ëàïëàñà-Áåëüòðàìè íà øåñòèìåðíîé ãèïåðñåðå.Ïåøêèí è Ìîèñååâ ïðåäëîæèëè èñïîëüçîâàòü òåõíèêó ðàñøèðåíèÿ íàáîðà âðåìåííûõ êîîðäèíàò äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïåðàòîðà ýâîëþöèè äëÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ íåñòàöèîíàðíûì ãàìèëüòîíèàíîì áåç èñïîëüçîâàíèÿt-óïîðÿäî÷åííîé îïåðàòîðíîé ýêñïîíåíòû. Ýòà òåõíèêà òàêæå øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ ïðè àíàëèçå ïîâåäåíèÿ êâàíòîâûõ ñèñòåì â ñòàöèîíàðíûõ ïîëèõðîìàòè÷åñêèõ ïîëÿõ.  ýòîì êîíòåêñòå îíà èñïîëüçóåòñÿ, êàê ïðàâèëî, ñöåëüþ ðàçäåëèòü âðåìåííûå øêàëû, îòâå÷àþùèå îòäåëüíûì ìîíîõðîìàòè÷åñêèì êîìïîíåíòàì êâàçèïåðèîäè÷åñêîãî ïîëèõðîìàòè÷åñêîãî ïîëÿ ñòåì, ÷òîáû ïðîâåñòè àíàëèç äèíàìèêè ñèñòåìû íà îñíîâå ðàçëîæåíèÿ ïîïåðèîäè÷åñêèì ìîäàì.Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ïîõîæóþ òåõíèêó.
Îäíàêî, îñíîâíîå îòëè÷èåíàøåãî ïîäõîäà â òîì, ÷òî ââåäåíèå äîïîëíèòåëüíûõ âðåìåííûõ êîîðäèíàòïîçâîëèò íàì ïðîâåñòè àíàëèç íå òîëüêî êâàçèïåðèîäè÷åñêèõ ïðîöåññîâ,êàê â ñëó÷àå áèõðîìàòè÷åñêèõ ïîëåé, ðàññìîòðåííûõ âî ìíîãèõ ïðåäøåñòâóþùèõ ðàáîòàõ [137, 138℄, íî è îäèíî÷íûõ èìïóëüñîâ. Ýòî ïîçâîëèò íàìïîñòðîèòü êîððåêòíóþ è, â òî æå âðåìÿ, èíòóèòèâíî ïîíÿòíóþ êàðòèíóèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ ñ êâàíòîâîé ñèñòåìîé ïðè âçàèìîäåéñòâèè ñ êîðîòêèìè ëàçåðíûìè èìïóëüñàìè.6.1Ôîðìàëèçì óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà ñ ìíîãîìåðíûì âðåìåíåìàññìîòðèì íåñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà ñ âðåìÿçàâèñÿùèì ïîòåíöèàëîìi∂Ψ = [H0 + V (t)]Ψ .∂t190(6.1)Çäåñü Ψ - âîëíîâàÿ óíêöèÿ, H0 - ãàìèëüòàíèàí ñèñòåìû ïðè îòñóòñòâèèâíåøíåãî ïîëÿ, V (t) - ïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ êâàíòîâîé ñèñòåìû ñîâíåøíèì ïîëåì, íàïðèìåð - ïîëåì ëàçåðíîãî èìïóëüñà.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïîòåíöèàëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó êâàíòîâîé ñèñòåìîé è âíåøíèìïîëåì â äèïîëüíîì ïðèáëèæåíèèV (t) = −E(t) · d cos(ωt + ϕ) .(6.2)Çäåñü E(t) - îãèáàþùàÿ ïîëÿ ëàçåðíîãî èìïóëüñà, d - îïåðàòîð äèïîëüíîãîâçàèìîäåéñòâèÿ, ω - íåñóùàÿ ÷àñòîòà è ϕ - àçà ìåæäó íåñóùåé è îãèáàþùåé (ÔÍÎ). Èññëåäîâàíèþ âëèÿíèÿ ýòîãî, ïîñëåäíåãî ïàðàìåòðà íàêîíå÷íîå ñîñòîÿíèå êâàíòîâîé ñèñòåìû è ïîñâÿùåíà äàííàÿ ãëàâà.Äàëåå, ïðèâåä¼ì êîðîòêîå îïèñàíèå îðìàëèçìà äâóìåðíîãî âðåìåíè[163℄, è ââåä¼ì ïðåäñòàâëåíèå äâóìåðíîãî âðåìåíè äëÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñïîëåì èìïóëüñíîãî ëàçåðà. Êàê îêàçàëîñü, ýòî ïðåäñòàâëåíèå ïîçâîëÿåòèñêëþ÷èòü ÔÍÎ ϕ èç óðàâíåíèÿ ýâîëþöèè è ïîñòðîèòü ðåøåíèå óðàâíåíèé, íå çàâèñÿùåå îò ÔÍÎ. åøåíèå æå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, çàâèñÿùåå îòÔÍÎ (6.2), ìîæåò áûòü âîññòàíîâëåíî èç ðåøåíèÿ, íå çàâèñÿùåãî îò àçû,ïðîñòûì óíèòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì.Ôîðìàëèçì äâóìåðíîãî âðåìåíè îêàçûâàåòñÿ î÷åíü ïîëåçåí â ðàññìîòðåíèè âðåìÿçàâèñÿùèõ ñèñòåì, äåìîíñòðèðóþùèõ êàê ïåðèîäè÷åñêîå, òàêè íåïåðèîäè÷åñêîå ïîâåäåíèå.
Ïðèìåðîì òàêîâûõ ìîæíî ñ÷èòàòü àòîìû èìîëåêóëû â ïîëå ëàçåðíîãî èìïóëüñà. Îäíî èç ïðåèìóùåñòâà òàêîãî îðìàëèçìà â òîì, ÷òî îí ïîçâîëÿåò ÿâíûì îáðàçîì îòäåëèòü ïåðèîäè÷åñêóþ÷àñòü äèíàìèêè îò íåïåðèîäè÷åñêîé, íå ïðèáåãàÿ ê àäèàáàòè÷åñêèì ðàçëîæåíèÿì, êîòîðûå ìîãóò ìåäëåííî ñõîäèòüñÿ äëÿ íåàäèàáàòè÷åñêèõ ñèñòåì.Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óäîáíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ â äâóìåðíîì âðåìåíè, ââåä¼ìâòîðîå âðåìÿ s òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âðåìåííûå çàâèñèìîñòè îãèáàþùåé èíåñóùåé â âûðàæåíèè äëÿ âçàèìîäåéñòâèÿ êâàíòîâîé ñèñòåìû ñ ëàçåðíûì191èìïóëüñîì (6.2) îïðåäåëÿëèñü ðàçíûìè âðåìåííûìè êîîðäèíàòàìèV (s, t) = −(E(s), d) cos(ωt + ϕ)(6.3)H(s, t) = H0 + V (s, t) .Ââåä¼ì òàêæå è äèíàìèêó ïî âòîðîìó âðåìåíè:(i∂∂+ i )Ψ(s, t) = (H0 + V (s, t; ϕ))Ψ(s, t) .∂s∂t(6.4)Íå òðóäíî çàìåòèòü, ÷òî åñëè íåêîòîðàÿ óíêöèÿ Ψ(s, t) óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþ (6.4), òî óíêöèÿ Ψ(t) = Ψ(s, t) |s=t áóäåò ðåøåíèåì íåñòàöè-îíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà (6.1.
Äåéñòâèòåëüíî, ñóæàÿ ðåøåíèå íàäèàãîíàëüíîå âðåìÿ s = t è ïîäñòàâëÿÿ â ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ= (6.1)ìû ïîëó÷èì ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (6.4)i∂∂∂Ψ(t, t) = (i + i )Ψ(s, t) |s=t∂t∂s∂t.Ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (6.1) è (6.4) ñîâïàäàþò ïðè s = t. Òàêèì îáðàçîì,êàê òîëüêî ïîëó÷åíî ëþáîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ äâóìåðíûì âðåìåíåì,òàê ñðàçó åìó â ñîîòâåòñòâèå ìîæåò áûòü ïîñòàâëåíî ðåøåíèå èñõîäíîãî íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà (6.1). Ïîäðîáíîå îáñóæäåíèåóðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà ñ äâóìåðíûì âðåìåíåì â êîíòåêñòå ÿâíîãî ïîñòðîåíèÿ ïðîïàãàòîðà êâàíòîâîé ñèñòåìû â ïåðèîäè÷åñêîì ïîëå ìîæíî íàéòèâ ðàáîòå Ïåøêèíà è Ìîèñååâà [163℄.6.2àçäåëåíèå âðåìåííûõ ìàñøòàáîâÅñëè äëèòåëüíîñòü ëàçåðíîãî èìïóëüñà íå îêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííî êîðî÷å ïåðèîäà îñöèëëÿöèé ïîëÿ 2π/ω , ëèáî äàæå ýòè ïåðèîäû îêàçûâàþòñÿñðàâíèìû, ðàçëîæåíèå âîëíîâîé óíêöèè Ψ(s, t) â ðÿä Ôóðüå ïî t ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðàçóìíûì ïîäõîäîì ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (6.4) [164℄.
Ôàêòè÷åñêè, òàêîé ïîäõîä ïðèìåíèì ðîâíî â òîé ñòåïåíè, â êîòîðîé îêàçûâàåòñÿ192îñìûñëåííûì îïèñàíèå ëàçåðíîãî èìïóëüñà â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ íåñóùåéíà îãèáàþùóþ [167℄. Äàëåå ìû áóäåì îáñóæäàòü èìïóëüñû äëèòåëüíîñòüþáîëüøå íåñêîëüêèõ ïåðèîäîâ îñöèëëÿöèé, ÷òî îïðàâäûâàåò òàêîé ïîäõîäê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (6.4). Îòìåòèì, ÷òî ïîäõîä îñòà¼òñÿ ïðèìåíèìûìè äëÿ ãîðàçäî áîëåå êîðîòêèõ èìïóëüñîâ, îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå ñêîðîñòüñõîäèìîñòè èñïîëüçóåìûõ íàìè â ïîñòðîåíèè ðàçëîæåíèé çàìåòíî óõóäøèòñÿ, è ïîëó÷àþùèåñÿ ìàòåìàòè÷åñêèå êîíñòðóêöèè ñòàíîâèòñÿ òðóäíååíàäåëèòü êàêèì-ëèáî èçè÷åñêèì ñìûñëîì.Êàê îòìå÷åíî âûøå, ëþáîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.4) ïîðîæäàåò íåêîòîðîå ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà.
 ñèëó åäèíñòâåííîñòèðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà, òàêîå ðåøåíèå áóäåò èçè÷åñêèì, åñëè îíî ïîñëå ñóæåíèÿ ê äèàãîíàëüíîìóâðåìåíè áóäåò óäîâëåòâîðÿòü íà÷àëüíûì óñëîâèÿì. Ýòî äà¼ò íàì ñâîáîäóâ ïîñòðîåíèè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ ñ äâóìåðíûì âðåìåíåì. Âîîáùå ãîâîðÿ,îäíîìó è òîìó æå èçè÷åñêîìó ðåøåíèþ ìîãóò îòâå÷àòü ðàçíûå ïðîîáðàçû ñðåäè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ ñ äâóìåðíûì âðåìåíåì, îäíàêî âñå îíè áóäóòýêâèâàëåíòíû.Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñ äâóìåðíûì âðåìåíåì â êëàññå óíêöèé, ïåðèîäè÷åñêèõ ïî t. Äëÿ ýòîãî áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ÔóðüåΨ(s, t) =∞Xeinωtφn (s) .(6.5)n=−∞Áóäåì íàçûâàòü êîýèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ φn (s) àìïëèòóäàìè nîòîííîé ýìèññèè (n > 0) ëèáî àáñîðáöèè (n < 0).∂Ïåðåíîñÿ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè i ∂tâ ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (6.4)ïîäñòàâëÿÿ ðàçëîæåíèå (6.5), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé áåñêîíå÷íîé ñèñòåìå193óðàâíåíèé íà àìïëèòóäû n-îòîííîãî îáìåíà∂i ∂sφn (s) =1 iϕ2 e (E(s), d)φn−1(s)+(H0 + nω) φn (s)+ 12 e−iϕ (E(s), d) φn+1(s).(6.6)n = −∞, .
. . , −1, 0, 1, . . . , ∞Ïîñòàâèì íà÷àëüíîå óñëîâèå, îòâå÷àþùåå èçè÷åñêîé âîëíîâîé óíêöèèíà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ψ0 â ìîìåíò âðåìåíè s = s−φ0 (s−) = ψ0φn (s− ) = 0n 6= 0è ïðîñëåäèì ýâîëþöèþ ñèñòåìû â òå÷åíèå äîñòàòî÷íî äëèòåëüíîãî âðåìåíè ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (6.6). Ïîëó÷åííîå ðåøåíèå ïîçâîëèò âîññòàíîâèòüèçè÷åñêóþ âîëíîâóþ óíêöèþ, è òåì ñàìûì èññëåäîâàòü ðàçëè÷íûå íàâåä¼ííûå ëàçåðíûì èìïóëüñîì ïðîöåññû, âêëþ÷àÿ äèññîöèàöèþ, èîíèçàöèþ,âîçáóæäåíèå, ðåëàêñàöèþ è ïð.Óäîáíî ââåñòè âåêòîð n-îòîííûõ àìïëèòóä Φ(s; ϕ) è ñîîòâåòñòâóþùèéãàìèëüòîíèàíH(s; ϕ) ≡ H0 + V(s; ϕ)ãäå H0 îòâå÷àåò äèàãîíàëüíîìó, à V(s; ϕ) âíåäèàãîíàëüíûì ÷ëåíàì â óðàâíåíèè (6.6).
Òàêîé ãàìèëüòîíèàí ìû ÷àñòî áóäåì, ñëåäóÿ óñòîÿâøåéñÿ òðàäèöèè, èìåíîâàòü ãàìèëüòîíèàíîì Ôëîêå, îäíàêî, â îòëè÷èå îò òðàäèöèîííîãî îïðåäåëåíèÿ, ïîäðàçóìåâàþùåãî ïåðèîäè÷íîñòü ëèáî êâàçèïåðèîäè÷íîñòü âçàèìîäåéñòâèÿ (áèõðîìàòè÷åñêîå ïîëå, íàïðèìåð), òàêîé ãàìèëüòîíèàí îêàçûâàåòñÿ âðåìÿçàâèñÿùèì. Óðàâíåíèå (6.6) â ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõçàïèñûâàåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäåi∂Φ(s; ϕ) = H(s; ϕ)Φ(s; ϕ) .∂s194Îáîçíà÷åíèÿ çäåñü ïîä÷åðêèâàþò, ÷òî è ãàìèëüòîíèàí, è ðåøåíèå çàâèñÿòîò àçû ìåæäó íåñóùåé è îãèáàþùåé ϕ. Ýòà çàâèñèìîñòü, îäíàêî, ïàðàìåòðè÷åñêàÿ, è ìîæåò áûòü ëåãêî èñêëþ÷åíà èç óðàâíåíèé.Î÷åâèäíîå ïðåèìóùåñòâî óðàâíåíèÿ (6.6) äëÿ èññëåäîâàíèÿ àçîâûõýåêòîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî çàâèñèìîñòü îò àçû âõîäèò â óðàâíåíèÿëèíåéíî. Êàê ìû óâèäèì, èìåííî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò èñêëþ÷èòüÔÍÎ èç ãàìèëüòîíèàíà ïðîñòûì óíèòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì.Ââåä¼ì ñëåäóþùèé îïåðàòîð U(ϕ), äåéñòâóþùèé â ïðîñòðàíñòâå àìïëèòóä n-îòîííîãî îáìåíà[U(ϕ)]mn = δmn e−inϕ .àññìîòðèì òåïåðü ãàìèëüòîíèàí H(0), ñîîòâåòñòâóþùèé àçå ϕ = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
