Диссертация (1145368), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Äëÿ ðåøåíèé ñèñòåìû (1.52) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè èç Ω èìååòìåñòî ïðåäñòàâëåíèåy1 (t) = − sin(ω0 t)y2 (0) + O(ε2 ),t ∈ [0, T ]y2 (t) = cos(ω0 t)y2 (0) + O(ε2 ),(1.62)y3 (t) = exp(A3 t)y3 (0) + On−2 (ε2 ) = On−2 (ε2 )è ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëà D1 ≥ D > 0, ÷òî, åñëè ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõε > 0 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî|y3 (0)| ≤ Dε2 ,òî|y3 (T )| ≤ Dε2(1.63)è|y3 (t)| ≤ D1 ε2 ,∀t ∈ [0, T ].(1.64)Äîêàçàòåëüñòâî. Çàïèøåì ðåøåíèå ñèñòåìû â èíòåãðàëüíîé ôîðìå⎛⎞⎜ y1 (t) ⎟⎜⎟⎜⎟⎜ y2 (t) ⎟⎜⎟⎝⎠y3 (t)⎛=⎜cos(ω0 t)⎜⎜⎜ sin(ω0 t)⎜⎝− sin(ω0 t)0ãäåI(t0 , t) = t⎜0⎜⎜⎜ω0⎜⎝⎛b=00exp A3 (t −⎛A=0cos(ω0 t)0⎞⎛⎞⎜ b1 ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ b2 ⎟.⎜ ⎟⎝ ⎠b3t0⎞⎟ ⎜ y1 (t0 ) ⎟⎟⎜⎟⎟⎜⎟⎟ ⎜ y2 (t0 ) ⎟⎟⎜⎟⎠ ⎝⎠y3 (t0 )t0 )exp A(t − τ ) bϕ0 σ(τ ) dτ,⎞−ω00000A3⎟⎟⎟⎟,⎟⎠+ I(t0 , t),(1.65)61Çäåñü èç óñëîâèÿ (1.53) è âèäà íåëèíåéíîñòè ϕ0 , ñëåäóåò ÷òî âûïîëíåíû îöåíêè| exp(A3 (t − t0 ))| < 1,|I(t0 , t)| = O(ε2 ),0 ≤ t0 < t ≤ T.(1.66)Òîãäà ìîæíî âûáðàòü ÷èñëî D > 0 òàê, ÷òîáû | exp(A3 T )|D + E < D, ãäå Eîïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ sup |I(0, t)| ≤ Eε2 è çàâèñèò îò |b| è âèäà ôóíêöèèt∈[0,T ]ϕ.0Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå Ïóàíêàðå F ìíîæåñòâà Ω äëÿ òðàåêòîðèé ñèñòåìû(1.52)F%%%%% y (0) %%% 1%%%%% y2 (0) %%%%%%%%y3 (0)%=%%%%% y (T ) %% 1%%%%%% y2 (T ) % ,%%%%%%%y3 (T )%(1.67)ãäå T ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, äëÿ êîòîðîãîy1 (T ) + c3 ∗ y3 (T ) = 0,y2 (T ) < 0è íå âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿy1 (t) + c3 ∗ y3 (t) = 0, y2 (t) < 0,∀ t ∈ (0, T ).Ââåäåì îïèñûâàþùóþ ôóíêöèþ2π/ω 0Φ(a) =(1.68)ϕ2 a sin(ω0 t) sin(ω0 t)dt.0Òåîðåìà 1.[179] Åñëè âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà2Lω02 a212b1 Φ(a2 ) < − 2 2 L,ω0 a2b1 Φ(a1 ) > −òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõε>0ÿâëÿåòñÿ îòîáðàæåíèåì â ñåáÿ:îòîáðàæåíèå ÏóàíêàðåF Ω ⊂ Ω.(1.69)(1.67)ìíîæåñòâàΩ62Îòñþäà è èç òåîðåìû Áðàóýðà î íåïîäâèæíîé òî÷êå âûòåêàåò ñëåäóþùååóòâåðæäåíèå.Ñëåäñòâèå 1.
Åñëè âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà (1.69), òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõñèñòåìà (1.52) èìååò ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå ñ íà÷àëüíûìè äàííûìèèç Ω. Ýòî ðåøåíèå óñòîé÷èâî â òîì ñìûñëå, ÷òî åãî îêðåñòíîñòü Ωîòîáðàæàåòñÿ â ñåáÿ: F Ω ⊂ Ω.ε > 0Òåîðåìà 2. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ÷èñëî a0 > 0, a0 = νi äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíûóñëîâèÿ22 a2 L,ω0 0&4dΦ(a) &&&< 2 3 L.b1&da &a=a0 ω0 a0b1 Φ(a0 ) = −Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε > 0 ñèñòåìàðåøåíèå âèäà (1.62) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè(1.70)(1.52)èìååò ïåðèîäè÷åñêîåy1 (0) = O(ε2 ),(1.71)y2 (0) = −a0 + O(ε),y3 (0) = On−2 (ε2 )è ñ ïåðèîäîìT =2π+ O(ε2 ).ω0Ñëåäñòâèå 2. Äëÿ íåëèíåéíîñòè (1.60)⎛⎞2L = ⎝b2 (c3 ∗ b3 + b1 )μ + b1 ω0 ⎠μ,34Φ(a0 ) = Mω0è èç(1.71)ñëåäóåòy1 (0) = O(ε2 ),y2 (0) =−−μ b2 (c3 ∗ b3 + b1 )μ + b1 ω0 + O(ε),3ω0 b1 My3 (0) = On−2 (ε2 ).(1.72)63Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ñîîòíîøåíèÿ (1.56), ïåðåôîðìóëèðóåì òåîðåìó 2ñëåäóþùèì îáðàçîì.Òåîðåìà 3.
Ïóñòü ñóùåñòâóåò ÷èñëî a0 > 0, a0 = νi äëÿ êîòîðîãî âûïîëíåíûóñëîâèÿηΦ(a0 ) =&2L,ω02 a204dΦ(a) &&&> − 2 3 L.η&da &a=a0ω0 a0(1.73)Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε > 0 ñèñòåìà (1.51) ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé(1.54) è íåëèíåéíîñòüþ (1.57) èìååò T -ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå, òàêîå ÷òîr∗ x(t) = a0 sin(ω0 t) + O(ε2 ),2π+ O(ε2 ).T =ω0Çäåñü, ñîãëàñíî (1.56), L îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ⎛ε⎝−ε⎞θ ∗r qϕ1 (σ) − ηω0 σ ⎠ϕ1 (σ)dσ = Lε3 + O(ε4 ).ω0(1.74)Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 2.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ñëåäóåò èçñëåäóþùèõ ëåìì.Äëÿ âûõîäà ñèñòåìû (1.52) è åãî ïðîèçâîäíîé, ó÷èòûâàÿ âèä íåëèíåéíîñòèϕ0 è ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèé (1.62), èìååìσ(t) = y1 (t) + c3 ∗ y3 (t) = − sin(ω0 t)y2 (0) + O(ε2 ),σ̇(t) = ẏ1 (t) + c3 ∗ ẏ3 (t) = −ω0 cos(ω0 t)y2 (0) + O(ε).(1.75)Ñëåäîâàòåëüíî, |σ̇ τ )| > κ > 0 ïðè |σ(τ )| ≤ ε. Òîãäà èç (1.75) è (1.62) ïîëó÷èìñóùåñòâîâàíèå ÷èñåë0 = τ0 < τ1 < τ2 < τ3 < τ4 < τ5 = T(1.76)64òàêèõ, ÷òî (ñì. Ðèñ.
1.21)τ1 :∀ t ∈ (0, τ1 ) σ(t) ∈ (0, ε),σ(τ1 ) = ε;τ2 :∀t ∈ (τ1 , τ2 ) σ(t) > ε,σ(τ2 ) = ε;τ3 :∀t ∈ (τ2 , τ3 ) σ(t) ∈ (−ε, ε), σ(τ3 ) = −ε;τ4 :∀t ∈ (τ3 , τ4 ) σ(t) < −ε,(1.77)σ(τ4 ) = −ε;τ5 = T : ∀t ∈ (τ4 , T ) σ(t) ∈ (−ε, 0), σ(T ) = 0.0 () 2ττ32τ42 (0)T 01τ1Ðèñóíîê 1.21: Ïðîåêöèÿ ðåøåíèÿ íà ïëîñêîñòü (y1 , y2 ) è íåëèíåéíîñòü ϕ0 (σ)âèäà (1.60)Îòñþäà è èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà (1.75) âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå65Ëåììà 4.ε+ O(ε2 ),ω0 |y2 (0)|π2ε+ O(ε2 ),−τ2 − τ 1 =ω0 ω0 |y2 (0)|2ετ3 − τ2 =+ O(ε2 ),ω0 |y2 (0)|π2ετ 4 − τ3 =+ O(ε2 ),−ω0 ω0 |y2 (0)|ε+ O(ε2 ).T − τ4 =ω0 |y2 (0)|τ1 =(1.78)Ëåììà 5. Èìååò ìåñòî îöåíêà2π/ω 02π/ω 0ϕ2 σ(t) dt =0ϕ2 − sin(ω0 t)y2 (0) dt + O(ε).(1.79)0Äîêàçàòåëüñòâî.Èç íåïðåðûâíîñòè σ(t) è îãðàíè÷åííîñòè íà êîíå÷íûõ ïðîìåæóòêàõôóíêöèè ϕ2 (σ) èìååì τ +mετ −mε(1.80)ϕ2 σ(t) dt = O(ε).Ïóñòü ±y2 (0) = νi .
Òîãäà, åñëè − sin(ω0 τ )y2 (0) = νi , ïîëó÷èì, ÷òî ω0 τ =π+ πk . Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε, ñîãëàñíî (1.75), âûïîëíåíà2îöåíêà |σ̇(τ )| > κ > 0. Òîãäà, äëÿ âñåõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè [tj , tj+1 ] âíåîêðåñòíîñòåé (τ − mε, τ + mε) ìîìåíòîâ âðåìåíè τ , ñîîòâåòñòâóþùèõ− sin(ω0 τ )y2 (0) = νi ,ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε èìååì− sin(ω0 t)y2 (0) = νiσ(t) = − sin(ω0 t)y2 (0) + O(ε ) = |νi |2∀t ∈ [tj , tj+1 ].(1.81)Ïóñòü ±y2 (0) = νi . Òîãäà, äëÿ âñåõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè [tj , tj+1 ] âíåîêðåñòíîñòåé (τ − mε, τ + mε) ìîìåíòîâ âðåìåíè ω0 τ =π2+ πk ïðè äîñòàòî÷íî66ìàëûõ ε èìååì1|σ(t)| ≤ | − sin(ω0 t)y2 (0)| + D1 ε = |νi | 1 − (ω0 mε)2 + O(ε3 ) + D1 ε2 ,2∀t ∈ [tj , tj+1 ].2Âûáèðàÿ m òàêèì, ÷òîáû1|νi | (ω0 m)2 > D1 ,2ïîëó÷èì− sin(ω0 t)y2 (0) = νi ,∀t ∈ [tj , tj+1 ].|σ(t)| < |y2 (0)| = |νi |(1.82)Èç (1.81) è (1.82), ó÷èòûâàÿ îãðàíè÷åííîñòü ïðîèçâîäíîé ϕ2 (σ) íàïðîìåæóòêàõ íåïðåðûâíîñòè, ïîëó÷èìϕ2 σ(t) = ϕ2 − sin(ω0 t)y2 (0) + O(ε2 ) t ∈ [tj , tj+1 ].(1.83)Çäåñü ïîëó÷åííûå îöåíêè (1.80) è (1.83) ÿâëÿþòñÿ ðàâíîìåðíûìè íà [0, 2π].Îòñþäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû.Ëåììà 6.
Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ε > 0 âûïîëíåíà îöåíêà⎞⎛2⎠ ε3 + O(ε4 ).L+bΦ|y(0)|y22 (T ) − y22 (0) = 2|y2 (0)| ⎝ 2122ω0 |y2 (0)|(1.84)Äîêàçàòåëüñòâî.Ðàññìîòðèì ôóíêöèþV (y1 , y2 ) = y12 + y22 ,ãäå y1 (t) è y2 (t) ðåøåíèÿ ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè èç Ω. Ïðîèçâîäíàÿ V (t) =V (y1 (t), y2 (t)) â ñèëó ñèñòåìû (1.52) èìååò âèäV̇ y1 (t), y2 (t) = 2 y1 (t)b1 + y2 (t)b2 ϕ0 σ(t) .Ñîãëàñíî (1.62), âûïîëíåíà îöåíêà V (T ) − V (0) = y22 (T ) − y22 (0) + O(ε4 ).(1.85)67Îöåíèì ïðèðàùåíèåV (T ) − V (0) =TT02 y1 (t)b1 + y2 (t)b2 ϕ0 σ(t) dt,V̇ (t)dt =(1.86)0ïðåäñòàâëÿÿ èíòåãðàë ïî îòðåçêó [0, T ] â âèäå ñóììû èíòåãðàëîâ ïî îòðåçêàì[τi , τi+1 ].'1) Ñîãëàñíî (1.77), ïðè t ∈ [τ1 , τ2 ] [τ3 , τ4 ] èç îïðåäåëåíèÿ íåëèíåéíîñòè(1.57) è (1.86) ïîëó÷èìV̇ (t)dt ='[τ1 ,τ2 ] [τ3 ,τ4 ]2 y1 (t)b1 + y2 (t)b2 ε3 ϕ2 σ(t) dt.'[τ1 ,τ2 ] [τ3 ,τ4 ]Çäåñü, ó÷èòûâàÿ (1.59) è âèä ðåøåíèé (1.62), èìååìV̇ (t)dt =2π/ω 0 '[τ1 ,τ2 ] [τ3 ,τ4 ]=22π/ω 02 y1 (t)b1 + y2 (t)b2 ε3 ϕ2 σ(t) dt =0− sin(ω0 t)y2 (0)b1 + cos(ω0 t)y2 (0)b2 ε3 ϕ2 − sin(ω0 t)y2 (0)02+ O(ε ) dt + O(ε4 ).Îòñþäà, ïðèìåíÿÿ (1.79) è ó÷èòûâàÿ (1.68), ïîëó÷èìV̇ (t)dt = −2y2 (0)b1 ε3'[τ1 ,τ2 ] [τ3 ,τ4 ]2π/ω 0sin(ω0 t)ϕ2 − sin(ω0 t)y2 (0) dt + O(ε4 ) =0= 2|y2 (0)|b1 ε3 Φ(|y2 (0)|) + O(ε4 ).''2) Ïðîâåäåì îöåíêè äëÿ t ∈ [0, τ1 ] [τ2 , τ3 ] [τ4 , T ].
Çäåñü, ñîãëàñíî (1.62),äëÿ y1 (t) è y2 (t) èìååì îöåíêèy1 (t) = σ(t) + O(ε2 ),⎧⎪⎪⎨ y2 (0)y2 (t) = cos(ω0 t)y2 (0) + O(ε2 ) = ⎪⎪⎩+ O(ε2 ),(t ∈ [0, τ1 ] [τ4 , T ];− y2 (0) + O(ε2 ),t ∈ [τ2 , τ3 ](1.87)68è äëÿ ïðîèçâîäíîé σ̇(t) â ñèëó ñèñòåìû (1.52) âûïîëíåíà îöåíêà⎧⎪⎪⎨σ̇(t) = ⎪− ω0 y2 (0) + b1 ϕ1 σ(t) + c3 ∗ b3 ϕ1 σ(t) + O(ε2 ),+ b1 ϕ1 σ(t) + c3 ∗ b3 ϕ1 σ(t) + O(ε2 ),⎪⎩ ω0 y2 (0)(t ∈ [0, τ1 ] [τ4 , T ];t ∈ [τ2 , τ3 ].(1.88)Ñëåäîâàòåëüíî, ñ ó÷åòîì îöåíîê (1.58) è (1.78),σ̇(t) = −ω0 cos(ω0 t) + O(ε) = 0è ìîæíî ðàññìîòðåòü ôóíêöèþ t(σ) îáðàòíóþ ê σ(t) íà ïðîìåæóòêàõçíàêîïîñòîÿíñòâà σ̇(t).
Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ (1.87) â âûðàæåíèå (1.85) äëÿ V̇ (t) èèñïîëüçóÿ (1.88), ïîëó÷èìτ1εV̇ (t)dt =000TV̇ (t)dt =τ4τ3−εV̇ (t)dt = −0σb1 + y2 (0)b2 ϕ1 (σ)V̇ t(σ) dσ = 2dσ + O(ε4 ),∗−ω0 y2 (0) + b1 ϕ1 (σ) + c3 b3 ϕ1 (σ)σ̇ t(σ)−εε−ετ2εV̇ t(σ)σb1 + y2 (0)b2 ϕ1 (σ) dσ = 2dσ + O(ε4 ),∗−ω0 y2 (0) + b1 ϕ1 (σ) + c3 b3 ϕ1 (σ)σ̇ t(σ)0εσb1 − y2 (0)b2 ϕ1 (σ)V̇ t(σ) dσ = −2dσ + O(ε4 ).∗ω y (0) + b1 ϕ1 (σ) + c3 b3 ϕ1 (σ)σ̇ t(σ)−ε 0 2Ñóììèðóÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ, èìååì''V̇ (t)dt =[0,τ1 ] [τ2 ,τ3 ] [τ4 ,T ]⎛ε=2 ⎝−ε⎞b1 σ − b2 y2 (0)b1 σ + b2 y2 (0)⎠−∗∗−ω0 y2 (0) + c3 b3 ϕ1 (σ) + b1 ϕ1 (σ) ω0 y2 (0) + c3 b3 ϕ1 (σ) + b1 ϕ1 (σ)ϕ1 (σ)dσ + O(ε4 ) =ε=4−ε(b2 (c3 ∗ b3 + b1 )ϕ1 (σ) + b1 ω0 σ)44ϕLε3 + O(ε4 ).(σ)dσ+O(ε)=122ω0 |y2 (0)|ω0 |y2 (0)|Èç ëåìì 3 è 6 ñëåäóåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâ (1.69) èìååò ìåñòîâêëþ÷åíèå F Ω ⊂ Ω, èç êîòîðîãî ïî òåîðåìå Áðàóýðà ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåòíåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ F è, çíà÷èò, ñóùåñòâóåò ïåðèîäè÷åñêîåðåøåíèå ñèñòåìû (1.52) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè èç ìíîæåñòâà Ω.69Ïðèìåíèì ïðåäëîæåííûé âûøå àëãîðèòì äëÿ ïîèñêà ïåðèîäè÷åñêèõðåøåíèé ñèñòåì, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì Àéçåðìàíà è Êàëìàíà.Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìóẋ1 = −ω0 x2 + b1 ϕj (x1 + c3 ∗ x3 ),ẋ2 = ω0 x1 + b2 ϕj (x1 + c3 ∗ x3 ),(1.89)ẋ3 = A3 x3 + b3 ϕj (x1 + c3 ∗ x3 )è êîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèéj⎧⎪⎪⎨ μσ,∀ |σ| ≤ εj ,⎪⎩ M sign(σ)ε3 ,j∀ |σ| > εj ,ϕ (σ) = ⎪)j μεj =, j = 1, .
. . , m,m Móäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ Àéçåðìàíà äëÿ ñåêòîðà (0, μ2 ).(1.90)Çäåñü μ, M íåêîòîðûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà è μ < μ2 . Áóäåì âûáèðàòü m òàê, ÷òîáûãðàôèêè ôóíêöèé ϕj è ϕj+1 ìàëî îòëè÷àëèñü äðóã îò äðóãà.Çäåñü äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëîãî εj = ε â ñèñòåìå (1.89), ñîãëàñíî (1.72),ñóùåñòâóåò ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå ñ íà÷àëüíûìè äàííûìèx1 (0) = O(ε2 ),x2 (0) =−−μ b2 (c3 ∗ b3 + b1 )μ + b1 ω0 + O(ε),3ω0 b1 M(1.91)x3 (0) = O(ε2 ).Íà ïåðâîì øàãå àëãîðèòìà ïðè j = 1 áóäåì äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãîèíòåðâàëà âðåìåíè [0, T ] âû÷èñëÿòü ðåøåíèå x1 (t) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè⎛⎝0, −−⎞μ b2 (c3 ∗ b3 + b1 )μ + b1 ω0 , 0⎠ .3ω0 b1 M(1.92)Åñëè â ïðîöåññå âû÷èñëåíèÿ ðåøåíèå ñòðåìèòñÿ ê ïåðèîäè÷åñêîìó, òî, ñîãëàñíîàëãîðèòìó, áóäåì âû÷èñëÿòü ðåøåíèå ñèñòåìû ñ ε2 , áåðÿ â êà÷åñòâå íà÷àëüíûõäàííûõ çíà÷åíèå x1 (T ).70Äëÿ èëëþñòðàöèè îïèñàííîãî çäåñü àëãîðèòìà ðàññìîòðèì ñèñòåìóẋ1 = −x2 − 10 ϕ(x1 − 10.1 x3 − 0.1 x4 ),ẋ2 = x1 − 10.1 ϕ(x1 − 10.1 x3 − 0.1 x4 ),(1.93)ẋ3 = x4 ,ẋ4 = −x3 − x4 + ϕ(x1 − 10.1 x3 − 0.1 x4 ).Çäåñü äëÿ ϕ(σ) = kσ àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ëèíåéíîé ñèñòåìû (1.93)èìååò ìåñòî ïðè k ∈ (0, 9.9), à äëÿ íåëèíåéíîñòè ϕ(σ) = ϕ0 (σ) c äîñòàòî÷íîìàëûì ε ïî òåîðåìå 1 ñóùåñòâóåò ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå.Èñïîëüçóÿ âûøåèçëîæåííûé àëãîðèòì, ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëÿòü3ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
