Диссертация (1145407), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Êàê îòìå÷àëîñü âûøå, µ ñòðåìèòñÿ ê ìàêñèìàëüíîìó çíà÷åíèþ d ïðèáîëüøèõ âíåøíèõ ïîëÿõ, è ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè E → 0.Óðàâíåíèå (3.4) íåòðóäíî ïðåäñòàâèòü â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ, èñ-µ è M,11 2− ∇ + 3 1 − 3(r̂ · ẑ)2 ψ(~r) = Erelψ(~r) ,2rêëþ÷èâ ïàðàìåòðû(3.5)ïðåäñòàâèâ âñå ðàññòîÿíèÿ è ýíåðãèè â äèïîëüíûõ åäèíèöàõ (d.u.) [31℄D = µ2 M/h̄263 4ED = h̄ /(M µ )105.(3.6)Ïðèìå÷àòåëüíî ñðàâíèòü ìàñøòàáû ìàñøòàáû äëèíû è ýíåðãèè, çàäàííûåäèïîëüíûìè åäèíèöàìè, ñ õàðàêòåðíûìè ðàçìåðàìè ìîëåêóë è ðîòàöèîííûõ êîíñòàíò: õàðàêòåðíàÿ äèïîëüíàÿ äëèíà D â 102 − 106 ðàçáîëüøåòè-ïè÷íîãî ðàçìåðà ìîëåêóë, òîãäà êàê ýíåðãèÿ ED â 10−6 −10−12 ðàç ìåíüøåòèïè÷íîãî ðàñùåïëåíèÿ âðàùàòåëüíûõ óðîâíåé. Äèïîëü-äèïîëüíîå âçàè-ìîäåéñòâèå îïðåäåëÿåò ìåæìîëåêóëÿðíûå ñèëû íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõâ ëþáîé ïîëÿðèçîâàííîé ñèñòåìå, ÷òî ïîçâîëÿåò ïðåäïîëîæèòü íàëè÷èåóíèâåðñàëüíîãî ïîâåäåíèÿíàáëþäàåìûõ äëÿ ãàçîâ ïîëÿðèçîâàííûõ ÷àñòèöïðè äîñòàòî÷íî íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ.
Ìîæíî âûäåëèòü äâà òèïà ýåêòîâäàëüíîäåéñòâóþùåãî äèïîëü-äèïîëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ: òå, ÷òî íå çàâèñÿò îò ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ, è òå, êîòîðûå ïðîèñõîäÿò èç ñîâîêóïíîñòè ýåêòîâ êîðîòêîäåéñòâóþùèõ è äàëüíîäåéñòâóþùèõñèë. Çäåñü ìû áóäåì ìîäåëèðîâàòü êîðîòêîäåéñòâóþùèå - ñ òî÷êè çðåíèÿìàñøòàáà äèïîëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ - ñèëû ñåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íûìãðàíè÷íûì óñëîâèåì òèïà "æ¼ñòêîé ñòåíêè , ïîñòàâëåííûì íà ðàññòîÿíèè r = r0 ≡ R0 /D.3.2Àäèàáàòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèåàçëîæåíèå ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Øð¼äèíãåðà Eq.
(5) â ðÿä ïî ñåðè÷åñêèì ãàðìîíèêàì ïðåäñòàâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì ïîäõîäîì ê ÷èñëåííîìó èññëåäîâàíèþ ñèñòåìû, äàþùèì î÷åâèäíûå ïðåèìóùåñòâà: ñèììåòðèÿäèïîëü-äèïîëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïðîÿâëÿåòñÿ âáàçèñå ñåðè÷åñêèõ ãàðìîíèê. Âçàèìîäåéñòâèå ñîõðàíÿåò ÷¼òíîñòü ñîñòîÿíèÿ, öèëëèíäðè÷åñêàÿ ñèììåòðèÿ îáåñïå÷èâàåò ðàçäåëåíèå ïî ìàãíèòíîìóêâàíòîâîìó ÷èñëó m. Ñîñòîÿíèÿ ñ îïðåäåë¼ííûì îðáèòàëüíûì êâàíòîâûì÷èñëîì l ñâÿçàíû òîëüêî ñ ñîñòîÿíèÿìè l ± 2, ÷òî ïðèâîäèò ê óäîáíîìóòð¼õäèàãîíàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèþ äëÿ îïåðàòîðà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè.106Îäíàêî, â ïðåäñòàâëåíèè ñåðè÷åñêèõ ãàðìîíèê, ñâÿçü êàíàëîâ íå ÿâëÿåòñÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëîé ïî ñðàâíåíèþ ñ äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè äëÿâñåõ ñîñòîÿíèé l = 0 .
. . ∞, è â ñëó÷àå s-âîëíû, èãðàþùåé ñóùåñòâåííóþðîëü â ðàññåÿíèè ïðè íèçêèõ ýíåðãèÿõ, ñâÿçü ñ d-âîëíîé äà¼ò äîìèíèðóþ-ùèé âêëàä. Òàêèì îáðàçîì, áûëî áû ïðåäïî÷òèòåëüíî èçìåíèòü ïðåäñòàâëåíèå òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äîñòè÷ü ýåêòèâíîãî ðàçäåëåíèÿ óãëîâûõêàíàëîâ. Ñ ýòîé öåëüþ èñïîëüçóåì àäèàáàòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ïîäîáíîå ïðåäñòàâëåíèþ Áîðíà-Îïïåíãåéìåðà è ãèïåðñåðè÷åñêîìó àäèàáàòè÷åñêîìó ïðåäñòàâëåíèþ è äèàãîíàëèçóåì óãëîâóþ ÷àñòü âçàèìîäåéñòâèÿ,âêëþ÷àÿ êèíåòè÷åñêèå öåíòðîáåæíûå ÷ëåíû.Äëÿ èêñèðîâàííîãî ðàññòîÿíèÿ r ìåæäó ÷àñòèöàìè âû÷èñëèì ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ ñëåäóþùåãî óãëîâîãî îïåðàòîðà Ha1[Ha(r)]ll′ = l(l + 1)δll′ + hlm|1 − 3(r̂ · ẑ)2|l′ mi .r(3.7)Òàê êàê ýëåìåíòû ìàòðèöû ïîòåíöèàëà(m)Vll′≡ hlm|1 − 3(r̂ · ẑ)2 |l′mi =3( (l−m)(l+m)+ (l−m+1)(l+m+1)))δl,l′ −2l+12l−12l+3q((l+1)2 −m2 )((l+2)2 −m2 )3− 2l+3δl,l′−2(2l+1)(2l+5)= (1 −3− 2l−1q(3.8)((l−1)2 −m2 )(l2 −m2 )δl,l′+2(2l−3)(2l+1)çàâèñÿò îò m2 , âñå àäèàáàòè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ îêàçûâàþòñÿ äâàæäû âûðîæäåííûìè, çà èñêëþ÷åíèåì m = 0, êîòîðîå íåâûðîæäåíî.åøèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ rHa (r)φn (r̂; r) = vn(r)φn (r̂; r) .(3.9)Ïîñêîëüêó íåäèàãîíàëüíàÿ ÷àñòü äèïîëü-äèïîëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿáûñòðî ïàäàåò íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ r → ∞, âñå àäèàáàòè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ φn ïðèáëèæàþòñÿ ê ñåðè÷åñêèì ãàðìîíèêàì, à àäèàáàòè÷åñêèå107òåðìû vn/r2 ïðèáëèæàþòñÿ ê öåíòðîáåæíûì áàðüåðàì l(l + 1)/r2.
Ýòî ïîçâîëÿåò êëàññèèöèðîâàòü àäèàáàòè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ èõïîâåäåíèåì íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ.  ÷àñòíîñòè, â ñëó÷àå áîçîíîâ, ñîñòîÿíèå, îòâå÷àþùåå íèæíåìó òåðìó, âûõîäèò íà s-âîëíîâóþ àñèìïòîòèêó,ñëåäóþùåå çà íèì ñîñòîÿíèå âåä¼ò ñåáÿ êàê d-âîëíà. Òàêèì îáðàçîì, ìûìîæåì íóìåðîâàòü àäèàáàòè÷åñêèå ïîòåíöèàëû vlm(r)/r2 è ñîîòâåòñòâóþùèå àäèàáàòè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ êâàíòîâûìè ÷èñëàìè n → l, m, ñîãëàñíî èõïîâåäåíèþ íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ.Ïîñòðîèâ ðåøåíèÿ àäèàáàòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (3.9) ïóò¼ì ðàçëîæåíèÿâ ðÿä ïî ñåðè÷åñêèì ãàðìîíèêàì,X′φlm (r̂; r) =′φllm (r)Yl′m (r̂)(3.10)l′ ≥|m|ìîæíî ðàçëîæèòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.5) ïî àäèàáàòè÷åñêèì ñîñòîÿíèÿìψ(~r) =XFlm(r)φlm(r̂; r) .(3.11)l,m(Øòðèõ â óðàâíåíèè (3.10) îáîçíà÷àåò, ÷òî òîëüêî ÷ëåíû ñ ÷¼òíûì çíà÷åíèåì l + l′ âêëþ÷àþòñÿ â ñóììó.) àäèàëüíûå âîëíîâûå óíêöèè Flm (r)òîãäà óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèéX (m)1 d2d1(m)(−(q(r)+v(r)−E)F(r)++ pll′ (r))Fl′m (r) = 0′lmlmll222 drrdr′(3.12)lÏîâåäåíèå Flm(r) íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ ñîâïàäàåò ñ îáû÷íûìè ïàðöèàëüíûìè âîëíàìè, ïîñêîëüêó àäèàáàòè÷åñêèå êîìïîíåíòû φlm (r̂; r) îáðà(l′ )ùàþòñÿ â ñåðè÷åñêèå ãàðìîíèêè φlm (r) → δll′ ïðè r → ∞.
Ìíîãîêàíàëü-íîå óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà (3.12) ðåøàëîñü ÷èñëåííî íà ïðîìåæóòêå îòðàäèóñà ïîñòàíîâêè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, ìîäåëèðóþùèõ êîðîòêîäåéñòâóþùèå ñèëû, äî àñèìïòîòè÷åñêèõ ðàññòîÿíèé r ∼ 500D. Èñïîëüçîâàëèñüýðìèòîâû ñïëàéíû ïÿòîãî ïîðÿäêà è îðòîãîíàëüíûå êîëëîêàöèè [32℄.108Òàáëèöà 3.2: Ñõîäèìîñòü ñå÷åíèÿ óïðóãîãî ðàññåÿíèÿïî ÷èñëó âêëþ÷åííûõêàíàëîâ äëÿ ýíåðãèè ñòîëêíîâåíèÿ E = 5 × 10−4 d.u.
. Ïîêàçàíû ðåçóëüòà-òû àäèàáàòè÷åñêîãî (ad) è ïàðöèàëüíîãî (p.w.) ïðåäñòàâëåíèé. Àäèàáàòè-÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå îáåñïå÷èâàåò áîëåå áûñòðóþ ñõîäèìîñòü, îñîáåííî âîêðåñòíîñòè ðåçîíàíñîâ.Nhannelsr00.01455 d.u.ad.124816=12.3934.593.143.303.30p.w.r0=0.01457 d.u.ad.p.w.r0=0.01548 d.u.ad.0.005 11.27 0.005 0.4573.13 30.85 66.15 1.9216.00 169.476 14.81 2.172.25 144.78 1581.84 2.213.10 144.79 121.58 2.21p.w.0.0063.462.442.242.25 îòëè÷èå îò ðàçëîæåíèÿ ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì, ìàòðèöà âçàèìîäåéñòâèÿ íå ÿâëÿåòñÿ òð¼õäèàãîíàëüíîé ïî èíäåêñó l. Îäíàêî, äëÿ íèçêîýíåðãåòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ àäèàáàòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå âñ¼ æå îêàçûâàåòñÿ ïðåäïî÷òèòåëüíûì, ÷òî ïðîèëëþñòðèðîâàíî â òàáëèöå 3.2.
Àäèàáàòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ñõîäèòñÿ áûñòðî, äàæå â îêðåñòíîñòè ïîðîãîâûõ ðåçîíàíñîâ, ãäå ðàçëîæåíèå ïî ïàðöèàëüíûì âîëíàì âîâñå íå äåìîíñòðèðóåòïðèçíàêîâ ñõîäèìîñòè ïðè óêàçàííîì ÷èñëå âêëþ÷åííûõ êàíàëîâ.Ïðåíåáðåãàÿ âíåäèàãîíàëüíîé ñâÿçüþ êàíàëîâ â óðàâíåíèè Eq. (3.12)ïîëó÷èì àäèàáàòè÷åñêóþ àïïðîêñèìàöèþ, â êîòîðîé ïðîñòûå ñêàëÿðíûåàäèàáàòè÷åñêèå ïîòåíöèàëûVlm (r) =vlm(r)(m)+pll (r) .r2(3.13)ïðåäîñòàâëÿþò ïðîñòóþ èíòóèòèâíóþ êàðòèíó ñîñòîÿíèé ðàññåÿíèÿ.
Òàêèå ýåêòèâûíå ïîòåíöèàëû ïîêàçàíû íà ðèñóíêå. 3.1 äëÿ áîçîííûõ (a)è åðìèîííûõ (b) ìîëåêóë. Ó âñåõ ïîòåíöèàëîâ ïðèñóòñòâóåò ïðèòÿãèâà109250Vl,m(r), dipole units150V4,1V3,2Vl,0Vl,1Vl,2V2,2200Vlm(r), dipole units200V1,0150V2,01000-0.510050V2,1V3,050Vl,0Vl,1Vl,2V1,1V0,00V1,0-500.110r, dipole units0(a)11r, dipole units10(b)0.1110r, dipole unitsèñ. 3.1: Àäèàáàòè÷åñêèå ïîòåíöèàëüíûå òåðìû äëÿ áîçîííûõ (a) è åðìèîííûõ (b) ïîëÿðíûõ ìîëåêóë.
Òåðìû êëàññèèöèðîâàíû ïî àñèìïòîòè÷åñêîìó óãëîâîìó êâàíòîâîìó ÷èñëó ℓ è òî÷íîìó ìàãíèòíîìó êâàíòîâîìó÷èñëó |m|. Îòìåòèì íåáîëüøîé ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð â íèæíåì åðìè-îííîì àäèàáàòè÷åñêîìî ïîòåíöèàëå V1,0 .þùàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ. Ïîâåäåíèå íà áîëüøèõðàññòîÿíèÿõ äëÿ âñåõ êàíàëîâ îïðåäåëÿåòñÿ öåíòðîáåæíûì îòòàëêèâàíèåì ∼1r2 ,êðîìå áîçîííîãî êàíàëà V0,0 . Äëÿ ýòîãî êàíàëà ïîòåíöèàë - âñþäóïðèòÿãèâàþùèé, óáûâàþùèé íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ êàê1r4 .Âñå äðóãèåàäèàáàòè÷åñêèå òåðìû èìåþò ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð â ïåðåõîäíîé îáëàñòè ìåæäó ïðèòÿãèâàþùèì êîðîòêîäåéñòâèåì è îòòàëêèâàþùèì äàëüíîäåéñòâèåì. Âûñîòà áàðüåðà çàäà¼ò âàæäíóþ äîïîëíèòåëüíóþ ýíåðãåòè÷åñêóþ øêàëó â ñèñòåìå.
Ïîêà ýíåðãèÿ ñòîëêíîâåíèé íå ïðèåâûñèò áàðüåð âîâòîðîì àäèàáàòè÷åñêîì êàíàëå, ïåðâûé, íèæíèé òåðì ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì. Ýòî ïîçâîëÿåò èäåíòèèöèðîâàòü ïîðîãîâûé ðåæèì ðàññåÿíèÿ êàêîòíîñÿùèéñÿ ê ýíåðãèÿì ñòîëêíîâåíèé ìíîãî ìåíüøèõ ÷åì ïîòåíöèàëüíûåáàðüåðû â àäèàáàòè÷åñêèõ ïîòåíöèàëàõ. Äðóãîå âàæíîå ñâîéñòâî ïîòåíöèàëüíûõ òåðìîâ - â ïðèñóòñòâèè íåáîëüøîãî, ∼ 0.1 d.u., áàðüåðà â îñíîâíîìåðìèîííîì ñîñòîÿíèè. Íàëè÷èå ýòîãî áàðüåðà ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííîìóðàçëè÷èþ â íèçêîýíåðãåòè÷åñêîì ðàññåÿíèè åðìèîíîâ è áîçîíîâ.110Âêëàä ðàçëè÷íûõ êàíàëîâ â ïîëíîå ñå÷åíèå óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ äëÿáîçîíîâ (óñðåäí¼ííîå ïî íàïðàâëåíèÿì ýäåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ), ïîêàçàí íàðèñóíêå 3.2 a), äëÿ êîðîòêîäåéñòâóþùåãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ìîäåëèðóåìîãî òâ¼ðäîé ñåðîé ðàäèóñîì r0 = 0.0108 äèïîëüíûõ åäèíèö.
Íåñâÿçàííûå êàíàëû V0,0 è V2,1 îïðåäåëÿþò ðàññåÿíèå áîçîíîâ, òîãäà êàê V1,0 è V1,1îïðåäåëÿþò ðàññåÿíèå åðìèîíîâ ïðè ýíåðãèÿõ äî ∼ 130ED , êàê óêàçàíîâûøå. Îòìåòèì, îäíàêî, ÷òî òî÷íîå âû÷èñëåíèå ñå÷åíèÿ - äàæå ïðè íóëåâîé ýíåðãèè - òðåáóåò âêëþ÷åíèÿ íåñêîëüêèõ àäèàáàòè÷åñêèõ êàíàëîâ.Êà÷åñòâî ñõîäèìîñòè ñå÷åíèÿ çàâèñèò îò ðàäèóñà ìîäåëüíîé òâ¼ðäîé ñåðû, ïîñêîëüêó îíî èñêëþ÷èòåëüíî ÷óâñòâèòåëüíî ê ïîÿâëåíèþ ðåçîíàíñîââ êîðîòêîäåéñòâóþùèõ ïîòåíöèàëüíûõ ÿìàõ â òåðìàõ, îòâå÷àþùèõ àñèìïòîòè÷åñêè âîçáóæä¼ííûì ðîòàöèîííûì ñîñòîÿíèÿì. Íà ðèñóíêå 3.3 ïðèâåäåíà èëëþñòðàöèÿ, íà êîòîðîé ñå÷åíèå óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ïîêàçàíî êàêóíêöèÿ ðàäèóñà ìîäåëüíîé òâ¼ðäîé ñåðû ïðè îêîëîïîðîãîâîé ýíåðãèè,E = 5 × 10−4 ED .
Òàêæå îòìåòèì, ÷òî ïîðîãîâîå ñå÷åíèå ìîæåò ìåíÿòü-ñÿ â ïðåäåëàõ ÷åòûð¼õ ïîðÿäêîâ âåëè÷èíû â çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðîâðàññåÿíèÿ íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ.Ïðèðîäó òàêèõ áîëüøèõ èçìåíåíèé ñå÷åíèÿ ìîæíî ïðîÿñíèòü, âíèìàòåëüíåå ðàññìîòðåâ ðèñóíîê 3.1. Ó êàæäîãî àäèàáàòè÷åñêîãî êàíàëà åñòüñèëüíàÿ êîðîòêîäåéñòâóþùàÿ ïðèòÿãèâàþùàÿ ÷àñòü, êîòîðàÿ ìîæåò ïîääåðæèâàòü ìíîãî ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé. Ïðè èçìåíåíèè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ íà ìàëûõ - ïîðÿäêà ðàçìåðà ìîëåêóëû - ðàññòîÿíèÿõ ìû ìåíÿåì êîëè÷åñòâî ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé, ïîääåðæèâàåìûõ äàííûì ïîòåíöèàëîì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
