Диссертация (1145368), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ïðè ÷èñëåííîì èíòåãðèðîâàíèå ñèñòåìû òðàåêòîðèè ñ íà÷àëüíûìèäàííûìè èç ìàëîé îêðåñòíîñòè X0 íà äâóìåðíîì íåóñòîé÷èâîé ìíîãîîáðàçèèïðèòÿãèâàþòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ∞ ïðè t → +∞ (ñì.Ðèñ. 1.15 ñëåâà,∗ñåðûå êðèâûå), à ñåïàðàòðèñû X3,4ëèáî ñòðåìÿòñÿ ê ∞ ïðè t → +∞ ëèáî∗ïðèòÿãèâàþòñÿ ê óñòîé÷èâûì ñîñòîÿíèÿì ðàâíîâåñèÿ X1,2(ñì. Ðèñ. 1.15 ñëåâà,ñèíèå êðèâûå).Ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå òðàåêòîðèé ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè íà ñôåðå ðàäèóñà0.05 ñ öåíòðîì â X0 .
Äëÿ ýòîãî íà ñôåðå áûëî ñëó÷àéíî âûáðàíî ìíîæåñòâîòî÷åê è ïðîâåäåíî èíòåãðèðîâàíèå ñèñòåìû. ðåçóëüòàòå ìîäåëèðîâàíèÿâñå òðàåêòîðèè (ñì. Ðèñ. 1.15 ñïðàâà) ëèáî óõîäèëè íà áåñêîíå÷íîñòü ëèáî38*X*13X**X40.80.1x340.8X31X *000.6−0.1−0.1x3x30.60.4X**X00*X2X *00−0.210−1−5x1−0.1x2*210−15−0.5001X0.1−0.2−1.550x1X*10.210.20.1000.400.511.5x2−5x2x1Ðèñóíîê 1.15: Ìîäåëü Ðàáèíîâè÷à-Ôàáðèêàíòà.
a = 0.1, b = 0.2715.∗ïðèòÿãèâàëèñü ê óñòîé÷èâûì ñîñòîÿíèÿì ðàâíîâåñèÿ X1,2è íå ïðèòÿãèâàëèñüê àòòðàêòîðó (ñì. Ðèñ. 1.16). Òàêèì, îáðàçîì ñ òî÷êè çðåíèÿ, ïðîäåëàííûõ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîì àòòðàêòîð ÿâëÿåòñÿ ñêðûòûì [218].1.3 Àíàëèòè÷åñêîå ïîñòðîåíèå ñêðûòûõ êîëåáàíèé âäâóìåðíûõ ïîëèíîìèàëüíûõ ñèñòåìàõÎïðåäåëåíèå ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èíÂû÷èñëåíèå ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí áûëî ðàññìîòðåíî â êëàññè÷åñêèõðàáîòàõÀ.Ïóàíêàðå[248]èÀ.Ì.Ëÿïóíîâà[12]ïðèàíàëèçåóñòîé÷èâîñòè/íåóñòîé÷èâîñòè âûðîæäåíîãî (ñëàáîãî) ôîêóñà â äâóìåðíûõñèñòåìàõ.ðåøåíèéÇíàê ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû îïðåäåëÿåò ðàññêðóòêó/çàêóðòêóñèñòåìûâìàëîéîêðåñòíîñòèâûðîæäåííîãîôîêóñàóñòîé÷èâîñòü/íåóñòîé÷èâîñòü.Âîçìîæíî èç-çà ðàçëè÷íûõ ïåðåâîäîâ ðàáîò Áàóòèíà ñ ðóññêîãî íààíãëèéñêèé è áîëüøîãî ÷èñëà ó÷åíûõ, êîòîðûå îäíîâðåìåííî íà÷àëè ðàçâèâàòüèäåè Áàóòèíà, â àíãëîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå ïîÿâèëîñü íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõòåðìèíîâ (Liapunov èëèLyapunov quantities èëè coecients, Poincare èëèPoincare-Lyapunov constants, focus values, foci values è äðóãèå), èñïîëüçóåìûõäëÿ õàðàêòåðèñòèêè ïîâåäåíèÿ ñèñòåìû â îêðåñòíîñòè ôîêóñà.
Ïðåäñòàâëÿåòñÿåñòåñòâåííûì [180] äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí èñïîëüçîâàòü òåðìèíLyapunov valuesèëèLyapunov focus values,òàê êàê â ñìûñëå àíàëèçà39X1.5*4X *31*x3X10−4−2*X*X2 00.5−2−1010242x1x2Ðèñóíîê 1.16: Ñêðûòûé àòòðàêòîð â ñèñòåìå Ðàáèíîâè÷à-Ôàáðèêàíòà.óñòîé÷èâîñòè ýòî ðàçâèòèå èäåè àíàëèçà eigen value è ïåðâûé ïîäõîä êâû÷èñëåíèþ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí áûë îñíîâàí íà ïîñòðîåíèè ôóíêöèèËÿïóíîâà.Ââåäåì ïîíÿòèå ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí, ñëåäóÿ ðàáîòàì [159,166,185,186,232].Ðàññìîòðèì äîñòàòî÷íî ãëàäêóþ äâóìåðíóþ ñèñòåìódx= F (x, y),dtdy= G(x, y),dt(1.26)ãäå F (0, 0) = G(0, 0) = 0 (ò.å. òî÷êà (0, 0) ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîéñèñòåìû).
Çàïèøåì ñèñòåìó (1.26) â âèäådx= f10 x + f01 y + f (x, y),dtdy= g10 x + g01 y + g(x, y),dt(1.27)ãäå ðàçëîæåíèå ôóíêöèé f è g íà÷èíàåòñÿ ñ ÷ëåíîâ íå íèæå âòîðîãî ïîðÿäêà.40Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â îòêðûòîé îêðåñòíîñòè U ðàäèóñà RU òî÷êè(x, y) = (0, 0) ïðàâàÿ ÷àñòü ñèñòåìû èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûån-ãî ïîðÿäêàf (·, ·), g(·, ·) : R × R → R ∈ C n (U )(1.28)è âûïîëíåíî ïðåäñòàâëåíèåf (x, y) =g(x, y) =nk+j=2nfkj xk y j + o (|x| + |y|)n = fn (x, y) + o (|x| + |y|)n ,gkj x y + o (|x| + |y|)k jn= gn (x, y) + o (|x| + |y|) .n(1.29)k+j=2Ðàññìîòðèì ìàòðèöó ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ñèñòåìû â íóëåâîé ñòàöèîíàðíîéòî÷êå⎛⎝A(0,0) = ⎜⎞f10 f01g10 g01⎟⎠(1.30)è, ââåäÿ îáîçíà÷åíèÿσ = TrA(0,0) = f10 + g01 ,Δ = det A(0,0) = f10 g01 − f01 g10 ,çàïèøåì åå ñîáñòâåííûå ÷èñëàλ1,2 =σ±2 2σ4− Δ.Ïóñòü ìàòðèöà A(0,0) ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ñèñòåìû èìååò äâà ÷èñòî ìíèìûõñîáñòâåííûõ ÷èñëà (ò.å.
σ = 0 è Δ > 0).  ýòîì ñëó÷àå, íå óìàëÿÿ îáùíîñòè(ò.å. âñåãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ íåîñîáàÿ ëèíåéíàÿ çàìåíà ïåðåìåííûõ), ìîæíîñ÷èòàòü, ÷òîf10 = 0,è ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìóf01 = −1,g10 = 1,dx= −y + f (x, y),dtdy= x + g(x, y).dtg01 = 0(1.31)41Çäåñü â ñèñòåìå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿdx= −y,dtdy=xdt(1.32)äëÿ ñèñòåìû (1.31) ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû ðàâíû ±i è âñå òðàåêòîðèèñèñòåìû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè, à ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà(0, 0) íàçûâàåòñÿ öåíòðîì.Äëÿ èññëåäîâàíèÿ âëèÿíèÿ íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâf (x, y) è g(x, y) íà ïîâåäåíèå òðàåêòîðèé ñèñòåìû (1.31) â ìàëîé îêðåñòíîñòèñòàöèîíàðíîé òî÷êè ðàññìîòðèì, ñëåäóÿ ìåòîäó Ïóàíêàðå, ïåðåñå÷åíèÿòðàåêòîðèè (1.31) ñ ïðÿìîé x = 0.Âûïóñòèì â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 èç òî÷êè (0, h) íà ïðÿìîé x = 0òðàåêòîðèþ x(t, h), y(t, h)x(0, h), y(0, h) = 0, hè îáîçíà÷èì ÷åðåç T (h) âðåìÿ îáîðîòà òðàåêòîðèè âðåìÿ äî ñëåäóþùåãîïåðåñå÷åíèÿ òðàåêòîðèè ñ ïðÿìîé x = 0 (äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ h òàêîå âðåìÿñóùåñòâóåò è êîíå÷íî, òàê êàê ïðàâûå ÷àñòè ñèñòåì (1.31) è (1.32) îòëè÷àþòñÿíà o(|x| + |y|) â îêðåñòíîñòè íóëÿ).
Òîãäàx(T (h)) = 0,à y(T (h)) ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèáëèæàòü îòðåçêîì ðÿäà ïî ñòåïåíÿì hy(T (h)) = h + L 2 h2 + L 3 h3 + ...(1.33) Çäåñü ïåðâûé íåíóëåâîé êîýôôèöèåíò Lm íàçûâàåòñÿ ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíîé,îïðåäåëÿåòóñòîé÷èâîñòüèëèíåóñòîé÷èâîñòüõàðàêòåðèçóåò çàêðóòêó/ðàñêðóòêó òðàåêòîðèè.ñòàöèîíàðíîéòî÷êèÌîæíî ïîêàçàòü,è÷òîïåðâûé íåíóëåâîé êîýôôèöèåíò áóäåò îáÿçàòåëüíî èìåòü íå÷åòíûé íîìåð m = (2k + 1). Çíà÷åíèå L 2k+1 ÷àñòî íàçûâàþò k -îé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíîéLk = L 2k+1 ,à ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ ñëàáûì ôîêóñîì k -ãî ïîðÿäêà.42Ðèñóíîê 1.17: Îïðåäåëåíèå ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû.43Àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû è äëÿ êîìïëåêñíûõñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ (1.30) â ñëó÷àå σ = 0.  ýòîì ñëó÷àå ââîäèòñÿ ïîíÿòèå íóëåâîé ëÿïóíîâñêîé âåëè÷èíû L0 = L1y(T (h)) = (1 + L 1 )h + o(h),êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåò ýêñïîíåíöèàëüíûé ðîñò ðåøåíèé ñèñòåìû (àíàëîãè÷íîëÿïóíîâñêèì ýêñïîíåíòàì èëè õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ïîêàçàòåëÿìè, ñì.
[177]),îáóñëîâëåííûé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë.Îòìåòèì, ÷òî, ñëåäóÿ ðàáîòå À.Ì. Ëÿïóíîâà [12], àíàëîãè÷íóþ ïðîöåäóðóèññëåäîâàíèÿóñòîé÷èâîñòèìîæíîïðîâîäèòüèäëÿñèñòåìáîëüøåéðàçìåðíîñòè (â ñëó÷àå, êîãäà ó ëèíåéíîé ñèñòåìû äâà ÷èñòî ìíèìûõ êîðíÿè îñòàëüíûå îòðèöàòåëüíûå).Ðàçâèòèåìåòîäîââû÷èñëåíèÿèàíàëèçàëÿïóíîâñêèõâåëè÷èíñòèìóëèðîâàëîñü êàê ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèìè ïðîáëåìàìè (16-àÿ ïðîáëåìàÃèëüáåðòà, îïðåäåëåíèå öèêëè÷íîñòè ôîêóñà, ðàçëè÷åíèå öåíòðà è ôîêóñà),òàê è ïðèêëàäíûìè çàäà÷àìè (èññëåäîâàíèå ãðàíèö îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè èâîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé).Òàê,ìåòîäðàçíîíàïðàâëåííîìÍ.Í.Áàóòèíàèçìåíåíèè[2],çíà÷åíèéîñíîâàííûéíàíåçàâèñèìîìïîñëåäîâàòåëüíûõíóëåâûõëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ïðè ïîìîùè âîçìóùåíèé êîýôôèöèåíòîâ, ïîçâîëÿåòïîëó÷àòü àíàëèòè÷åñêèå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ â îêðåñòíîñòè ñîñòîÿíèÿðàâíîâåñèÿ ìàëûõ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ (òàê íàçûâàåìàÿ ëîêàëüíàÿ 16-àÿïðîáëåìà Ãèëüáåðòà [124]) â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ïðàâîé÷àñòè ñèñòåìû.
Äëÿ äâóìåðíûõ êâàäðàòè÷íûõ ñèñòåì ýòà òåõíèêà ïîçâîëÿåòïîñòðîèòü òðè ìàëûõ ïðåäåëüíûõ öèêëà âîêðóã îäíîãî èç ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ(ñëàáîãî ôîêóñà) [2], à äëÿ äâóìåðíûõ ñèñòåì ñ ïðàâîé ÷àñòüþ â âèäåïîëèíîìîâ n-îé ñòåïåíè ïîëó÷èòü îöåíêó ñíèçó êîëè÷åñòâà ïðåäåëüíûõöèêëîâ (ñì., íàïðèìåð, îáçîðû [209, 216, 223]). Çäåñü îñíîâíîé ïðîáëåìîé (ñì.,íàïðèìåð, [262, 292]) ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìûõ íóëåé â âûðàæåíèÿõäëÿ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí (îïðåäåëåíèå òàê íàçûâàåìîãî áàçèñà èäåàëàÁàóòèíà, îñíîâàííîãî íà ïîëèíîìèàëüíûõ âûðàæåíèÿõ ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èíâ òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû).44 èíæåíåðíîé ìåõàíèêå ñ âû÷èñëåíèåì ëÿïóíîâñêèõ âåëè÷èí ñâÿçàíâàæíûé âîïðîñ î ïîâåäåíèè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðàáëèçêèõ ê ãðàíèöå îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè.
Ñëåäóÿ ðàáîòå Í.Í. Áàóòèíàðàçëè÷àþò îïàñíûå è áåçîïàñíûå ãðàíèöû, ìàëîå íàðóøåíèå êîòîðûõâëå÷åò ìàëûå (îáðàòèìûå) èëè íåîáðàòèìûå èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû.Òàêèå èçìåíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò, íàïðèìåð, ñöåíàðèÿì ìÿãêîãî è æåñòêîãîâîçáóæäåíèÿ êîëåáàíèé, ðàññìîòðåííûì À.À. Àíäðîíîâûì. Òàê, â ñëó÷àåäâóõ êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ëèíåéíîé ÷àñòè äâóìåðíîéñèñòåìû â îêðåñòíîñòè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè ïðè ïåðåñå÷åíèè ãðàíèöû îáëàñòèóñòîé÷èâîñòè îò îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè êîðíåéê ïîëîæèòåëüíûì, åñëè ïåðâàÿ ëÿïóíîâñêàÿ âåëè÷èíà îòðèöàòåëüíà, òîïîÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûé óñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë, êîòîðûé ñòÿãèâàåòñÿâ òî÷êó ïðè îáðàòíîì èçìåíåíèè ïàðàìåòðà, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò áåçîïàñíîéãðàíèöå. Íàïðîòèâ, åñëè ïåðâàÿ ëÿïóíîâñêàÿ âåëè÷èíà ïîëîæèòåëüíà, ïðèìàëûõ èçìåíåíèÿõ òðàåêòîðèÿ ìîæåò îòîéòè áåñêîíå÷íî äàëåêî îò ñîñòîÿíèÿðàâíîâåñèÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò îïàñíîé ãðàíèöå. íàñòîÿùåå âðåìÿ ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ìåòîäîâ íàõîæäåíèÿ ëÿïóíîâñêèõâåëè÷èí è èõ êîìïüþòåðíûõ ðåàëèçàöèé, êîòîðûå ïîçâîëÿþò îïðåäåëÿòüëÿïóíîâñêèå âåëè÷èíû â âèäå ñèìâîëüíûõ âûðàæåíèé, çàâèñÿùèõ îòêîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé ñèñòåìû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
