Диссертация (1145368), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ýòè ìåòîäûðàçëè÷àþòñÿ ïî ñëîæíîñòè ðåàëèçàöèè àëãîðèòìîâ, ïðîñòðàíñòâó, â êîòîðîìïðîâîäÿòñÿ âû÷èñëåíèÿ, è êîìïàêòíîñòè ïîëó÷àåìûõ ñèìâîëüíûõ âûðàæåíèé[70,75,95,115,209,223].Ïåðâûé ìåòîä íàõîæäåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí áûë ïðåäëîæåí â ðàáîòàõ[248] è [12]. Ýòîò ìåòîä îñíîâûâàåòñÿ íà ïîñëåäîâàòåëüíîì ïîñòðîåíèè ôóíêöèèËÿïóíîâà íà îñíîâå èíòåãðàëà ëèíåéíîé ÷àñòè ñèñòåìû. äàëüíåéøåì áûëè ðàçðàáîòàíû ðàçëè÷íûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, èñïîëüçóþùèå ïðèâåäåíèå ñèñòåìû ê íîðìàëüíîéôîðìå [209, 299]. Îäíàêî ïðè ðåàëèçàöèè ýòèõ ìåòîäîâ âîçíèêàþò ñëîæíîñòè,ñâÿçàííûå ñ íåîäíîçíà÷íîñòüþ ïðîöåññà ïîñòðîåíèÿ íîðìàëüíîé ôîðìûñèñòåìû.Äðóãîé ïîäõîä ê âû÷èñëåíèþ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ñâÿçàí ñ íàõîæäåíèåìïðèáëèæåíèé ðåøåíèÿ ñèñòåìû.
Òàê, â ðàáîòå [12] èñïîëüçóåòñÿ ïåðåõîä45êïîëÿðíûìêîîðäèíàòàìèïðîöåäóðàïîñëåäîâàòåëüíîãîïîñòðîåíèÿïðèáëèæåíèé ðåøåíèÿ. ðàáîòàõ [165, 166, 185] áûëè ðàçâèòû èäåè È.Ã.Ìàëêèíà è ïðåäëîæåííîâûé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, îñíîâàííûé íà ïîñòðîåíèèïðèáëèæåíèé ðåøåíèÿ (â âèäå êîíå÷íîé ñóììû ïî ñòåïåíÿì íà÷àëüíûõäàííûõ)âèñõîäíîéåâêëèäîâîéñèñòåìåêîîðäèíàòèâîâðåìåííîéîáëàñòè.
Ïðåèìóùåñòâîì äàííîãî ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ èäåîëîãè÷åñêàÿ ïðîñòîòàè íàãëÿäíîñòü. Ýòîò ïîäõîä òàêæå ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷èîïðåäåëåíèÿ èçîõðîííîãî öåíòðà [267], òàê êàê ïîçâîëÿåò íàéòè ïðèáëèæåíèåâðåìåíè îáîðîòà òðàåêòîðèè â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ äàííûõ.×àñòî äëÿ óïðîùåíèÿ àëãîðèòìà âû÷èñëåíèÿ è êîíå÷íûõ âûðàæåíèéëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ìîäèôèêàöèè ðàññìîòðåííûõâûøå ìåòîäîâ,ñâÿçàííûå ñ ïðåîáðàçîâàíèåì ñèñòåìû ê êîìïëåêñíûìïåðåìåííûì [33, 113, 209].Òàê, íà îñíîâå ìîäèôèêàöèè äëÿ êîìïëåêñíîéîáëàñòè ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà â 1968 ãîäó áûëà ðàçðàáîòàíà,ïî-âèäèìîìó, ïåðâàÿ êîìïüþòåðíàÿ ïðîãðàììà âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõâåëè÷èí [33].Îòìåòèì, ÷òî àíàëèç è âû÷èñëåíèå ñèìâîëüíûõ âûðàæåíèé ëÿïóíîâñêèõâåëè÷èí ìîæåò áûòü òàêæå ñâåäåíî ê ïðèìåíåíèþ ðåêóððåíòíûõ ôîðìóë[223], èñïîëüçîâàíèþ àëãåáðàè÷åñêèõ ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ è èññëåäîâàíèÿñïåöèàëüíûõ ïîëèíîìîâ [124, 262].Çàìåòèì, ÷òî â òî âðåìÿ êàê ñèìâîëüíûå âûðàæåíèÿ ïåðâîé è âòîðîéëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí äëÿ ñèñòåì îáùåãî âèäà áûëè âû÷èñëåíû â 40-50-å ãîäûïðîøëîãî âåêà Í.Í.
Áàóòèíûì [2] è Í.Í. Ñåðåáðÿêîâîé [29], ñîîòâåòñòâåííî,âû÷èñëåíèå âûðàæåíèé äëÿ ïîñëåäóþùèõ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ñòàëîâîçìîæíûì ëèøü ìíîãî ïîçæå áëàãîäàðÿ ïîÿâëåíèþ ìîùíûõ âû÷èñëèòåëüíûõñðåäñòâ.Òàê, ïîëó÷åííûå ïðè ïîìîùè ïàêåòîâ ñèìâîëüíûõ âû÷èñëåíèé,âûðàæåíèå äëÿ òðåòüåé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû â îáùåì âèäå â òåðìèíàõêîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé ñèñòåìû ïîëó÷åíî â 2008ãîäó [156, 159, 165, 166, 185] è çàíèìàåò íåñêîëüêî ñòðàíèö.46Ïðÿìîé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èíÏóñòüx(t, x(0), y(0)),y(t, x(0), y(0))ðåøåíèåñèñòåìû(1.31)ñíà÷àëüíûìè äàííûìè(1.34)x(0) = 0, y(0) = h.Îáîçíà÷èìx(t, h) = x(t, 0, h), y(t, h) = y(t, 0, h).Ðàññìîòðèì âðåìÿ T (h) ïåðâîãî ïåðåñå÷åíèÿ ðåøåíèÿx(t, h), y(t, h)ñïîëóîñüþ {x = 0, y > 0} è äîîïðåäåëèì (ïî íåïðåðûâíîñòè) åãî â íóëå:T (0) = 2π .
Èç óñëîâèÿ ãëàäêîñòè (1.28) äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ h ñëåäóåò, ÷òîâðåìÿ îáîðîòà T (h) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåT (h) = 2π + ΔT (h) = 2π +nknTk h + o(h ),k=11 dk T (h)Tk =,k! dhk(1.35)à ðåøåíèå ñèñòåìû ïðåäñòàâèìî â âèäå1 ∂ k x(t, h)+ o(h ),=,x(t, h) = xhn (t, h) + o(h ) =k! ∂hkk=1(1.36)n1 ∂ k y(t, h)nkny hk (t)h + o(h ), y hk (t) =.y(t, h) = yhn (t, h) + o(h ) =k! ∂hkk=1nnx hk (t)hknx hk (t)Çäåñü t ∈ [0, T (h)] è íå ïðèíèìàåòñÿ âî âíèìàíèå çàâèñèìîñòü îñòàòî÷íîãî÷ëåíà o(hn ) îò t (ýòî ñïðàâåäëèâî, íàïðèìåð, êîãäàx(t, h) − xhn (t, h)ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ôóíêöèåé è, ñîîòâåòñòâåííî, ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîé ïît íà ðàññìàòðèâàåìîì ìíîæåñòâå).Äëÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿ ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè (1.34) èìååìxh1 (t, h) = x h1 (t)h = −h sin(t), yh1 (t, h) = y h1 (t)h = h cos(t),(1.37)à ïîñëåäóþùèå ïðèáëèæåíèÿ (xhk (t, h), yhk (t, h)) îïðåäåëÿþòñÿ èç ðåêóððåíòíîéïðîöåäóðû.Çàìåòèì, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ k -ãî ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿïðè ïîäñòàíîâêå x(t, h) = xhk (t, h) + o(hk ) è y(t, h) = xhk (t, h) + o(hk ) âf (x, y) è g(x, y) ïîëó÷èâøèåñÿ âûðàæåíèÿ ïðè hk (îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç ufhkgè uhk , ñîîòâåòñòâåííî) áóäóò çàâèñåòü òîëüêî îò ïðåäûäóùèõ ïðèáëèæåíèé47{xhm (t, h), yhm (t, h)}m<k (ò.å.â ðàìêàõ ðåêóððåíòíîé ïðîöåäóðû áóäóòèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè) è íå áóäóò çàâèñåòü îò íåèçâåñòíûõ ôóíêöèéx hk (t) è y hk (t)f xhk (t, h) + o(hk ), yhk (t, h) + o(hk ) = ufhk (t)hk + o(hk ),g xhk (t, h) + o(hk ), yhk (t, h) + o(hk ) = ughk (t)hk + o(hk ).(1.38)Òîãäà ïîñëå ïîäñòàíîâêè (1.36) â (1.31) äëÿ îïðåäåëåíèÿ x hk (t) è y hk (t) ïîëó÷èìñèñòåìódx hk (t)= −y hk (t) + ufhk (t),dtdy hk (t)= x hk (t) + ughk (t).dt(1.39)y hk (0) = 0(1.40)Ëåììà 1.
Äëÿ ðåøåíèé ñèñòåìû (1.39) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìèx hk (0) = 0,èìååìx hk (t) = ughk (0) cos(t) + cos(t)+ sin(t)y hk (t)=− cos(t) tsin(τ )+ sin(t)0cos(τ ) (ughk (τ )) + ufhk (τ ) dτ +0(ughk (τ )) + ufhk (τ ) dτ t0ughk (0) sin(t) t0 tcos(τ )− ughk (t),(ughk (τ ))+ufhk (τ ) dτ −(1.41)sin(τ ) (ughk (τ )) + ufhk (τ ) dτ.Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçóÿ (1.38) è (1.41), ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëÿþòñÿêîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ (1.36).Ðàññìîòðèì âðåìÿ t = 2π + ΔT (h) è ïðåäñòàâèì, ó÷èòûâàÿ óñëîâèåãëàäêîñòè (1.28), íàéäåííûå êîýôôèöèåíòû â âèäåx hk (2π+ ΔT (h)) =x hk (2π) +nm=1x (ΔT (h))m(m)hk (2π)m!+ o((ΔT (h))n ), k = 1, ..., n.Òîãäà ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ ñ ó÷åòîì (1.35), â ïåðâîå óðàâíåíèå(1.36) è îáîçíà÷àÿ êîýôôèöèåíòû ïðè hk ÷åðåç x k , ïîëó÷èì ðàçëîæåíèåx(T (h), h) ïî ñòåïåíÿì hx(T (h), h) =nk=1x k hk + o(hn ).(1.42)48Èç ðàâåíñòâà x(T (h), h) = 0 äëÿ êîýôôèöèåíòîâ {x k } ïîëó÷èìh:0 = x 1 = x h1 (2π),h2 : 0 = x 2 = x h2 (2π) + x h1 (2π)T1 ,11h3 : 0 = x 3 = x h3 (2π) + x h1 (2π)T2 + x h2 (2π)T1 + x h1 (2π)T12 ,22···hn : 0 = x n = x hn (2π) + x h1 (2π)Tn−1 + .
. .Îòñþäà ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû Tk=1,...,n−1 ÷åðåçêîýôôèöèåíòû fij è gij , òàê êàê â âûðàæåíèå äëÿ x k âõîäÿò êîýôôèöèåíòûT1m<k−1 è ñëàãàåìîå x h1 (2π)Tk−1 = −Tk−1 (çäåñü îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïîâðåìåíè t).Ïðîâîäÿ àíàëîãè÷íóþ ïðîöåäóðó äëÿ y(T (h), h), ïîëó÷èì èç ðàâåíñòâày(T (h), h) =ny k hk + o(hn )k=1ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿh:y 1 = y h1 (2π),h2 : y 2 = y h2 (2π) + y h 1 (2π)T1 ,11h3 : y 3 = y h3 (2π) + y h 1 (2π)T2 , + y h 2 (2π)T1 + y h1 (2π)T12 ,22···hn : y n = y hn (2π) + y h 1 (2π)Tn−1 + . .
.äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî îïðåäåëåíèÿ y k=1,...,n .Çäåñü y h1 (2π) = 1, çíà÷åíèÿTk=1,..,n−1 è ôóíêöèè y hk=1,..,n (t) îïðåäåëåíû âûøå. Åñëè ïðè ýòîì y 2 = ... =y 2m = 0, òî y 2m+1 ÿâëÿåòñÿ m-îé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíîé Lm .Îòìåòèì çäåñü, ÷òî èç ðàâåíñòâ x h2 (2π) = 0 è yh 1 (2π, h) = 0 ñëåäóåò, ÷òîL1 íå çàâèñèò îò ΔT (h), òàê êàê T1 = 0 è y h 1 (2π)T2 = 0, à Lm≥2 çàâèñèò îò{Tk }2≤k≤2m−1 .Ðåàëèçàöèÿ ýòîãî àëãîðèòìà â MatLab ïðèâåäåíà â [159].Ïðèìåíåíèå ôóíêöèè Ëÿïóíîâà íà ïîñëåäíåì øàãå âû÷èñëåíèÿëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû49Ïóñòü èçâåñòíû ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿ(x(t, h) = xh2m (t, h) + o(h2m ), y(t, h) = yh2m (t, h) + o(h2m ))è âðåìåíè ïåðåñå÷åíèÿ T (h) = 2π + ΔT2m (h) + o(h2m ) ñ òî÷íîñòüþ äî o(h2m ).Òîãäà â ñëó÷àå(1.43)y 2 = ...
= y 2m = 0äëÿ îïðåäåëåíèÿ êà÷åñòâåííîãî ïîâåäåíèÿ òðàåêòîðèé â îêðåñòíîñòè íóëÿðàññìîòðèì ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà è åå ïðîèçâîäíóþ â ñèëó ñèñòåìû (1.31)(x2 + y 2 ),V (x, y) =2V̇ (x, y) = xf (x, y) + yg(x, y).Ââåäåì îáîçíà÷åíèåT(h)L(h) =V̇ x(t, h), y(t, h) dt.0Òîãäà âûïîëíåíî ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèåËåììà 2.L(h)=⎡2π+ΔT 2m (h)⎣xh2m(t, h)f xh2m (t, h), yh2m (t, h) +0+yh2m (t, h)g xh2m (t, h), yh2m (t, h)(1.44)⎤⎦ dt+ o(h2m+2 ).Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå (1.44) äëÿ L(h) íàéäåííûå â âèäå ðÿäà (1.36) è(1.35) ïî ñòåïåíÿì h ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèÿ (xh2m (t, h), yh2m (t, h)) è âðåìåíèïåðåñå÷åíèÿ T2m (h), ñîîòâåòñòâåííî, èíòåãðèðóÿ è ñîáèðàÿ êîýôôèöèåíòû ïðèîäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ h, ïîëó÷èìL(h) =2m+2L k hk + o(h2m+2 ).k=3 Çäåñü, ñîãëàñíî (1.43), ïîëó÷èì L3,...,2m+1 = 0 è L2m+2 = Lm .50Ìàëûå ïðåäåëüíûå öèêëû.Åñëè L1,...,n−1 = 0 è Ln = 0, òîãäà, ñëåäóÿ ìåòîäó Áàóòèíà [2], ìîæíî â îáùåìñëó÷àå ïîñòðîèòü n ìàëûõ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ ñ ïîìîùüþ ìàëûõ âîçìóùåíèéêîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû (ñì., íàïðèìåð, [223]).Òàê, åñëè L1 = 0 è L2 > 0, ìîæíî, ñëàáî âîçìóùàÿ êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû,äîáèòüñÿ, ÷òîáû â âîçìóùåííîé ñèñòåìå âûïîëíÿëèñü íåðàâåíñòâàL1 < 0,L2 > 0.Òîãäà äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ h = r0 I òðàåêòîðèè âîçìóùåííîé ñèñòåìû áóäóò çàêðó÷èâàòüñÿ âîêðóã ñòàöèîíàðíîé òî÷êè, à äëÿíåêîòîðûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ h = r0 II (r0 II >> r0 I ) òðàåêòîðèè ñèñòåìûáóäóò ðàñêðó÷èâàòüñÿ.
Òàêèì îáðàçîì äëÿ îïèñàííîãî âîçìóùåíèÿ ïîëó÷àåòñÿìàëûé íåóñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë (Ðèñ. 1.18) âîêðóã íóëåâîãî ñîñòîÿíèÿðàâíîâåñèÿ.Ðèñóíîê 1.18: Ïîñòðîåíèå ìàëîãî ïðåäåëüíîãî öèêëà.Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, âîçìóùàÿ íåñêîëüêî ïåðâûõ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, ââîçìóùåííîé ñèñòåìå ìîæíî ïîëó÷èòü íåñêîëüêî ìàëûõ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ.51Òàê, äëÿ êâàäðàòè÷íîé ñèñòåìû ýòà òåõíèêà ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü 3 ìàëûõïðåäåëüíûõ öèêëà, åñëè êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû ïîäîáðàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òîL1,2 = 0 è L3 = 0 (çàìåòèì ÷òî, åñëè â êâàäðàòè÷íîé ñèñòåìå L1,2,3 = 0, òîL4,5,... = 0). îáùåì ñëó÷àå ìåòîä îïðåäåëåíèÿ è âîçìóùåíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èíïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü äëÿ ðàçëè÷íûõ ñèñòåì îöåíêè ñíèçó âîçìîæíîãî ÷èñëàïðåäåëüíûõ öèêëîâ â 16-îé ïðîáëåìå Ãèëüáåðòà (ñì., íàïðèìåð, [223]).Ïðèìåð.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
