Диссертация (1145368), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Äëÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû îãðàíè÷åííîå çàìêíóòîåèíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî K íàçûâàåòñÿ:(1) àòòðàêòîðîì, åñëè îíî ëîêàëüíî ïðèòÿãèâàþùåå ìíîæåñòâî (ò.å.âûïîëíÿåòñÿ Ñâîéñòâî 1);(2) ãëîáàëüíûì àòòðàêòîðîì, åñëè îíî ãëîáàëüíî ïðèòÿãèâàþùååìíîæåñòâî (ò.å. âûïîëíÿåòñÿ Ñâîéñòâî 2);(3) B -àòòðàêòîðîì, åñëè îíî ðàâíîìåðíî ëîêàëüíî ïðèòÿãèâàþùååìíîæåñòâî (ò.å.
âûïîëíÿåòñÿ Ñâîéñòâî 3);(4) ãëîáàëüíûì B -àòòðàêòîðîì, åñëè îíî ðàâíîìåðíî ãëîáàëüíîïðèòÿãèâàþùåå ìíîæåñòâî (ò.å. âûïîëíÿåòñÿ Ñâîéñòâî 4).Çàìå÷àíèå 1.  îïðåäåëåíèÿõ, äàííûõ âûøå, çàìêíóòîñòü ïðåäïîëàãàåòñÿäëÿ åäèíñòâåííîñòè, òàê êàê çàìûêàíèå ëîêàëüíî ïðèòÿãèâàþùåãîèíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà K òàêæå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî ïðèòÿãèâàþùèìèíâàðèàíòíûì ìíîæåñòâîì è, íàïðèìåð, ìîæíî ðàññìîòðåòü àòòðàêòîðáåç íåóñòîé÷èâîé ïåðèîäè÷åñêîé òðàåêòîðèè, åñëè îíà ñîäåðæèòñÿ âàòòðàêòîðå. Çàìåòèì, ÷òî åñëè äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà îïðåäåëåíà äëÿîòðèöàòåëüíûõ t, òîãäà ëîêàëüíî ïðèòÿãèâàþùåå èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâîñîäåðæèò òîëüêî öåëûå òðàåêòîðèè, ò.å., åñëè u0 ∈ K , òî ϕt(u0) ∈ K äëÿt ∈ R [78].Çàìå÷àíèå 2.
Èç ðàññìîòðåííîãî âûøå îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òîãëîáàëüíûé B-àòòðàêòîð òàêæå ÿâëÿåòñÿ ãëîáàëüíûì àòòðàêòîðîì(è àòòðàêòîðîì). Ïîýòîìó ÷àñòî ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ìèíèìàëüíîãîãëîáàëüíîãî àòòðàêòîðà è ìèíèìàëüíî àòòðàêòîðà [78, 79]: ìèíèìàëüíîåîãðàíè÷åííîå çàìêíóòîå èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî, îáëàäàþùèå Ñâîéñòâîì 215(èëè Ñâîéñòâîì 1); òàêèì îáðàçîì ìèíèìàëüíûé ëîêàëüíûé àòòðàêòîðÿâëÿåòñÿ àòòðàêòîðîì, êîòîðûé íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäåîáúåäèíåíèÿ ëîêàëüíûõ àòòðàêòîðîâ). Äàëåå ïîä ãëîáàëüíûì àòòðàêòîðîìáóäåì ïîíèìàòü ìèíèìàëüíûé ãëîáàëüíûé àòòðàêòîð.Îïðåäåëåíèå 3. Äëÿ àòòðàêòîðà K îáëàñòüþ ïðèòÿæåíèÿ (basin of attraction) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîβ(K) ⊆ U ⊆ Rnâñåõu0 ∈ Uòàêèõ, ÷òîlim ρ(K, ϕt (u0 )) = 0.t→+∞Çàìåòèì,÷òî ñ âû÷èñëèòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ,íå ïðåäñòàâëÿåòñÿâîçìîæíûì ÷èñëåííî ïðîâåðèòü Ñâîéñòâî 1 äëÿ âñåõ òî÷åê ôàçîâîãîïðîñòðàíñòâà äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû.Åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì ÿâëÿåòñÿáîëåå ñëàáîå òðåáîâàíèå ïðèòÿãèâàíèÿ:ïî÷òè âåçäå èëè íà ìíîæåñòâåïîëîæèòåëüíîé ìåðû (ñì., íàïðèìåð, [230]).Îáû÷íîâ÷èñëåííûõãëîáàëüíûé àòòðàêòîð).ýêñïåðèìåíòàõíàáëþäàåòñÿàòòðàêòîð(èëèÏîíÿòèå B-àòòðàêòîðà â îñíîâíîì èñïîëüçóåòñÿ âòåîðèè ðàçìåðíîñòè, ãäå ðàññìàòðèâàþòñÿ ïîêðûòèÿ èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâàøàðàìè.
Èç ðàâíîìåðíîãî ïðèòÿæåíèÿ â Ñâîéñòâå 3 ñëåäóåò, ÷òî ãëîáàëüíûéB-àòòðàêòîð ñîäåðæèò ìíîæåñòâî ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê S è ñîîòâåòñòâóþùèåíåóñòîé÷èâûå ìíîãîîáðàçèÿ W u (S) = {u0 ∈ Rn | limt→−∞ ρ(S, ϕt (u0 )) = 0}(ñì., íàïðèìåð, [78, 79]).Òî æå ñàìîå âûïîëíåíî è äëÿ B-àòòðàêòîðà,åñëè ðàññìàòðèâàåìàÿ îêðåñòíîñòü Kε â Ñâîéñòâå 3 ñîäåðæèò íåêîòîðûåèç ñòàöèîíàðíû òî÷åê S . Ýòî ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü àíàëèòè÷åñêèå îöåíêè èôîðìóëû ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè äëÿ B-àòòðàêòîðîâ, òàê êàê ëÿïóíîâñêàÿðàçìåðíîñòü â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêè.Ñ âû÷èñëèòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ ÷èñëåííàÿ ïðîâåðêà Ñâîéñòâà 3 òàêæåÿâëÿåòñÿ òðóäíîé çàäà÷åé.Ïîýòîìó, åñëè îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ ñîäåðæèòíåóñòîé÷èâûå ìíîãîîáðàçèÿ ñåäëîâûõ ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê, òî âû÷èñëåíèåìèíèìàëüíîãî ëîêàëüíîãî àòòðàêòîðà è íåóñòîé÷èâûõ ìíîãîîáðàçèé ìîæåòðàññìàòðèâàòüñÿ â êà÷åñòâå àïïðîêñèìàöèè B-àòòðàêòîðà.161.2 Ñàìîâîçáóæäàþùèåñÿ è ñêðûòûå àòòðàêòîðûÈçó÷åíèå àâòîíîìíûõ (íåâîçìóùåííûõ) ñèñòåì îáû÷íî íà÷èíàåòñÿ ñàíàëèçà ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ, êîòîðûå ìîãóò áûòü ëåãêî íàéäåíû ÷èñëåííîèëè àíàëèòè÷åñêè.Ïîýòîìó ñ âû÷èñëèòåëüíîé òî÷êè çðåíèÿ, åñòåñòâåííîïðåäëîæèòü ñëåäóþùóþ êëàññèôèêàöèþ àòòðàêòîðîâ, êîòîðàÿ îñíîâàíà íàñâÿçè îáëàñòåé ïðèòÿæåíèÿ è ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ.Îïðåäåëåíèå 4.[160, 169, 180, 188, 191, 192]Àòòðàêòîðíàçûâàåòñÿñàìîâîçáóæäàþùèìñÿ (self-excited attractor), åñëè äëÿ îäíîãî èç ñîñòîÿíèéðàâíîâåñèÿ ëþáàÿ åãî îêðåñòíîñòü ïåðåñåêàåòñÿ ñ îáëàñòüþ ïðèòÿæåíèÿàòòðàêòîðà, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå àòòðàêòîð íàçûâàåòñÿ ñêðûòûì (hiddenattractor).Ðàññìîòðåíèå ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ è ââåäåíèå ñàìîâîçáóæäàþùèõñÿ èñêðûòûõ àòòðàêòîðîâ ïî îòíîøåíèþ ê ñîñòîÿíèÿì ðàâíîâåñèÿ ÿâëÿþòñÿåñòåñòâåííûìè äëÿ àâòîíîìíûõ ñèñòåì.Îäíàêî, àíàëîãè÷íîå îïðåäåëåíèåìîæíî ðàññìàòðèâàòü ïî îòíîøåíèþ ê äðóãèì îáúåêòàì, êîòîðûå ìîãóòáûòü ýôôåêòèâíî íàéäåíû è èñïîëüçîâàíû äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïåðåõîäíîãîïðîöåññà äëÿ âèçóàëèçàöèè àòòðàêòîðà.Ïðè ýòîì òàêèå îáúåêòû ìîãóòðàññìàòðèâàòüñÿ êàê äëÿ ñàìîé ñèñòåìû òàê è äëÿ åå ìîäèôèêàöèé.Íàïðèìåð, â [94, 251] äëÿ ýòîãî ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü òî÷êè ðàâåíñòâàíóëþ âòîðîé ïðîèçâîäíîé (perpetual points), à â [143] ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿêîìïëåêñèôèöèðîâàííîé ñèñòåìû.
Àíàëîãè÷íî äëÿ ýòîãî ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ èëè ãîìîêëèíè÷åñêèå òðàåêòîðèè (íåêîòîðûå ïðèìåðûñîîòâåòñòâóþùåãî òåîðåòè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ ìîæíî íàéòè â [67,208,229,272];îäíàêî ÷àñòî íàëè÷èå õàîñà â ðàññìîòðåííûõ âûøå ïðèìåðàõ íå âëå÷åò çàñîáîé ñóùåñòâîâàíèå àòòðàêòîðà, êîòîðûé ìîæíî âèçóàëèçîâàòü ñòàíäàðòíûìèñðåäñòâàìè).Äëÿ íåàâòîíîìíûõ ñèñòåì, â çàâèñèìîñòè îò ôèçè÷åñêîé ïîñòàíîâêèçàäà÷è, ïîíÿòèå ñàìîâîçáóæäàþùèõñÿ è ñêðûòûõ àòòðàêòîðîâ ìîæíî ââåñòèïî îòíîøåíèþ ê ñòàöèîíàðíûì òðàåêòîðèÿì ðàññìàòðèâàåìîé íåàâòîíîìíîéñèñòåìû (x(t) ≡ x0 ∀t) èëè ñîñòîÿíèÿì ðàâíîâåñèÿ àâòîíîìíîé ñèñòåìûâ ìîìåíò âðåìåíè t = t0 , èëè ê ñîñòîÿíèÿì ðàâíîâåñèÿ ñîîòâåòñòâóþùåéàâòîíîìíîé ñèñòåìû áåç âîçáóæäåíèÿ.171.2.1 Êëàññè÷åñêèå ïðèìåðû ñàìîâîçáóæäàþùèõñÿàòòðàêòîðîâÊëàññè÷åñêàÿ ñèñòåìà ËîðåíöàÊëàññè÷åñêàÿñèñòåìàËîðåíöà[219],ÿâëÿþùàÿñÿóïðîùåííîéìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ êîíâåêöèè â àòìîñôåðå,ẋ = σ(y − x),ẏ = ρx − y − xz,ż = −βz + xy.ñòàëà ïåðâîé øèðîêî èçâåñòíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìîé, äëÿ êîòîðîé áûëâèçóàëèçîâàí õàîòè÷åñêèé àòòðàêòîð.ïàðàìåòðîâ σÝòîò àòòðàêòîð äëÿ êëàññè÷åñêèõ= 10, β = 8/3, ρ = 28 ÿâëÿåòñÿ ñàìîâîçáóæäàþùèìñÿïî îòíîøåíèþ ê íóëåâîìó è äâóì ñèììåòðè÷íûì íåíóëåâûì ñîñòîÿíèÿìðàâíîâåñèÿ, ÷òî è ïîçâîëèëî Ý.
Ëîðåíöó ëåãêî åãî îáíàðóæèòü ïðè ÷èñëåííîììîäåëèðîâàíèè ñèñòåìû.(ñì.50504040S1S2×èñëåííî ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî5040S1S220z202050S01050S010−1000−20010x20−5050S01000−20S1S230z30z30Ðèñ. 1.1).y−1000−2001020−50y−10x01020−50yxÐèñóíîê 1.1: ×èñëåííàÿ âèçóàëèçàöèÿ êëàññè÷åñêîãî ñàìîâîçáóæäàþùåãîñÿàòòðàêòîðà â ñèñòåìå Ëîðåíöà. Àòòðàêòîð ÿâëÿåòñÿ ñàìîâîçáóæäàþùèìñÿ ïîîòíîøåíèþ êî âñåì òðåì ñîñòîÿíèÿì ðàâíîâåñèÿ è ìîæåò áûòü âèçóàëèçîâàíïðè ïîìîùè ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè èç îêðåñòíîñòèëþáîãî èç ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèé S0,1,2 . Ïàðàìåòðû: r = 28, σ = 10, b = 8/3.äëÿ êëàññè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ àòòðàêòîð íà Ðèñ.
1.1 ÿâëÿåòñÿ ãëîáàëüíûì èâ ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå íåò äðóãèõ ëîêàëüíûõ àòòðàêòîðîâ.Îäíàêî, äëÿäðóãèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, íàïðèìåð σ = 10, β = 8/3, ρ = 24.5, õàîòè÷åñêèéàòòðàêòîð ìîæåò áûòü ñàìîâîçáóæäàþùèìñÿ ïî îòíîøåíèþ òîëüêî ê íóëåâîìóñîñòîÿíèþ ðàâíîâåñèÿ.
Äëÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ â ñèñòåìå Ëîðåíöà íàáëþäàåòñÿ18ìóëüòèóñòîé÷èâîñòü, ò.å. ñîñóùåñòâîâàíèå íåñêîëüêèõ ëîêàëüíûõ àòòðàêòîðîâ. ñëó÷àå ìóëüòèóñòîé÷èâîñòè âèçóàëèçàöèÿ òîãî èëè äðóãîãî àòòðàêòîðàçàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëüíûõ äàííûõ (ñì. Ðèñ. 1.2). Càìîâîçáóæäàþùèåñÿ50504040S1S240S30S12−10010S01020−5050S010000−20205050S0100−20yxS12zz2020S30z3050−1000−2001020−50y−1001020−50yxxÐèñóíîê 1.2: (a) ×èñëåííàÿ âèçóàëèçàöèÿ ñàìîâîçáóæäàþùåãîñÿ àòòðàêòîðàËîðåíöà òðàåêòîðèåé ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè èç îêðåñòíîñòè íóëåâîãîñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ S0 . (b), (c) Òðàåêòîðèè ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè(∓16.2899, ∓0.0601, 42.1214) ñòðåìÿòñÿ ê ñîñòîÿíèÿì ðàâíîâåñèÿ S2,1 .Ïàðàìåòðû: r = 24.5, σ = 10, b = 8/3.àòòðàêòîðû â ìóëüòèóñòîé÷èâîé ñèñòåìå ìîãóò áûòü âèçóàëèçîâàíû ïðèïîìîùè ñòàíäàðòíîé âû÷èñëèòåëüíîé ïðîöåäóðû1 , â òî âðåìÿ êàê â îáùåìñëó÷àå íåò ñòàíäàðòíûõ ìåòîäîâ äëÿ ïðåäñêàçàíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èëèñîñóùåñòâîâàíèÿ ñêðûòûõ àòòðàêòîðîâ â ñèñòåìå.Ìóëüòèóñòîé÷èâîñòüÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâîì ñèñòåìû, â òî âðåìÿ êàê ñàìîâîçáóæäàåìîñòü è ñêðûòîñòü ñâîéñòâà àòòðàêòîðîâ.
Âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèå â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâåñèñòåìû Ëîðåíöà äðóãèõ ëîêàëüíûõ àòòðàêòîðîâ, êîòîðûå áûëè ëè áûñêðûòûìè, ÿâëÿåòñÿ îòêðûòîé ïðîáëåìîé. îáùåì ñëó÷àå, îïðåäåëåíèåêîëè÷åñòâà è âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ëîêàëüíûõ àòòðàêòîðîâ â ôàçîâîìïðîñòðàíñòâå ìîæåò ïðåäñòàâëÿòüñÿ òðóäíîé çàäà÷åé [184] (ñì., íàïðèìåð,16 ïðîáëåìó Ãèëüáåðòà äëÿ äâóìåðíûõ ïîëèíîìèàëüíûõ ñèñòåì î ÷èñëå èâçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè ïðåäåëüíûõ öèêëîâ [137]).Îãðîìíûé èíòåðåñ ê õàîòè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ â ñèñòåìå Ëîðåíöà ïðèâåë êïîÿâëåíèþ è äðóãèõ ðàçëè÷íûõ ñèñòåì ñ íåïðåðûâíûì è äèñêðåòíûì âðåìåíåì,ãäå áûëè íàéäåíû ñàìîâîçáóæäàþùèåñÿ àòòðàêòîðû (ñì., íàïðèìåð, [68, 71, 77,127, 220, 265, 283, 288]).1 Çäåñüíå îáñóæäàþòñÿ âîçìîæíûå ïðîáëåìû, ñâÿçàííûå ñ íåîäíîðîäíîñòüþ îáëàñòåé ïðèòÿæåíèÿ (ñì.,íàïðèìåð, Wada and riddled basins)196420−2−4−6−2.5−2−1.5−1−0.500.511.522.5Ðèñóíîê 1.3: Âîçìóùåííûé îñöèëëÿòîð Äóôôèíãà: ẍ + 0.05ẋ + x3 = 7.5 sin(t).Ôàçîâàÿ ïëîñêîñòü (x, ẋ) îòîáðàæàåòñÿ â ñåáÿ òðàåêòîðèÿìè çà âðåìÿ0 ≤ t ≤ 2π .
Ïîñëå ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà òðàåêòîðèÿ èç îêðåñòíîñòè íóëåâîãîñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ (êðàñíàÿ òî÷êà) íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû (ò.å. áåç7.5 sin(t)) âèçóàëèçóåò ñàìîâîçáóæäàþùèéñÿ àòòðàêòîð Óåäà.Âîçìóùåííûé îñöèëëÿòîð Äóôôèíãà: ñàìîâîçáóæäàþùèéñÿàòòðàêòîð ÓåäàÐàññìîòðèì ïðèìåð âèçóàëèçàöèè ñàìîâîçáóæäàþùåãîñÿ àòòðàêòîðà âíåàâòîíîìíîé ñèñòåìå âîçìóùåííûé îñöèëëÿòîð Äóôôèíãà.Êëàññè÷åñêèé ïðèìåð ñàìîâîçáóæäàþùåãîñÿ õàîòè÷åñêîãî àòòðàêòîðà(Ðèñ. 1.3) â íåàâòîíîìíîé ñèñòåìå âîçìóùåííûé îñöèëëÿòîð Äóôôèíãàẍ + 0.05ẋ + x3 = 7.5 sin(t) áûë ÷èñëåííî ïîñòðîåí Óåäà (Ueda) â 1961, íî ñòàëèçâåñòåí ìíîãî ïîçæå [291].
×òîáû ïîñòðîèòü ñàìîâîçáóæäàþùèéñÿ àòòðàêòîðíà Ðèñ. 1.3, áûë èñïîëüçîâàí ïåðåõîäíîé ïðîöåññ èç îêðåñòíîñòè íóëåâîãîñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû (ò.å. áåç cos(t)) ê àòòðàêòîðóâ âîçìóùåííîé ñèñòåìå.201.2.2 Ñêðûòûå àòòðàêòîðû â èçâåñòíûõ òåîðåòè÷åñêèõïðîáëåìàõÈññëåäîâàíèå ñêðûòûõ àòòðàêòîðîâ ñâÿçàíî ñ íåêîòîðûìè èçâåñòíûìèôóíäàìåíòàëüíûìè ïðîáëåìàìè.Ñêðûòûå êîëåáàíèÿ â 16-îé ïðîáëåìå ÃèëüáåðòàÏðîáëåìà àíàëèçà ñêðûòûõ ïåðèîäè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñâÿçàíà ñî âòîðîé÷àñòüþ 16-îé ïðîáëåìîé Ãèëüáåðòà (1900) î ÷èñëå è âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèèïðåäåëüíûõ öèêëîâ â äâóìåðíûõ ïîëèíîìèàëüíûõ ñèñòåìàõ [137].Ïåðâûåíåòðèâèàëüíûå ðåçóëüòàòû ïî ýôôåêòèâíîìó ïîñòðîåíèþ ïðåäåëüíûõ öèêëîâáûëè ïîëó÷åíû Í.Áàóòèíûì (ñì.,íàïðèìåð, [2]):îí ïîêàçàë,÷òîòåîðåòè÷åñêè ìîæíî ïîñòðîèòü òðè âëîæåííûõ ïðåäåëüíûõ öèêëà âîêðóãîäíîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ â êâàäðàòè÷íîé ñèñòåìå. Îäíàêî ìåòîä Áàóòèíà,òðåáóåò ïîñëåäîâàòåëüíîãî ðàññìîòðåíèÿ ìàëûõ îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãàâîçìóùåíèé è ïîýòîìó ïîñòðîåííûå òàêèì îáðàçîì öèêëû òðóäíî ïîääàþòñÿâèçóàëèçàöèè.Òàê, íàïðèìåð, â ïåðâûõ èçâåñòíûõ ïðèìåðàõ äâóìåðíûõêâàäðàòè÷íûõ ñèñòåì [72, 271] ñ ÷åòûðüìÿ ïðåäåëüíûìè öèêëàìè, êîòîðûåñòàëè êîíòðïðèìåðàìè ê óòâåðæäåíèþ È.Ã.
Ïåòðîâñêîãî è Å.Ì. Ëàíäèñ[245] î âîçìîæíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ òîëüêî òðåõ ïðåäåëüíûõ â òàêèõñèñòåìàõ, òðè âëîæåííûõ ïðåäåëüíûõ öèêëà (ìàëîé àìïëèòóäû) ñòðîÿòñÿòåîðåòè÷åñêè ïðè ïîìîùè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ìàëûõ âîçìóùåíèé è ïîýòîìó íåìîãóò áûòü âèçóàëèçîâàíû ñòàíäàðòíûìè ñðåäñòâàìè. Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäàñèìïòîòè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ [180, 205], ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî ïðîâåñòèâèçóàëèçàöèþ ÷åòûðåõ ïðåäåëüíûõ öèêëîâ [163] (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
