Диссертация (1145407), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Äðóãîå âàæíîå ñâîéñòâî òåõíèêè ñêàëèðîâàííûõ êîîðäèíàò, êîòîðîå ìû çäåñüîáñóäèì ïîäðîáíåå ýòî âîçìîæíîñòü íàïðÿìóþ ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèåñêîðîñòåé èç óíêöèè ïëîòíîñòè êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ, íå ïðèáåãàÿ, íàïðèìåð, ê êàêèì-ëèáî èíòåãðàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì âîëíîâîé óíêöèè. Áîëåå òîãî, îòñóòñòâóåò íåîáõîäèìîñòü â çíàíèè óíêöèè ïëîòíîñòè âî âñ¼ìêîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå, ïîñêîëüêó âñå êîîðäèíàòû, îòâå÷àþùèåâíóòðåííèì ñòåïåíÿì ñâîáîäû ðàãìåíòîâ ñèñòåìû â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè,ìîãóò áûòü çàèíòåãðèðîâàíû.  ñîâîêóïíîñòè, ýòè îñîáåííîñòè äåëàþò òåõíèêó ñêàëèðîâàííûõ êîîðäèíàò èñêëþ÷èòåëüíî ïðèâëåêàòåëüíîé äëÿ ðà127áîòû ñ ñèñòåìàìè ñ íåñêîëüêèìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.4.1Êâàíòîâàÿ ñèñòåìà â ñêàëèðîâàííûõ êîîðäèíàòàõ ýòîì ðàçäåëå ðàññìîòðèì îñíîâû òåõíèêè ñêàëèðîâàííûõ êîîðäèíàò èïðîäåìîíñòðèðóåì íåêîòîðûå âàæíûå àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà ñêàëèðîâàííîé âîëíîâîé óíêöèè.
Ïîäõîä áóäåò ïðîèëëþñòðèðîâàí ðàñ÷¼òàìèäèññîöèàöèè ìîëåêóë íà ïðèìåðàõ íåêîòîðûõ ìîäåëüíûõ ñèñòåì. Ìû óâèäèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ðàãìåíòîâ ïî èìïóëüñàì ìîæåò áûòü íàïðÿìóþïîëó÷åíî èç óíêöèè ïëîòíîñòè â ñêàëèðîâàííîì êîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå, îáñóäèì óëó÷øåíèå òî÷íîñòè ðàñ÷¼òîâ çà ñ÷¼ò ïåðåõîäà â ñêàëèðîâàííûå êîîðäèíàòû, ðàññìîòðèì äâóõ- è òð¼õ-ìåðíûå ìîäåëè îòîðàñùåïëåíèÿ ìîëåêóëÿðíîãî èîíà HD+ .àññìîòðèì ÷àñòèöó ìàññû m â îäíîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, îïèñûâàåìîì êîîðäèíàòîé x, âî âíåøíåì ïîòåíöèàëå V (x, t). Âîëîíîâàÿ óíêöèÿóäîâëåòâîðÿåò íåñòàöèîíàðíîìó óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà1 ∂2∂+ V (x, t) Ψ(x, t) .i Ψ(x, t) = −∂t2m ∂x2(4.1)Ïåðåõîä ê ñêàëèðîâàííûì êîîðäèíàòàì îáåñïå÷èâàåòñÿ âðåìÿ-çàâèñÿùåéçàìåíîé ïåðåìåííûõ(4.2)x = R(t)ξè ïðåîáðàçîâàíèåì âîëíîâîé óíêöèèΨS (ξ, t) =√m2Re−i 2 RṘξ Ψ(Rξ, t) ,(4.3)ãäå òî÷êà îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè.
Ñêàëèðîâàííàÿ âîëíîâàÿóíêöèÿ ΨS óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó ìîäèèöèðîâàííîìó óðàâíåíèþ128Øðåäèíãåðà∂ S11 ∂2i Ψ (ξ, t) = −+ V (Rξ, t) + mRR̈ξ 2 ΨS (ξ, t) .22∂t2mR ∂ξ2(4.4)Êàê ìû óâèäèì äàëåå, ÷èñëåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.4), êîòîðîå âûãëÿäèò ëèøü ÷óòü ñëîæíåå èñõîäíîãî, íå òîëüêî íå òðåáóåò äîïîëíèòåëüíûõâû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò,ïî ñðàâíåíèþ ñ óðàâíåíèåì (4.1), íî è ïîçâîëÿåòñýêîíîìèòü âû÷èñëèòåëüíûå ðåñóðñû.
Îäíàêî, ó íåãî åñòü äâà ñâîéñòâà, êîòîðûå íåîáõîäèìî ïðèíÿòü âî âíèìàíèå: äîïîëíèòåëüíûé âðåìÿ-çàâèñÿùèéïîòåíöèàë 12 mRR̈ξ 2 è ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ, ñæèìàþùèåñÿ â ñêàëèðîâàííîìïðîñòðàíñòâå ïðè ðîñòå R. Äëÿ îáëåã÷åíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñ ó÷¼òîìýòèõ ñâîéñòâ, ñëåäóåò âûáðàòü ñêàëèðóþùóþ óíêöèþ R(t) ñ ãëàäêîé èïëàâíî ìåíÿþùåéñÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ñ òåì, ÷òîáû íå ñîçäàâàòü â ñèñòåìå äîïîëíèòåëüíûõ, íåèçè÷åñêèõ âðåìåííûõ ìàñøòàáîâ. Ïðàêòè÷åñêèõîðîøèì âûáîðîì ñêàëèðóþùåé óíêöèè ìîæíî ñ÷èòàòü1, t < t0,R(t) = 1 + v 4 (t − t )4 1/4 , t ≥ t0x(4.5)0ãäå vx - àñèìïòîòè÷åñêèé ìàñøòàáíûé êîýèöèåíò, èìåþùèé ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè, è t0 - âðåìÿ âêëþ÷åíèÿ ìàñøòàáèðîâàíèÿ êîîðäèíàò.
Âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ýòîé óíêöèè íåïðåðûâíà, ÷òî îáåñïå÷èâàåò ïëàâíîåâêëþ÷åíèå äîïîëíèòåëüíîãî, íåèçè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà, ñâÿçàííîãî ñ ìàñøòàáíûì ïðåîáðàçîâàíèåì. Ýåêò ñæàòèÿ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ìîæíîîò÷àñòè êîìïåíñèðîâàòü, ââåäÿ ñèëüíî íåðàâíîìåðíóþ ñåòêó, ñ ïëîòíîñòüþáûñòðî ðàñòóùåé â ñîîòâåòñòâóþùèõ îáëàñòÿõ êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà.Íà áîëüøèõ âðåìåíàõ ñêàëèðóþùàÿ óíêöèÿ âåä¼ò ñåáÿ êàê R(t) → vx t,÷òî îáåñïå÷èâàåò íåêîòîðûå âàæíûå àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà ΨS .
Êàêáûëî ïîêàçàíî â ðàáîòå [104℄, íàïðèìåð, ñêàëèðîâàííàÿ âîëíîâàÿ óíêöèÿ129íå îñöèëëèðóåò ñòîëü ñèëüíî â ïðîñòðàíñòâå, êàê èçè÷åñêàÿ, ÷òî ñóùåñòâåííî îáëåã÷àåò å¼ ÷èñëåííóþ àïïðîêñèìàöèþ.  ÷àñòíîñòè, áûëî ïîêàçàíî, ÷òî íà áîëüøèõ âðåìåíàõ ãàóññîâñêèé âîëíîâîé ïàêåò ñòàíîâèòñÿñòàöèîíàðíûìè â ñêàëèðîâàííûõ êîîðäèíàòàõ.
Ïðåäñòàâèì çäåñü âàæíîåîáîáùåíèå ýòîãî ðåçóëüòàòà.àññìîòðèì èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ âîëíîâîé óíêöèèZ ∞1Ψ̃(p, t) = √dxe−ipxΨ(x, t) .2π −∞(4.6)Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå ìåæäó êîîðäèíàòíîé âîëíîâîé óíêöèåé â ñêàëèðîâàííûõ è èçè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ (4.3) è îöåíèâàÿ èíòåãðàë â (4.6) ñïîìîùüþ ïðèáëèæåíèÿ ñòàöèîíàðíîé àçû [116℄ â ïðåäïîëîæåíèè R(t) ≈vx t, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó ñîîòíîøåíèþ äëÿ âîëíîâîé óíêöèè â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèèp2π1pei 2m t ΨS (, t) + O((mvx2 t)−3/2) .Ψ̃(p, t) = e−i 4 √mvxmvx(4.7)Ýòà îðìóëà ïîêàçûâàåò, ÷òî íà áîëüøèõ âðåìåíàõ âîëíîâàÿ óíêöèÿ âñêàëèðîâàííûõ êîîðäèíàòàõ ñòàíîâèòñÿ ñòàöèîíàðíîé, ïðèáëèæàÿñü ê âîëíîâîé óíêöèè â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè ñ òî÷íîñòüþ äî àçû.
Êèíåòè2pi 2mt÷åñêèé àêòîð eâêëþ÷àåò âñþ ÿâíóþ çàâèñèìîñòü âîëíîâîé óíêöèèâ èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè îò âðåìåíè, ÷òî îáåñïå÷èâàåò ñòàöèîíàðíîñòüñêàëèðîâàííîé âîëíîâîé óíêöèè.Òàêèì îáðàçîì, îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ïîëó÷èòü ðàñïðåäåëåíèå ïîèìïóëüñàì íàïðÿìóþ èç ñêàëèðîâàííîé êîðäèíàòíîé óíêöèè ïëîòíîñòè,íå ïðèáåãàÿ ê ïðåîáðàçîâàíèþ Ôóðüå âîëíîâîé óíêöèè. Ïîõîæåå íàáëþäåíèå äåëàëîñòü òàêæå â ðàáîòàõ [114, 115℄.  ÷àñòíîñòè, óðàâíåíèå (48) èçðàáîòû [115℄ ïîëó÷àåòñÿ êàê ñëåäñòâèå óðàâíåíèé (4.7) è (4.3).Ñîîòíîøåíèå (4.7) òàêæå óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ñêàëèðîâàííîé âîëíîâîé óíêöèè ê ñòàöèîíàðíîìó ñîñòîÿíèþ îïðåäåëÿåòñÿ130àñèìïòîòè÷åñêèì ìàñøòàáíûì êîýèöèåíòîì vx , è ÷åì áûñòðåå ðàñò¼òR(t), òåì áûñòðåå ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ â ñêàëèðîâàííûõ êîîðäèíàòàõñõîäèòñÿ ê ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ â èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå.
Ýòî íàáëþäåíèå ïðîèëëþñòðèðîâàíî íà ðèñóíêå 4.1 ñ ïîìîùüþ äâóõ òåñòîâûõïðèìåðîâ: ñâîáîäíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ íåêîòîðîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ(ñëåâà) è ìîäåëè òÿæåëîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû (m = 150 me ), ñâÿçàííîéêîðîòêîäåéñòâóþùèì ïîòåíöèàëîì è ïîäâåðãíóòîé âîçäåéñòâèþ êîðîòêèìñèëüíûì ëàçåðíûì èìïóëüñîì (ñïðàâà). àñïðåäåëåíèå ïî èìïóëüñàì, âû÷èñëåííîå äëÿ ðàçëè÷íûõ âðåì¼í ðàñïðîñòðàíåíèÿ, ïîêàçàíî ñîâìåñòíî ññîîòâåòñòâóþùèì ðàñïðåäåëåíèÿìè, ïîëó÷åííûìè èç ñêàëèðîâàííîé óíêöèè ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (4.7).
Äëÿ ñëó÷àÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö (ðèñóíîê 4.1,ñëåâà), íà÷àëüíîå ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïðåäåëåíèå èçîáðàæåíî ñïëîøíûìè ëèíèÿìè ïðè t = 0 è ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ïîëîæåíà ðàâíîé íóëþ. Ïîñêîëüêó âñÿçàííûõ ñîñòîÿíèé íåò, íåò è îãðàíè÷åíèé íà âåëè÷èíó vx . Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî âûáðàòü áîëüøó âåëè÷èíó vx ÷òîáû îáåñïå÷èòü áûñòðóþ ñõîäèìîñòü ñêàëèðîâàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ê ðàñïðåäåëåíèþ ïî èìïóëüñàì. Âî âòîðîì ñëó÷àå (ðèñóíîê 4.1, ñïðàâà), êîðîòêîäåéñòâóþùèé ïîòåíöèàë ïîääåðæèâàåò îäíî ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå.
Çàòåì ñèñòåìà ïîäâåðãàåòñÿ âîçäåéñòâèþ êîðîòêîãî ñèëüíîãî ëàçåðíîãî èìïóëüñà ïîäîáíî ðàññìàòðèâàåìîé íèæå îòîäèññîöèèðóþùåé ìîëåêóëÿðíîé ñèñòåìå.  ýòîìñëó÷àå ñêàëèðóþùàÿ óíêöèÿ è ñåòêà äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü íåñêîëüêèìèçè÷åñêèì óñëîâèÿì: 1) ñåòêà äîëæíà ïîçâîëÿòü òî÷íî âîñïðîèçâîäèòüñâÿçàííîå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû â òå÷åíèå âñåãî ìîäåëèðóåìîãî ïðîìåæóòêàâðåìåíè; 2) ïðîìåæóòîê âðåìåíè äîëæåí áûòü äîñòàòî÷íî ïðîäîëæèòåëåí äëÿ ñòàáèëèçàöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî èìïóëüñàì â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèèòàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ðàãìåíòû íå èñïûòûâàëè äåéñòâèÿ ñèëû ñî ñòîðîíû ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ; 3) ìîìåíò âêëþ÷åíèÿ ñêåéëèíãà t0 äîëæåí131áûòü âûáðàí òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ãàðàíòèðîâàòü ëîêàëèçàöèþ ðåøåíèÿâíóòðè ñåòêè â òå÷åíèå âñåãî èññëåäóåìîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè.
Äëÿ èëëþñòðàöèè, ïîäáåð¼ì ïàðàìåòðû ïîòåíöèàëà è ëàçåðíîãî èìïóëüñà òàê,÷òîáû ñîîòâåñòâóþùèå ïðîñòðàíñòâåííûå è âðåìåííûå ìàñøòàáû îòâå÷àëè ìîëåêóëÿðíîé ñèñòåìå HD+ , äèññîöèèðóþùåé â ïîëå ñèëüíîãî êîðîòêîãî èìïóëüñà. Ïàðàìåòðû èìïóëüñà âûáðàíû ñ òåì, ÷òîáû ÿñíåå âûÿâèòüñòðóêòóðó ìíîãîîòîííîãî ïîãëîùåíèÿ â ðàñïðåäåëåíèè ðàãìåíòîâ ïîèìïóëüñàì. Õîðîøî çàìåòíûå ìàêñèìóìû ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè p = ±2.2,±4.2 è ±5.5 a.u.
â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè îòâå÷àþò, ñîîòâåòñòâåííî, îäíîìó,äâóì è òð¼ì ïîãëîùåííûì îòîíàì. Òàêæå ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî âðåìÿðàñïðîñòðàíåíèÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ ñòàáèëüíîãî âîñïðîèçâåäåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî èìïóëüñàì ïóò¼ì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå âîëíîâîé óíêöèè âêîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå îêàçûâàåòñÿ ñðàâíèìûì ñî âðåìåíåì, çà êîòîðîå ñêàëèðîâàííîå ðåøåíèå ñòàíîâèòñÿ ñòàöèîíàðíûì è, ñîîòâåòñòâåííî,âîñïðîèçâîäèò ðàñïðåäåëåíèå ïî èìïóëüñàì.Ó ðåøåíèÿ íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà â ñêàëèðîâàííûõêîîðäèíàòàõ åñòü è äðóãèå âàæíûå äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ïðåèìóùåñòâà. Êðîìå îáåñïå÷åíèÿ ñòàöèîíàðíîñòè ïðîñòðàíñòâåííûõ âîëíîâûõ ïàêåòîâ, ñêàëèðîâàííûå êîîðäèíàòû òàêæå îáåñïå÷èâàþò ïðîñòîòó ÷èñëåííîé àïïðîêñèìàöèè ðåøåíèÿ: êîëè÷åñòâî óçëîâ ñåòêè âíå îáëàñòè âçàèìîäåéñòâèÿ, íåîáõîäèìûõ äëÿ âîñïðîèçâåäåíèÿ êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ, îêàçûâàåòñÿ ïîðÿäêà êîëè÷åñòâà ïèêîâ â ñîîòâåòñòâóþùåé óíêöèè ïëîòíîñòè.Òàêîå ðåøåíèå ãîðàçäî ïðîùå àïïðîêñèìèðîâàòü ÷èñëåííî, íåæåëè èñõîäíóþ âîëíîâóþ óíêöèþ â êîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå, êîòîðàÿ ñèëüíî îñöèëëèðóåò â ïðîñòðàíñòâå â ñâÿçè ñ íàëè÷èåì êèíåòè÷åñêîãî àêòîðà12ei 2 mRṘξ â óðàâíåíèè (4.3), ïîñêîëüêó äëÿ å¼ âîñïðîèçâåäåíèÿ ñ çàäàííîéòî÷íîñòüþ òðåáóåòñÿ ìåíüøå òî÷åê ñåòêè.
Äëÿ èëëþñòðàöèè ýòîãî îáñòîÿ1321 t=1500 a.u.t=0 a.u.Probability density (a.u. )0.10.01-10.01-1Probability density (a.u. )0.10.0011 t=2500 a.u.t=5 a.u.0.10.10.010.010.0011 t=4000 a.u.t=10 a.u.0.10.10.010.010.001-505-6Momentum (a.u.)-4-20246Momentum (a.u.)èñ. 4.1: àñïðåäåëåíèå ïî èìïóëüñàì âû÷èñëåííîå ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå âîëíîâîé óíêöèè (ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ) è èç ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ â ñêàëèðîâàííûõ êîîðäèíàòàõ (íåïðåðûâíûå ëèíèè). Ñëåâà ïîêàçàíà ýâîëþöèÿ ñâîáîäíûõ ÷àñòèö, ñïðàâà - îòðûâ ÷àñòèöû, ñâÿçàííîé â ïîëå êîðîòêîäåéñòâóþùåãî ïîòåíöèàëà âíåøíèì èìïóëüñíûì ïîëåì. Ìàñøòàáíûé ïàðàìåòð äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöûvx = 1.414, äëÿ ìîäåëüíîé ñâÿçàííîé ÷àñòèöû vx = 9.759 × 10−3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
