Диссертация (1145368), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Óðàâíåíèå ÄóôôèíãàÇàïèøåì óðàâíåíèå Äóôôèíãàẍ + x + x3 = 0â âèäå ñèñòåìûẋ = −y,ẏ = x + x3 .(1.45)Òîãäà äëÿ ðåøåíèé ñèñòåìû (x(t), y(t)) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè x0 = 0, y0 = hèìååì1(1.46)y(t)2 + x(t)2 + x(t)4 = h2 ,2è, ñëåäîâàòåëüíî òðàåêòîðèè ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè è ïåðèîäè÷åñêèìè.Îòñþäà â êâàäðàíòå (x < 0 < y) ïîëó÷èìx(t) = − −1 + 1 + 2h2 − 2y(t)2è èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1.45) ñëåäóåò11dt==.√√dyx(1 + x2 ) − −1 + 1 + 2h2 − 2y 2 1 + 2h2 − 2y 2Òîãäà ðàññìàòðèâàÿ ÷åòâåðòü îáîðîòà òðàåêòîðèè äî ïåðåñå÷åíèÿ ðåøåíèÿñ ïîëóîñüþ x < 0, y = 0, äëÿ ïîëíîãî âðåìåíè îáîðîòà (ïåðèîäà) òðàåêòîðèèT (h) ïîëó÷èìT (h) = 4 0h− −1 +√dy.√1 + 2h2 − 2y 2 1 + 2h2 − 2y 252×òîáû èíòåðâàë èíòåãðèðîâàíèÿ íå çàâèñåë îò h, ñäåëàåì çàìåíóyy = h cos(z) ⇒ z = arccos , dy = −h sin(z)dzhπy = h ⇒ z = 0, y = 0 ⇒ z =2è ïîëó÷èìT (h) = 4 π/20−1 +√h sin(z)dz.√22221 + 2h sin z 1 + 2h sin zÇäåñü, ðàñêëàäûâàÿ ôóíêöèþ T (h) â ñóììó ïî ñòåïåíÿì hT (h) = 2π + T1 h + T2 h2 + T3 h3 + T4 h4 + T5 h5 + T6 h6 + ...ìîæíî àíàëèòè÷åñêè ïîëó÷èòü çíà÷åíèÿ âðåìåííûõ êîíñòàíòT1 = 0, T2 = −105π1155π3π, T3 = 0, T4 =, T5 = 0, T6 =, ...41281024Äëÿ ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1.45) ïî ñòåïåíÿì hx(t, h) = x h1 (t)h + x h2 (t)h2 + x h3 (t)h3 + x h4 (t)h4 + ...y(t, h) = y h1 (t)h + y h2 (t)h2 + y h3 (t)h3 + y h4 (t)h4 + ...ïîëó÷èìx h1 (t) = − sin(t),y h1 (t) = cos(t);x h2 (t) = y h2 (t) = 0;113cos(t)2 sin(t) − t cos(t) + sin(t),884333y h3 (t) = − t sin(t) + cos(t) − cos(t)3 ;888x h4 (t) = y h4 (t) = 0.x h3 (t) =Òàêèì îáðàçîì ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå çäåñü ïðèáëèæàåòñÿ îòðåçêîì ðÿäà ïîñòåïåíÿì íà÷àëüíîãî äàííîãî ñ íåïåðèîäè÷åñêèìè êîýôôèöèåíòàìè.
Ïðè ýòîì,âñå ëÿïóíîâñêèå âåëè÷èíû ñèñòåìû ðàâíû íóëþL1 = L2 = ... = 0,53÷òî ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþ (1.46) çàìêíóòîñòè òðàåêòîðèé.1.4 Àíàëèòèêî-÷èñëåííàÿ ïðîöåäóðà ëîêàëèçàöèèñêðûòûõ êîëåáàíèéÎäíèì èç ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ ïîèñêà è ëîêàëèçàöèè ñêðûòûõ êîëåáàíèéÿâëÿåòñÿ ìåòîä, îñíîâàííûé íà ãîìîòîïèè è ïðîäîëæåíèè ïî ïàðàìåòðó.Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñèñòåì, ïðàâûå ÷àñòè êîòîðûõ áëèçêè êäðóã äðóãó, òàê, ÷òîáû íà÷àëüíàÿ òî÷êà äëÿ âû÷èñëåíèÿ àòòðàêòîðà âíà÷àëüíîé ñòàðòîâîé ñèñòåìå ìîãëà áûòü ïîëó÷åíà àíàëèòè÷åñêè. Íàïðèìåð,÷àñòî ìîæíî âûáðàòü íà÷àëüíóþ ñèñòåì òàê, ÷òîáû àòòðàêòîð â íåé áûëñàìîâîçáóæäàþùèìñÿ. Çàòåì ìîæíî ÷èñëåííî îòñëåæèâàòü èçìåíåíèå ýòîãîàòòðàêòîð, ïðè ïåðåõîäå îò ñèñòåìû ê ñèñòåìå.
 ñöåíàðèÿõ ïåðåõîäà ê õàîñó âäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ÷àñòî ðàññìàòðèâàåòñÿ ïàðàìåòð λ ∈ [a1 , a2 ], èçìåíåíèåêîòîðîãî äàåò ñîîòâåòñòâóåò ñöåíàðèþ. Îäíàêî, òàêîé ïàðàìåòð ìîæåò áûòüòàêæå ââåäåí â ñèñòåìó èñêóññòâåííî. Ïóñòü λ èçìåíÿåòñÿ â èíòåðâàëå [a1 , a2 ](ãäå λ = a2 ñîîòâåòñòâóåò èçíà÷àëüíîé èññëåäóåìîé ñèñòåìå), è âûáåðåìïàðàìåòð a1 òàê, ÷òîáû â ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìå ïðè λ = a1 ìîæíî áûëîáû íàéòè ÷èñëåííî èëè àíàëèòè÷åñêè íåêîòîðûé íåòðèâèàëüíûé àòòðàêòîð.Òàêèì îáðàçîì, çäåñü àíàëèçà ñöåíàðèÿ, ìîæåò ðåøàåòñÿ çàäà÷à ïîñòðîåíèÿñöåíàðèÿ. Äàëåå ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòüλj , λ1 = a1 , λm = a2 , λj ∈ [a1 , a2 ]òàêóþ, ÷òî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó λj è λj+1 äîñòàòî÷íû ìàëû. È áóäåì ÷èñëåííîèññëåäîâàòü èçìåíåíèå ôîðìû àòòðàêòîðà, ïîëó÷åííîãî äëÿ ñòàðòîâîé ñèñòåìûïðè λ1 = a1 .
Åñëè ïðè ïåðåõîäå îò λj ê λj+1 íå ïðîèñõîäèò áèôóðêàöèÿ ïîòåðèóñòîé÷èâîñòè è ïîñëåäíÿÿ âû÷èñëåííàÿ òî÷êà äëÿ àòòðàêòîðà ïðåäûäóùåéñèñòåìû íàõîäèòñÿ â îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ àòòðàêòîðà ñëåäóþùåé ñèñòåìû,òî äëÿ ïîñëåäíåãî çíà÷åíèÿ λm = a2 áóäåò âû÷èñëåí àòòðàêòîð ê èñõîäíîéèññëåäóåìîé ñèñòåìå.54Ïðèìåíèì îïèñàííûé âûøå àëãîðèòì äëÿ ÷èñëåííîé ëîêàëèçàöèè ñêðûòûõàòòðàêòîðîâ ñèñòåìû ×óà íà Ðèñ. 1.12. Äëÿ çàïèøåì ñèñòåìó ×óà (1.21) â âèäådx= Px + qεψ(r∗ x),dt(1.47)ãäå⎛x∈R , P=3⎜⎜⎜⎜⎜⎝−α(m1 + 1)α01−110−β −γ⎞⎛⎟⎟⎟⎟,⎟⎠⎜⎜⎜⎜⎜⎝q=−α00⎞⎛⎟⎟⎟⎟,⎟⎠⎜⎜⎜⎜⎜⎝r=⎞100⎟⎟⎟⎟.⎟⎠Ââåäåì êîýôôèöèåíò ãàðìîíè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè k òàê, ÷òîáû ìàòðèöàëèíåéíîé ñèñòåìû èìåëà ïàðó ÷èñòî ìíèìûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé⎛∗P0 = P + kqr =k=⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎞−α(1 + k)α01−110−β −γ⎟⎟⎟⎟,⎟⎠−αγ + ω02 − γ − β.α(1 + γ)Çäåñü íåëèíåéíîñòü ïðèìåò âèä ϕ(x) = (ψ(x) − kx).Äàëåå áóäåì âû÷èñëÿòü,ó÷èòûâàÿ ñèììåòðèþ,ðåøåíèå ñèñòåìû ñíåëèíåéíîñòüþ εϕ(x):dx= P0 x + qεϕ(r∗ x),(1.48)dtïîñëåäîâàòåëüíî óâåëè÷èâàÿ ε îò çíà÷åíèÿ ε1 = 0.1 äî ε10 = 1 ñ øàãîì 0.1.Äëÿ ε1 = 0.1 ïîñëå ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ñòàðòîâîå ðåøåíèå ïðèòÿãèâàåòñÿê àòòðàêòîðó x1 (t).
Çàòåì, ïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëÿÿ xj (t) ïðè âîçðàñòàíèèïàðàìåòðà εj , ïîëó÷èì ñêðûòûé àòòðàêòîð äëÿ èñõîäíîé ñèñòåìû ×óà.Òàêèì îáðàçîì, çäåñü èñêóññòâåííî ñèíòåçèðîâàí ñöåíàðèé ðîæäåíèÿ ñêðûòîãîàòòðàêòîðà.Íèæå ïðèâåäåí ïðèìåð àëãîðèòì ëîêàëèçàöèè [187] ñêðûòîãî àòòðàêòîðàâ ñèñòåìå Ãëóõîâñêîãî-Äîëæàíñêîãî, â êîòîðîì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñöåíàðèÿèñïîëüçóåòñÿ èçìåíåíèå ïàðàìåòðà ñèñòåìû (Ðèñ. 1.20).55İ Eİ F15]5z0]10−5íí−10íí−15íííí−10ííí0−5xy\İ ]íííííííííííííííí[íí[\\İ Iíí[í[Hİ ]]010Gí5í\í[\Ðèñóíîê 1.19: Ëîêàëèçàöèÿ àòòðàêòîðîâ ×óà.1.5 Ëîêàëèçàöèÿ ñêðûòûõ êîëåáàíèé âêîíòðïðèìåðàõ ê ïðîáëåìàì Àéçåðìàíà è ÊàëìàíàÊëàññè÷åñêèé ìåòîä ãàðìîíè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè (ãàðìîíè÷åñêîãî áàëàíñà,îïèñûâàþùèõ ôóíêöèé) øèðîêî ðàñïðîñòðàíåí è ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ ïðèàíàëèçå íåëèíåéíûõ ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ.
Ýòîò ìåòîä íåÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ìàòåìàòè÷åñêè îáîñíîâàííûì è îòíîñèòñÿ ê ïðèáëèæåííûììåòîäàì àíàëèçà ñèñòåì óïðàâëåíèÿ [1, 6, 15, 21, 24, 25, 30, 37, 149, 250]. Îäèíèç ïåðâûõ ïðèìåðîâ, ãäå ìåòîä ãàðìîíè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè äàåò íåâåðíûåðåçóëüòàòû, ïðèíàäëåæèò ß.Ç. Öûïêèíó [32].Íàïîìíèì ñòàíäàðòíóþ ïðîöåäóðó ìåòîäà ãàðìîíè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè äëÿñèñòåì (1.4), ââåäÿ â ðàññìîòðåíèå ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþW (p) = r∗ (P − pI)−1 q,ãäå p êîìïëåêñíàÿ ïåðåìåííàÿ.56Ðèñóíîê 1.20: ×èñëåííàÿ ëîêàëèçàöèÿ ñêðûòîãî àòòðàêòîðà â ñèñòåìåÃëóõîâñêîãî-Äîëæàíñêîãî. Íà ïåðâîì øàãå ïðîöåäóðû, ïðè r = 687.5 âñèñòåìå ñóùåñòâóåò ñàìîâîçáóæäàþùèéñÿ àòòðàêòîð, êîòîðûé ìîæåò áûòüëîêàëèçîâàí èç îêðåñòíîñòè ëþáîãî èç òðåõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ S0,1,2 (ñì.ïåðâûé ñòîëáåö); íà âòîðîì øàãå, ïðè r = 693.75 â ñèñòåìå ñóùåñòâóåòñàìîâîçáóæäàþùèéñÿ àòòðàêòîð, êîòîðûé ìîæåò áûòü ëîêàëèçîâàí òîëüêî èçîêðåñòíîñòè íóëåâîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ S0 (ñì.
âòîðîé ñòîëáåö); íàïîñëåäíåì øàãå, ïðè r = 700, â ñèñòåìå ñóùåñòâóåò ñêðûòûé àòòðàêòîð (ñì.òðåòèé ñòîëáåö).Äëÿïîèñêàãàðìîíè÷åñêîãîêîëåáàíèÿ a cos ω0 t,êîòîðîåÿâëÿåòñÿïðèáëèæåííûì ðåøåíèåìσ(t) = r∗ x(t) ≈ a cos ω0 tñèñòåìû (1.4), âíà÷àëå îïðåäåëèì êîýôôèöèåíò ãàðìîíè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèèk òàê, ÷òîáû ìàòðèöà ëèíåéíîé ñèñòåìûdz= P0 z,dtP0 = P + kqr∗(1.49)èìåëà ïàðó ÷èñòî ìíèìûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ±iω0 (ω0 > 0), à îñòàëüíûååå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ èìåëè îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè.ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî òàêîå k ñóùåñòâóåò.Çäåñü57Ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí k è ω0ïðèìåíÿþò ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ W (p): âíà÷àëå ÷èñëî ω0 îïðåäåëÿþò èçóðàâíåíèÿImW (iω0 ) = 0,à çàòåì âû÷èñëÿþò k ïî ôîðìóëåk = −(ReW (iω0 ))−1 .Åñëè òàêèå k è ω0 íàéäåíû, òî àìïëèòóäà a íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ 2π/ω00ψ(a cos ω0 t) cos ω0 tdt = ka 2π/ω00(cos ω0 t)2 dt.Ïðèìåíèì îïèñàííóþ çäåñü ïðîöåäóðó ê ïðîáëåìå Àéçåðìàíà.
ßñíî, ÷òî âýòîì ñëó÷àå íå âûïîëíåíî óñëîâèå k ∈ (μ1 , μ2 ). Òîãäà ïðè ëþáûõ íåíóëåâûõçíà÷åíèÿõ σ âûïîëíÿåòñÿ îäíà èç îöåíîê:kσ 2 < ψ(σ)σ èëè ψ(σ)σ < kσ 2 .Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè âñåõ a = 0 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî 2π/ω00(ψ(a cos ω0 t) a cos ω0 t − k(a cos ω0 t)2 )dt = 0.(1.50)Òàêèì îáðàçîì, â óñëîâèÿõ Àéçåðìàíà (à òàêæå è Êàëìàíà) ñèñòåìà(1.4) ñîãëàñíî ìåòîäó ãàðìîíè÷åñêîé ëèíåàðèçàöèè íå èìååò ïåðèîäè÷åñêèõðåøåíèé.Îäíàêî ðåçóëüòàòû Â.À. Ïëèññà è åãî ïîñëåäîâàòåëåé [11, 234]ïðîòèâîðå÷àò ýòèì íåñòðîãèì âûâîäàì.Ïåðåïèøåì ñèñòåìó (1.4) â ñëåäóþùåì âèäådx= P0 x + qϕ(r∗ x),dtãäå ϕ(σ) = ψ(σ) − kσ .(1.51)58Ñèñòåìà (1.51) íåîñîáûì ïðåîáðàçîâàíèåì x = Sy ìîæåò áûòü ñâåäåíà (ñì.,íàïðèìåð, [200]) ê âèäóẏ1 = −ω0 y2 + b1 ϕ(y1 + c3 ∗ y3 ),ẏ2 = ω0 y1 + b2 ϕ(y1 + c3 ∗ y3 ),(1.52)ẏ3 = A3 y3 + b3 ϕ(y1 + c3 ∗ y3 ),ãäå y1 , y2 ñêàëÿðíûå âåëè÷èíû, y3 (n−2)-ìåðíûé âåêòîð; b3 è c3 (n−2)ìåðíûå âåêòîðû, b1 è b2 âåùåñòâåííûå ÷èñëà; A3 ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè (n−2)×(n−2), âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà êîòîðîé èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå÷àñòè.Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî äëÿ ìàòðèöû A3 ñóùåñòâóåòïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî d > 0 òàêîå, ÷òîy3∗ (A3 + A∗3 )y3 ≤ −2d|y3 |2 ,∀ y3 ∈ Rn−2 .(1.53)Çàïèøåì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ ñèñòåìû (1.51)r∗ (P0 − pI)−1 q =ηp + θR(p)+2p2 + ω0 Q(p)(1.54)è ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ ñèñòåìû (1.52)−b1 p + b2 ω0+ c3 ∗ (A3 − pI)−1 b3 ,22p + ω0(1.55)ãäå I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, η , θ íåêîòîðûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, Q(p) óñòîé÷èâûé ïîëèíîì ñòåïåíè (n−2), R(p) ïîëèíîì, ñòåïåíü êîòîðîãî ìåíüøå(n − 2).
Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ïîëèíîìû R(p) è Q(p) íå èìåþò îáùèõ êîðíåé. ñèëó ýêâèâàëåíòíîñòè ñèñòåì (1.51) è (1.52), ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè ýòèõñèñòåì ñîâïàäàþò. Îòñþäà ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèÿη = −b1 ,θ = b2 ω0 ,c3 ∗ b3 + b1 = r∗ q,R(p)= c3 ∗ (A3 − pI)−1 b3 .Q(p)(1.56)59Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìó (1.52), ãäå íåëèíåéíîñòü ϕ(σ) èìååòñïåöèàëüíûé âèä⎧⎪⎪⎨ϕϕ0 (σ) = ⎪∀ |σ| ≤ ε,1 (σ),⎪⎩ ε3 ϕ2 (σ),∀ |σ| > ε.(1.57)Çäåñü ϕ1 (σ) è ϕ2 (σ) êóñî÷íî-äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè, äëÿ êîòîðûõâûïîëíåíû óñëîâèÿ|ϕ1 (σ)| ≤ μ|σ|,⎛ε⎝b−ε2 (c3∗⎞b3 + b1 )ϕ1 (σ) + b1 ω0 σ ⎠ϕ1 (σ)dσ = Lε3 + O(ε4 ),(1.58)νi âîçìîæíûå òî÷êè ðàçðûâà, μ > 0 è L íåêîòîðûå ÷èñëà. Äàëåå, íåóìàëÿÿ îáùíîñòè, ïîëîæèìϕ2 (σ) = 0 ∀σ ∈ [−ε, ε].(1.59)Íàïðèìåð, òàêèì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿåò íåëèíåéíîñòü⎧⎪⎪⎨ μσ,∀ |σ| ≤ ε,⎪⎩ M ε3 sign(σ),∀ |σ| > ε,ϕ0 (σ) = ⎪(1.60)ãäå M íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå ìíîæåñòâî â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå íåëèíåéíîéñèñòåìû (1.52)Ω = {y1 + c3 ∗ y3 = 0,y2 ∈ [−a1 , −a2 ],|y3 | ≤ Dε2 },(1.61)ãäå a1,2 íåêîòîðûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà; ÷èñëî D îïðåäåëÿåòñÿ èçñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ60Ëåììà 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
