Диссертация (1145368), страница 11
Текст из файла (страница 11)
ϕt (K) = K äëÿ âñåõ t > 0. Òàê êàê â÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî êîíå÷íîå âðåìÿ t, òîäëÿ ôèêñèðîâàííîãî t ≥ 0 ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå, îïðåäåëÿåìîå îïåðàòîðîìñäâèãà ϕt (u): ϕt : U ⊆ Rn → U .Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè äàíî â äóõå ðàáîòûÄóàäè è Îýñòåðëå (Douady, Oesterle) [92] (ñì., òàêæå [141]).Îïðåäåëåíèå 5.
Ëîêàëüíàÿ ëÿïóíîâñêàÿ ðàçìåðíîñòü1 îòîáðàæåíèÿ ϕt âòî÷êå u ∈ U îïðåäåëÿåòñÿ êàêdL (ϕt , u) = inf{d ∈ [0, n] : ωd (Dϕt (u)) < 1}.(2.10)Åñëè èíôèìóì ðàññìàòðèâàåòñÿ íà ïóñòîì ìíîæåñòâå (ò.å. ωn(Dϕt(u)) ≥1), òî èíôèìóì è ðàçìåðíîñòü ïîëàãàþòñÿ2 ðàâíûìè n.Ëÿïóíîâñêàÿ ðàçìåðíîñòü îòîáðàæåíèÿ ϕt èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà Kîïðåäåëÿåòñÿ êàêdL (ϕt , K) = sup dL (ϕt , u) = sup inf{d ∈ [0, n] : ωd (Dϕt (u)) < 1}.u∈Ku∈K(2.11)Èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé u → σi (Dϕt (u)) i = 1, 2, .., n íà U ñëåäóåò, ÷òîäëÿ ëþáîãî d ∈ [0, n] è t ≥ 0 ôóíêöèÿ u → ωd (Dϕt (u)) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íàU (ñì.,íàïðèìåð, [92], [114, ñ.554]). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâàK ⊂ U è t ≥ 0 âûïîëíåíîsup ωd (Dϕt (u)) = max ωd (Dϕt (u)).u∈Ku∈K(2.12)Ñîîòíîøåíèå (2.12) ïîçâîëÿåò äîêàçàòü, ÷òî äëÿ êîìïàêòíîãî èíâàðèàíòíîãîìíîæåñòâà KdL (ϕt , K) = inf{d ∈ [0, n] : max ωd (Dϕt (u)) < 1}.u∈K1 Ýòà(2.13)âåëè÷èíà íå ÿâëÿåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ â ñòðîãîì ñìûñëå (ñì., íàïðèìåð, [4, 142, 158]).
Ïîíÿòèåëîêàëüíîé ðàçìåðíîñòè â òî÷êå (local Lyapunov dimension) èñïîëüçîâàëîñü, íàïðèìåð, â [98, 141].2  îáùåì ñëó÷àå, òàê êàê ω (Dϕt (u)) ≡ 1 è d → ω (Dϕt (u)) íåïðåðûâíàÿ ñëåâà ôóíêöèÿ, òî d (ϕt , u) =0dLmax{d ∈ [0, n] : ωd (Dϕt (u)) ≥ 1}. Åñëè âñå {σi (t, u)}n1 ïîëîæèòåëüíû è ωn (Dϕt (u)) < 1, òî èíôèìóì â (2.10)äîñòèãàåòñÿ (ñì. (2.18) è ôîðìóëó Êàïëàíà-Éîðêà (2.20)).81 îñíîâîïîëàãàþùåé ðàáîòå [92] Äóàäè è Îýñòåðëå ñòðîãî äîêàçàíî,÷òî ëÿïóíîâñêàÿ ðàçìåðíîñòü îòîáðàæåíèÿ ϕt êîìïàêòíîãî èíâàðèàíòíîãîìíîæåñòâà K ÿâëÿåòñÿ îöåíêîé ñâåðõó õàóñäîðôîâîé ðàçìåðíîñòè (ñì.,íàïðèìåð, [63]) ìíîæåñòâà K :dimH K ≤ dL (ϕt , K).(2.14)Äëÿ ÷èñëåííîé îöåíêè ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè, âàæíûì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùååçàìå÷àíèå.
Èç (2.7) è (2.9) ñëåäóåò, ÷òîsup ωd (Dϕt+s (u)) = sup ωd Dϕt (ϕs (u))Dϕs (u) ≤u∈Ku∈K≤ sup ωd (Dϕt (u)) sup ωd (Dϕs (u)) ∀t, s ≥ 0u∈Ku∈Kè sup ωd (Dϕnt (u)) ≤ (sup ωd (Dϕt (u)))n äëÿ ëþáîãî öåëîãî n ≥ 0. Ïîýòîìó äëÿu∈Ku∈Këþáîãî t ≥ 0 ñóùåñòâóåò s = s(t) > 0 òàêîå, ÷òîdL (ϕt+s , K) ≤ dL (ϕt , K).(2.15)Îòìåòèì, ÷òî åñëè supu∈K ωd (Dϕt (u)) < 1 äëÿ íåêîòîðîãî d ∈ [0, n], òî3inf sup ωd (Dϕt (u)) = lim inf sup ωd (Dϕt (u)) = 0.t→+∞ u∈Kt>0 u∈K(2.16) òî âðåìÿ êàê â ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ ðàññìàòðèâàåòñÿ òîëüêîêîíå÷íîå âðåìÿ t è îòîáðàæåíèå ϕt (u), ñ òåîðåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ èíòåðåñíîðàññìîòðåòü ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå.Îïðåäåëåíèå 6.
Ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòüþ èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà Käèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû {ϕt}t≥0 íàçûâàåòñÿdL ({ϕt }t≥0 , K) = inf dL (ϕt , K).t>03 Èç(2.17)ëåììû Ôåêåòå (Fekete's lemma) äëÿ ñóáàääèòèâíûõ ôóíêöèé [155, pp.463-464] ñëåäóåò, ÷òî äëÿ+1/t*.ëþáîãî d ∈ [0, n] ñóùåñòâóåò limt→+∞ sup ωd (Dϕt (u))u∈K82Çàìåòèì, ÷òî èç (2.15) ñëåäóåòinf dL (ϕt , K) = lim inf dL (ϕt , K).t→+∞t>0Îïðåäåëåíèå 7.(ñì.,íàïðèìåð, [38]) Êîíå÷íî-âðåìåííûå ëÿïóíîâñêèåïîêàçàòåëè (nite-time Lyapunov exponents, the Lyapunov exponent functions ofsingular values) äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû{ϕt }t≥0â òî÷êåu∈ULEi (t, u) = LEi (Dϕt (u)), i = 1, 2, .., n,îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:LEi (t, u) =1ln σi (t, u),tt > 0.Çäåñü LE1 (t, u) ≥ · · · ≥ LEn (t, u) äëÿ âñåõ t > 0, òàê êàê ñèíãóëÿðíûå ÷èñëàóïîðÿäî÷åíû ïî óáûâàíèþ.Äàëåå äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðåíèÿ áóäåì ïðåäïîëàãàòü ω1 (Dϕt (u)) > 1 >ωn (Dϕt (u)) äëÿ t > 0, u ∈ K .
Òîãäà n > dL (ϕt , u) > 1 è ωdL (ϕt ,u) (Dϕt (u)) =1. Ñëåäîâàòåëüíî äëÿ j(t, u) = dL (ϕt , u) è s(t, u) = dL (ϕt , u) − dL (ϕt , u)ïîëó÷èì0=j(t,u)1ln(ωj(t,u)+s(t,u) (Dϕt (u))) =LEi (t, u) + s(t, u) LEj(t,u)+1 (t, u).ti=1(2.18)Òàê êàê LEi (t, u) óïîðÿäî÷åíû ïî óáûâàíèþ è s(t, u) < 1, òî èìååìj(t, u) = max{m :mLEi (t, u) ≥ 0},i=1s(t, u) =j(t,u)+1LEi (t, u) < 0,LEj(t,u)+1 (t, u) < 0,i=1LE1 (t, u) + · · · + LEj(t,u) (t, u)< 1.| LEj(t,u)+1 (t, u)|(2.19)Åñëè j(t, u) = 0 èëè j(t, u) = n, òî áóäåì ïîëàãàòü s(t, u) = 0. ÂûðàæåíèåndKYL ({LEi (t, u)}i=1 ) = j(t, u) +LE1 (t, u) + · · · + LEj(t,u) (t, u)| LEj(t,u)+1 (t, u)|(2.20)83ñîîòâåòñòâóåòôîðìóëåÊàïëàíà-Éîðêåëÿïóíîâñêèõ ïîêàçàòåëåé,ò.å.[148]äëÿêîíå÷íî-âðåìåííûõóïîðÿäî÷åííîãî ïî óáûâàíèþ íàáîðà{LEi (t, u)}n1 4 .
Çàìåòèì, ÷òî çäåñü ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî s, ÷òî s(t, u) < s < 1è ωj(t,u)+s (Dϕt (u)) < 1 äëÿ ëþáîãî òàêîãî s.Òàêæå ωd (Dϕt (u)) ≥ 1 äëÿ0 ≤ d ≤ j(t, u) + s(t, u). Ïîýòîìó äëÿ j è s, îïðåäåëåííûõ â (2.19), âûïîëíåíîj + s = dL (ϕt , u). Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷àåìÓòâåðæäåíèå 1.
Äëÿ ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè îòîáðàæåíèÿêîìïàêòíîãî èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà K èìååìϕtndimH (K) ≤ sup dL (ϕt , u) = sup dKYL ({LEi (t, u)}1 ) =u∈Ku∈K⎞⎛LE1 (t, u) + · · · + LEj(t,u) (t, u) ⎠= sup ⎝j(t, u) +.| LEj(t,u)+1 (t, u)|u∈KÄëÿâû÷èñëåíèÿêîíå÷íî-âðåìåííûõëÿïóíîâñêèõïîêàçàòåëåé5ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå àëãîðèòìû, îñíîâàííûå íà QR è SVD äåêîìïîçèöèÿõ4 Ðàçëè÷íûåõàðàêòåðèñòèêè õàîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ îñíîâàíû íà ïðåäåëüíîì ïîâåäåíèè êîíå÷íîâðåìåííûõ ëÿïóíîâñêèõ ïîêàçàòåëåé (LEs). Íàïðèìåð, ôîðìóëà Êàïëàíà-Éîðêà äëÿ LEs ðàññìàòðèâàåòñÿâ [81, 100] è ñóììà LEs ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ [22, 244] êàê õàðàêòåðèñòèêà ýíòðîïèè. Ññûëàÿñü íàýðãîäè÷íîñòü, ëÿïóíîâñêèå ïîêàçàòåëè è ëÿïóíîâñêàÿ ðàçìåðíîñòü àòòðàêòîðà ÷àñòî âû÷èñëÿþòñÿ âäîëüîäíîé òðàåêòîðèè (ñì., íàïðèìåð, [106, 148, 172, 210]), êîòîðàÿ ïðèòÿãèâàåòñÿ ê àòòðàêòîðó èëè ïðèíàäëåæèòåìó.Îäíàêî, â îáùåì ñëó÷àå, íåîáõîäèìî ðàññìàòðèâàòü ñåòêó òî÷åê íà K è ñîîòâåòñòâóþùèåëîêàëüíûå ëÿïóíîâñêèå ðàçìåðíîñòè (ñì., íàïðèìåð, [170, 188]).
Äëÿ çàäàííîãî èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâàK è çàäàííîé òî÷êè u0 ∈ K ñ âû÷èñëåíèåì ëÿïóíîâñêèõ ýêñïîíåíò è èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëûnÊàïëàíà-Éîðêå supu∈K dKYñóùåñòâóåò ëèL ({lim supt→+∞ LEi (t, u)}1 ) ñâÿçàíû äâà ñëåäóþùèõ âîïðîñà:nlim sup LEi (t, u0 ) = lim LEi (t, u0 ), è åñëè íåò, òî âåðíî ëè ñîîòíîøåíèå supu∈K dKY({LEm (u)}1 ) =Lt→+∞KYsupu∈K\{ϕt (u0 ),t≥0} dL ({LEi (u)}n1 )?t→+∞×òîáû äàòü ñòðîãèé îòâåò íà ýòè âîïðîñû, ñ òåîðåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿìîæíî èñïîëüçîâàòü ýðãîäè÷åñêèå ñâîéñòâà äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû {ϕt }t≥0 (ñì., íàïðèìåð, Îñåëåäåö [26],Ledrappier [172] è ðåçóëüòàòû â [61,88]). Îäíàêî ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, ñòðîãîå ïðèìåíåíèå óêàçàííûõðåçóëüòàòîâ ìîæåò îêàçàòüñÿ òðóäíîé çàäà÷åé (ñì., íàïðèìåð, ñîîòâåòñòâóþùåå îáñóæäåíèÿ â [55], [69, ñ.118],[243], [298, c.9] è ðàáîòàõ [164, 177] îá ýôôåêòå Ïåððîíà ñìåíû çíàêà ñòàðøåãî ëÿïóíîâñêîãî ïîêàçàòåëÿ).Ïðèìåð ñòðîãîãî ïðèìåíåíèÿ óêàçàííûõ ïîäõîäîâ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè ìîæíî íàéòè,íàïðèìåð, â [269].5 Äðóãîå øèðîêî èñïîëüçóåìîå îïðåäåëåíèå ëÿïóíîâñêèõ ïîêàçàòåëåé ââåäåíî â ðàáîòå À.Ì.
Ëÿïóíîâà[12]. Êîíå÷íî-âðåìåííûìè ëÿïóíîâñêèìè ïîêàçàòåëÿìè {LCEi (t, u)}n1 ñòîëáöîâ ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû(y 1 (t, u), ..., y n (t, u)) = Dϕt (u) (LCE) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî { 1t ln ||y i (t, u)||}n1 , óïîðÿäî÷åííîå ïî óáûâàíèþäëÿ êàæäîãî t > 0. îòëè÷èå îò îïðåäåëåíèÿ LEs, LCEs ðàçíûõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ìàòðèöìîãóò ðàçëè÷àòüñÿ.×òîáû ïîëó÷èòü âñåâîçìîæíûå çíà÷åíèÿ LCEs, íåîáõîäèìî ðàññìàòðèâàòü òàêíàçûâàåìûå íîðìàëüíûå ôóíäàìåíòàëüíûå ìàòðèöû (ñîîòâåòñòâóþò ìèíèìàëüíîé ñóììå LCEs) [12].Èñïîëüçóÿ, íàïðèìåð, òåîðåìó Êóðàíòà-Ôèøåðà (Courant-Fischer theorem) [140], ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òîÏîýòîìóLCE1 (t, u) = LE1 (t, u) è LEi (t, u) ≤ LCEi (t, u) äëÿ 1 < i ≤ n (ñì., íàïðèìåð, [52]).−11g(t)−g(t)KYnKYndL ({LEi (t, t)}1 ) ≤ dL ({LCEi (t, u)}1 ).
Íàïðèìåð [162], äëÿ ìàòðèöû X(t) =01+*èìååì LCE1 (X(t)) = max lim sup 1t ln |g(t)|, lim sup 1t ln |g −1 (t)| , LCE2 (X(t)) = 0; LE1,2 (X(t)) =t→+∞t→+∞*+max, min lim sup 1t ln |g(t)|, lim sup 1t ln |g −1 (t)| . Àíàëèç ñâîéñòâ è ðàçëè÷íûå îáîáùåíèÿ ïîíÿòèÿ ëÿïóíîâñêèõt→+∞t→+∞ïîêàçàòåëåé ïðåäñòàâëåíû â [31, 54, 85, 144, 157, 177, 244].84ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû. Îäíàêî òàêèå àëãîðèòìû ìîãóò ïëîõî ðàáîòàòüâ ñëó÷àå ñîâïàäåíèÿ èëè áëèçîñòè äâóõ èëè áîëåå ëÿïóíîâñêèõ ïîêàçàòåëåé.Òàêæå âàæíî çàìåòèòü, ÷òî âû÷èñëåíèå ëÿïóíîâñêèõ ïîêàçàòåëåé ÷èñëåííîìîæåò áûòü âûïîëíåíî òîëüêî äëÿ êîíå÷íîãî âðåìåíè T , îáîñíîâàíèå âûáîðàêîòîðîãî îáû÷íî íå ïðèâîäèòñÿ, õîòÿ èçâåñòíî, ÷òî â òàêèõ âû÷èñëåíèÿõâîçìîæíû íåîæèäàííûå ñêà÷êèÐàçëè÷íûå ìåòîäû (ñì.,(ñì.,íàïðèìåð, [69, c.116,Fig.6.3]).íàïðèìåð, [46, 89, 126, 264]) ðàçðàáîòàíû äëÿîöåíêè ëÿïóíîâñêèõ ïîêàçàòåëåé ïî âðåìåííûì ðÿäàì.Îäíàêî èçâåñòíûïðèìåðû, â êîòîðûõ ðåçóëüòàòû òàêèõ âû÷èñëåíèé ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿîò àíàëèòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ [50, 287].2.2 Èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíîäèôôåîìîðôèçìîâ è àíàëèòè÷åñêèå îöåíêèÈçâåñòíî, ÷òî òîïîëîãè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíîëèïøèöåâûõãîìåîìîðôèçìîâ,îòíîñèòåëüíîëèïøåöåâûõðàçìåðíîñòüäèôôåîìîðôèçìîâÕàóñäîðôàèíâàðèàíòíàèðàçìåðíîñòüíåöåëàÿÕàóñäîðôà íå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî ãîìåîìîðôèçìîâ [142, 201].Òàê êàê ëÿïóíîâñêàÿ ðàçìåðíîñòü èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îöåíêè ðàçìåðíîñòèÕàóñäîðôà,òîâîçíèêàåòâîïðîñîååäèôôåîìîðôèçìîâ (ñì., íàïðèìåð, [242]).èíâàðèàíòíîñòèîòíîñèòåëüíîÐàññìîòðèì â äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå {ϕt }t≥0 , (U ⊆ Rn , || · ||)ïåðåìåííîé w = h(u), ãäå h : U ýòîì ñëó÷àå ïîëóòðàåêòîðèÿ γ + (u)çàìåíó⊆ Rn → Rn äèôôåîìîðôèçì.= {ϕt (u), t ≥ 0} îòîáðàæàåòñÿâ ïîëóòðàåêòîðèþ ϕth (w) = ϕth (h(u)) = h(ϕt (u)), äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà{ϕt }t≥0 , (U ⊆ Rn , || · ||) ïåðåõîäèò â äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó {ϕth }t≥0 , (h(U ) ⊆Rn , || · ||) , èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî {ϕt }t≥0 êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî K ⊂ Uîòîáðàæàåòñÿ â èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî {ϕth }t≥0 êîìïàêòíîå ìíîæåñòâîh(K) ⊂ h(U ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
