Диссертация (1145407), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëèì êàíàëüíûåóíêöèè ΨD+p (R, z, ρ) è ΨHD+ (R, z, ρ). àíàëèçå êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ. Ïîëíûå âåðîÿòíîñòè êàíàëîâ:ZPH+d = |ΨSH+d (ξ, z, ρ)|2 dξ dz dρ ,ZPD+p = |ΨSD+p (ξ, z, ρ)|2 dξ dz dρ ,ZPHD+ = |ΨSHD+ (ξ, z, ρ)|2 dξ dz dρ .(5.7)àñïðåäåëåíèå ðàãìåíòîâ ïî ýíåðãèè11dH+d (vR2µpd Es2E) ,µpd11dD+p (pD+p (E) = pvRvR 2µpd Es2E) ,µpdpH+d(E) =ãäåvRdH+d (ξ) =dD+p (ξ) =ZZp|ΨSH+d (ξ, z, ρ)|2 dz dρ ,|ΨSD+p (ξ, z, ρ)|2 dz dρ .158(5.8)5.1.3Âû÷èñëèòåëüíûé ìåòîäÏîñòðîåíèå ïðîïàãàòîðàåøåíèÿ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà ìîãóò áûòü íàéäåíûìíîãîêðàòíûì ïðèìåíåíèåì ïðîïàãàòîðà, îòâå÷àþùåãî ìàëîìó âðåìåííîìó ïðîìåæóòêóδψ(t + δ) ≈ e−i[T +V (t+ 2 )]δ ψ(t) + O(δ 3 )(5.9)êîòîðûé âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ îðìóëû ðàñùåïëåíèÿ îïåðàòîðîâδδe−i(A+B)δ = e−iA 2 e−iBδ e−iA 2 + O(δ 3 ).Îïåðàòîðíûå ýêñïîíåíòû âû÷èñëèì, èñïîëüçóÿ ìåòîä Êðýíêà-Íèêîëñîíà,îòâå÷àþùèé ïðîñòåéøåìó Ïàäå-àïïðîêñèìàíòó ýêñïîíåíòû [154℄:δδUA (δ) = (1 + iA )−1(1 − iA ) = e−iAδ + O(δ 3 ).22(5.10)Äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ øàãîâ ïî âðåìåíè δ , îïåðàòîð ýâîëþöèè ìîæåò áûòüâû÷èñëåí ñ íåîáõîäèìîé òî÷íîñòüþ.
Îòìåòèì, ÷òî âñå èñïîëüçóåìûå ïðèáëèæåííûå îðìóëû âåðíû ñ òî÷íîñòüþ äî O(δ 3 ), è âñå èñïîëüçîâàííûåïðèáëèæåííûå ïðîïàãàòîðû óíèòàðíû.×òîáû ïîñòðîèòü îïåðàòîð ýâîëþöèè äëÿ ìîäåëüíîé òð¼õìåðíîé ñèñòåìû, ðàçäåëèì îïåðàòîðû êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî îïåðàòîðû Tξ , Tρ and Tz , äàþùèå â ñóììå îïåðàòîðêèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, êîììóòèðóþò.  ðåçóëüòàòå, ïîëó÷èì ñëåäóþùèéïðèáëèæåííûé îïåðàòîð ýâîëþöèèδδU (t + δ, t) = UV ( ; t)UTξ (δ)UTρ (δ)UTz (δ)UV ( ; t).22(5.11)Ñõåìà äèñêðåòèçàöèè îïåðàòîðîâ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè [155℄ îáåñïå÷èâàåòýðìèòîâîñòü îïåðàòîðà íà íåðàâíîìåðíûõ ñåòêàõ.
Îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè V âêëþ÷àåò âñå ïîòåíöèàëû è äîïîëíèòåëüíûé ïîãëîùàþùèé159ïîòåíöèàë VA , îáåñïå÷èâàþùèé îòñóòñòâèå èíòåðåðåíöèè ìåæäó èçè÷åñêîé âîëíîâîé óíêöèåé è îòðàæåííûìè îò ãðàíèö ñåòêè âîëíàìè ýëåêòðîíîâ, ïîêèäàþùèõ ñèñòåìóδV = V0 + W (t + ) + VA .2Óðàâíåíèå (5.11) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ âû÷èñëåíèé, íî íåêîòîðîå äîïîëíèòåëüíîå óñêîðåíèå âû÷èñëåíèé ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî çà ñ÷¼òáîëåå àêêóðàòíîãî ó÷¼òà âðåìåííûõ ìàñøòàáîâ, ïðèñóòñòâóþùèõ â ñèñòåìå. Çàìåòèì, ÷òî îïåðàòîð ýâîëþöèè ìîæåò áûòü ïåðåïèñàí òàê, ÷òîáû èñïîëüçîâàòü ðàçíûå øàãè ïî âðåìåíè äëÿ ÿäåðíûõ è ýëåêòðîííûõ ñòåïåíåépñâîáîäû. Ìîæíî ãðóáî îöåíèòü îòíîøåíèå òàêèõ øàãîâ êàê N = µpd /µe ,ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëÿåòñÿ ìåæäóÿäåðíûìè è ýëåêòðîííûìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Òàêîé ìîäèèöèðîâàííûéîïåðàòîð ýâîëþöèè ïðèíèìàåò âèäU (t + δ, t) = UTξ ( 2δ )QδδδδU(× N;t)U()U()U(;t)ViTTViρ Nz Ni=12N2N(5.12)×UTξ ( 2δ ) .Ýëåêòðîííûå ñòåïåíè ñâîáîäû, òàêèì îáðàçîì, èñïûòûâàþò îáíîâëåíèå âN ðàç ÷àùå, íåæåëè ÷åì ÿäåðíûå. Ïðèâåä¼ííàÿ âûøå ãðóáàÿ îöåíêà äà¼òâåëè÷èíó N ≈ 35. Íà ïðàêòèêå, îäíàêî, âåëè÷èíà N ≈ 10 îêàçûâàåòñÿïðåäïî÷òèòåëüíîé. Ïðè N =10, äåéñòâèå îïåðàòîðà (5.12) òðåáóåò íà 20%25% ìåíüøå âû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé, ÷åì ïðè èñïîëüçîâàíèè îïåðàòîðà (5.11).
 ïðåäåëå áîëüøèõ çíà÷åíèé N , ìîæíî áûëî áû ðàññ÷èòûâàòüïðèáëèçèòåëüíî íà 30%-å óñêîðåíèå.Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿÄëÿ öåëåé èññëåäîâàíèÿ íàáëþäàåìîñòè àçîâûõ ýåêòîâ â ðàìêàõ îïèñàííîãî ðåàëèñòè÷åñêîãî ñöåíàðèÿ, íåîáõîäèìî ïðîâåñòè ñåðèè âû÷èñëå160íèé, îòâå÷àþùèå ýâîëþöèè ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ âèáðàöèîííûõ ñîñòîÿíèé ìîëåêóëÿðíîãî èîíà.
Ýòè ñîñòîÿíèÿ, òàêèì îáðàçîì, äîëæíû áûòü ÿâíûì îáðàçîì âû÷èñëåíû. Ïî ýòîé ïðè÷èíå îêàçûâàåòñÿ âàæíûì íàó÷èòüñÿýåêòèâíî âû÷èñëÿòü ñîáñòâåííûå óíêöèè ãàìèëüòîíèàíà ñèñòåìû, èñïîëüçóÿ ìèíèìóì âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ.  ýòîì ðàçäåëå ìû îáñóäèìèñêëþ÷èòåëüíî âûñîêîýåêòèâíûé ïîäõîä, îñíîâàííûé, ñ îäíîé ñòîðîíû,íà õîðîøî èçâåñòíîì ìåòîäå ýâîëþöèè ïî ìíèìîìó âðåìåíè, íî ñ äðóãîéñòîðîíû, ïîçâîëÿþùèé ïåðåîñìûñëèòü ýòîò ïîäõîä äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáùèõâûñîêîýåêòèâíûõ ìåòîäîâ âû÷èñëåíèÿ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé.Õîòÿ ýâîëþöèÿ ïî ìíèìîìó âðåìåíè øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýíåðãèé âîçáóæä¼ííûõ ñîñòîÿíèé, êàê íàïðèìåð â ìíîãî÷àñòè÷íûõðàñ÷¼òàõ ïî ìåòîäó Ìîíòå-Êàðëî [158℄, ïîñòðîåíèå âîëíîâûõ óíêöèé âîçáóæä¼ííûõ ñîñòîÿíèé ýòèì ìåòîäîì ïðàêòè÷åñêè íå èçâåñòíî.
Îäèí èç ñïîñîáîâ ïîëó÷åíèÿ âîëíîâûõ óíêöèé âîçáóæä¼ííûõ ñîñòîÿíèé ñîñòîèò âïðèìåíåíèè ýâîëþöèè ïî ìíèìîìó âðåìåíè ñîâìåñòíî ñ ïåðèîäè÷åñêîé îðòîãîíàëèçàöèåé ê óæå âû÷èñëåííûì âîëíîâûì óíêöèÿì.  ÷àñòíîñòè, âðàáîòå [159℄ áûëî ïðåäëîæåíî ïðèìåíÿòü ïðîïàãàòîð ïî ìíèìîìó âðåìåíèè îðòîãîíàëèçàöèþ îäíîâðåìåííî ê íåñêîëüêèì ñîñòîÿíèÿì. àññìîòðèìñïîñîáû ïîâûøåíèÿ ýåêòèâíîñòè òàêîãî ïîäõîäà.Ïóñòü H äèñêðåòèçîâàííûé ãàìèëüòîíèàí, En åãî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, à |ni ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå âåêòîðà.
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü,÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ óïîðÿäî÷åíû: E1 < E2 < . . . < En. àññìîòðèìïðîïàãàòîð ïî ìíèìîìó âðåìåíèUδ = e−Hδ .Î÷åâèäíî, ÷òî [Uδ , H] = 0 è ñîáñòâåííûå âåêòîðà îïåðàòîðîâ Uδ è H ñîâïàäàþò. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λk îïåðàòîðà Uδ ñâÿçàíû ñ ñîáñòâåííûìèýíåðãèÿìè êàê λk = e−Ek δ .
Òàêèì îáðàçîì, ïðîïàãàòîð ïî ìíèìîìó âðå161ìåíè îòîáðàæàåò íàèìåíüøèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà H â íàèáîëüøèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ Uδ . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïîèñêà íàèìåíüøèõñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðàH ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ëþáîé ìåòîä ïîèñêà íàèáîëüøèõ ñîáñòâåííûõçíà÷åíèé.
Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ, òðàäèöèîííûé ìåòîä ýâîëþöèè ïî ìíèìîìó âðåìåíè îòâå÷àåò ìåòîäó ïðîñòûõ èòåðàöèé [157℄ ñ îöåíêîé ñõîäèìîñòèäëÿ óíêöèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ íà n-òîì øàãå àëãîðèòìà O((λ2 /λ1 )n)èëè O(e−(E2 −E1 )nδ ), ãäå δ âðåìåííîé øàã àëãîðèòìà è n ÷èñëî øàãîâ.Çàìåòèì, ÷òî ìåòîä, îïèñàííûé â ðàáîòå [159℄ îòâå÷àåò îáû÷íîìó ìåòîäóèòåðèðîâàíèÿ ïîäïðîñòðàíñòâà.  òî æå âðåìÿ, äëÿ ïîèñêà ãðóïïû ìàêñèìàëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, õîðîøî îòäåë¼ííûõ îò îñòàëüíîé ÷àñòèñïåêòðà, ïðåêðàñíî ïîäõîäèò àëãîðèòì Àðíîëüäè [157℄. Êðîìå âîçìîæíîñòè îäíîâðåìåííîãî âû÷èñëåíèÿ íåñêîëüêèõ ñîáñòâåííûõ ïàð, îí òàêæå ãàðàíòèðóåò áîëåå âûñîêóþ ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ äâóõìàêñèìàëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé Uδ |λ1 − λ2 | ≪ |λ2 |, ïîãðåøíîñòü ñîá-ñòâåííîãî âåêòîðà äëÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ìîæíî îöåíèòü êàê (ñì.[157℄)√√−2n (E2 −E1 )δ−2n (λ1 −λ2 )/λ2) ≈ O(e), ÷òî ñóùåñòâåííî ëó÷øå, ÷åì îöåíêàO(eäëÿ òðàäèöèîííîãî ìåòîäà ýâîëþöèè ïî ìíèìîìó âðåìåíè.Ïðèâåä¼ííûå âûøå îöåíêè îñíîâàíû íà ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî îïåðàòîðýâîëþöèè ìîæåò áûòü âû÷èñëåí òî÷íî.
 ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷¼òàõ, îäíàêî, ðàçóìíî èñïîëüçîâàòü íåêîòîðûé ïðèáëèæåííûé îïåðàòîð ýâîëþöèè,äîïóñêàþùèé âûñîêîýåêòèâíîå âû÷èñëåíèå. Ïðèìåð òàêîãî îïåðàòîðàýâîëþöèè, êîòîðûé ëåãêî îáîáùàåòñÿ äëÿ øèðîêîãî êëàññà èçè÷åñêèõ ñèñòåì, ïðèâåäåí â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå (ñì. óðàâíåíèå (5.12)). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äèñêðåòèçîâàííûé ãàìèëüòîíèàí çàäàí íà ñåòêå, ïðåäñòàâëÿþùåéñîáîé ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ñåòîê ïî îòäåëüíûì êîîðäèíàòàì, è ñîäåðæàùèì, ñîîòâåòñòâåííî, NR , Nρ è Nz òî÷åê.
Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî êàæäûé162÷ëåí, äàþùèé âêëàä â êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ, ïðåäñòàâëÿåòñÿ ëåíòî÷íîéìàòðèöåé, øèðèíà ëåíòû êîòîðîé íå çàâèñèò îò ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà. ýòîì ñëó÷àå âû÷èñëåíèå Ïàäå-àïïðîêñèìàíòà îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ýêñïîíåíò òðåáóåò ëèøü O(Ni ) îïåðàöèé. Çàìåòèì, êðîìå òîãî, ÷òî îïåðàòîðýâîëþöèè (5.12) èìååò ñòðóêòóðó òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, è ïîòîìó åãîäåéñòâèå òðåáóåò ëèøü O(NR NρNz ) àðèìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé è äîïóñêàåò ýåêòèâíóþ ïàðàëëåëèçàöèþ.
Ýòó îöåíêó ìîæíî ñðàâíèòü ñî âðåìåíåì âû÷èñëåíèÿ ðåçîëüâåíòû îò îïåðàòîðà H , òðåáóþùåéñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ âîçáóæä¼ííûõ ñîñòîÿíèé ìåòîäîì îáðàòíûõ èòåðàöèé ñî ñäâèãîì O(NR3 Nρ3 Nz3 ).Òàêèì îáðàçîì, êîìáèíàöèÿ ìåòîäà Àðíîëüäè ñ ýâîëþöèåé ïî ìíèìîìó âðåìåíè ïðèâîäèò ê îäíîìó èç ñàìûõ ýåêòèâíûõ íà ñåãîäíÿøíèéäåíü àëãîðèòìîâ âû÷èñëåíèÿ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé â êâàíòîâûõ ñèñòåìàõ,çàäàííûõ íàä êîíèãóðàöèîííûìè ïðîñòðàíñòâàìè íåáîëüøèõ ðàçìåðíîñòåé.
(Çàäà÷à õîðîøåãî ÷èñëåííîãî îïèñàíèÿ ìíîãîìåðíûõ êâàíòîâûõ ñèñòåì îñòà¼òñÿ íà ñåãîäíÿøíèé äåíü íåðåø¼ííîé).Ïðèâåä¼ì ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ýíåðãèé âèáðàöèîííûõ ñîñòîÿíèé ìîëåêóëÿðíîãî èîíà, èñïîëüçóåìûå äàëåå äëÿ îöåíêè íàáëþäàåìîñòè àçîâûõýåêòîâ, â òàáëèöå 5.1. Äëÿ ñðàâíåíèÿ òàêæå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû òî÷íûõ ìíîãîêàíàëüíûõ âû÷èñëåíèé ýíåðãèé ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé èîíà HD+èç ðàáîòû [156℄.
àçíèöà ìåæäó çíà÷åíèÿìè, ïîëó÷åííûìè â íàøåé ãðóáîéìîäåëè è ðåçóëüòàòàìè ïðåöèçèîííûõ ðàñ÷¼òîâ íå ïðåâûøàåò 0.2%, ÷òîìîæíî ñ÷èòàòü î÷åíü õîðîøèì ñîãëàñèåì.163Òàáëèöà 5.1: Ýíåðãèè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé äëÿ ïåðâûõ äåñÿòè óðîâíåéHD+ , èñïîëüçîâàííûå â äàííîé ðàáîòå â ñðàâíåíèè ñ îáðàçöîâûìè ðàñ÷¼òàìè èç ðàáîòû [156℄.v[156℄This work Relative dierene0 0.598030.597230.13%1 0.589320.588640.11%2 0.581040.580030.17%3 0.573190.572520.12%4 0.565750.565320.08%5 0.558710.558230.09%6 0.552070.551580.09%7 0.545820.545340.09%8 0.539960.539370.11%9 0.534470.533960.10%1645.2Îöåíêà íàáëþäàåìîñòè àçîâûõ ýåêòîâ â äèññîöèàöèèïðîñòûõ ìîëåêóëÍà îñíîâå îïèñàííûõ âûøå ìåòîäîâ, ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå èîíèçàöèè èäèññîöèàöèè íåñêîëüêèõ (v = 0 . .
. 9) âèáðàöèîííûõ ñîñòîÿíèé ìîäåëüíîãî ìîëåêóëÿðíîãî èîíà HD+ â êîðîòêîì ëàçåðíîì èìïóëüñå. Äëèíà âîëíûíåñóùåé λ = 790 nm âûáðàíà â ñîîòâåòñòâèè ñ ïàðàìåòðàìè ñóùåñòâóþùèõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ óñòàíîâîê, èñïîëüçîâàëñÿ ãàóññîâñêèé ïðîèëüîãèáàþùåé ñ ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ èìïóëüñà 7.1 fs (ïîëíàÿ äëèòåëüíîñòüíà óðîâíå ïîëîâèííîé èíòåíñèâíîñòè). Âû÷èñëåíèÿ áûëè âûïîëíåíû äëÿíàáîðà èíòåíñèâíîñòåé I0 = 0.5, 0.8, 1.0, 2.0, 4.0, 7.0× 1014 W/m2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
