Диссертация (1145368), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ÇäåñüDw ϕth (w) = Dw h(ϕt (h−1 (w))) = Du h(ϕt (h−1 (w)))Du ϕt (h−1 (w))Dw h−1 (w),Du ϕth (h(u)) = Dw ϕth (h(u))Du h(u) = Du h(ϕt (u)) = Du h(ϕt (u))Du ϕt (u).85Ñëåäîâàòåëüíî,−1Dw h−1 (w) = Du h(u)è−1Dϕth (w) = Dh(ϕt (u))Dϕt (u) Dh(u)(2.21).Åñëè u ∈ K , òî ϕt (u) è ϕth (h(u)) îïðåäåëÿþò îãðàíè÷åííûå ïîëóòðàåêòîðèè.Çàìåòèì, ÷òî Dh è (Dh)−1 íåïðåðûâíûå, è, Dh(ϕt (u)) è (Dh(ϕt (u)))−1îãðàíè÷åíû ïî t. Èç (2.12) ñëåäóåò (ñì.
òàêæå [63, c.29]) äëÿ ëþáîãî d ∈ [0, n]ñóùåñòâîâàíèå òàêîé êîíñòàíòû c = c(d) ≥ 1, ÷òîmax ωd (Dh(u))−1 ≤ c.max ωd Dh(u) ≤ c,u∈K(2.22)u∈KËåììà 7. Åñëè äëÿ t > 0 ñóùåñòâóþò òàêèå äèôôåîìîðôèçì h : U ⊆ Rn →Rnè ÷èñëî d ∈ [0, n], ÷òî âåðíà îöåíêà 6max⎛w∈h(K)ωd Dϕth (w)tt−1= max ωd ⎝Dh(ϕ (u))Dϕ (u) Dh(u)⎞⎠< 1,u∈K(2.23)òî äëÿ u ∈ K ïîëó÷èì⎛lim inf ⎝ωd Dϕt (u) − ωd Dϕth (h(u))⎞⎠t→+∞è=0lim inf ωd Dϕth (h(u)) = lim inf ωd Dϕt (u) = 0.t→+∞t→+∞Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðèìåíÿÿ (2.9) ê (2.21), ïîëó÷èì−1 ωd Dϕth (h(u)) ≤ ωd Dh(ϕt (u)) ωd Dϕt (u) ωd Dh(u)è, ó÷èòûâàÿ (2.22),,ωd Dϕth (h(u)) ≤ c2 ωd Dϕt (u) .Àíàëîãè÷íî,−1 ωd Dϕt (u) ≤ ωd Dh(ϕt (u))6 Âûðàæåíèåωd Dϕth (h(u)) ωd Dh(u)â (2.23) ñîîòâåòñòâóåò âûðàæåíèÿì ðàññìîòðåííûì â [198, eq.(1)] äëÿ p(u) = Dh(u), [173,eq.(1)] è [201, c.99, eq.10.1] äëÿ Q(u) = Dh(u).86èωd Dϕt (u) ≤ c2 ωd Dϕth (h(u)) .Ñëåäîâàòåëüíî äëÿ ëþáîãî d ∈ [0, n], t ≥ 0 è u ∈ K èìååìc−2 ωd Dϕth (h(u)) ≤ ωd Dϕt (u) ≤ c2 ωd Dϕth (h(u))(2.24)è(c−2 −1)ωd Dϕth (h(u)) ≤ ωd Dϕt (u) −ωd Dϕth (h(u)) ≤ (c2 −1)ωd Dϕth (h(u)) .Åñëè äëÿ t ≥ 0 ñóùåñòâóåò òàêîå d ∈ [0, n], ÷òî supu∈K ωd Dϕth (h(u)) < 1, òî ñó÷åòîì (2.16) ïîëó÷èìlim inf ωd Dϕth (h(u)) = 0t→+∞è0 ≤ lim inf ωd Dϕt (u) − ωd Dϕth (h(u))t→+∞≤ 0.Ñëåäñòâèå 3.
(ñì., íàïðèìåð, [162]) Äëÿ u ∈ K èìååì⎛limt→+∞⎝ LEiDϕth (h(u)) − LEi Dϕt (u)⎞⎠= 0,i = 1, 2, .., nè ñëåäîâàòåëüíîlim sup LEi Dϕth (h(u)) = lim sup LEi Dϕt (u) ,t→+∞t→+∞i = 1, 2, .., n.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç (2.24) äëÿ t > 0 ïîëó÷èì11111ln c−2 + ln ωd Dϕth (h(u)) ≤ ln ωd Dϕt (u) ≤ ln c2 + ln ωd Dϕth (h(u)) .ttttt(2.25)Ïîýòîìó äëÿ öåëûõ d = m èìååìlimt→+∞⎛mm11ln ωm Dϕt (u) − ln ωm Dϕth (h(u)) = lim ⎝ LEi Dϕt (u) −LEi Dt→+∞ i=1tti=187Óòâåðæäåíèå 2. Ëÿïóíîâñêàÿ ðàçìåðíîñòü êîìïàêòíîãî èíâàðèàíòíîãîìíîæåñòâà K äèíàìè÷åñêèé ñèñòåìû èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíîäèôôåîìîðôèçìà h : U ⊆ Rn → Rn, ò.å.(2.26)dL ({ϕt }t≥0 , K) = dL ({ϕth }t≥0 , h(K)).Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ëåììû 7 ñëåäóåò, ÷òî åñëè maxw∈h(K) ωd Dϕth(w)<1äëÿ t > 0 è d ∈ [0, n], òî ñóùåñòâóåò òàêîå T > t, ÷òîmax ωd DϕT (u) < 1.(2.27)u∈KÂåðíî è îáðàòíîå.
Ñëåäîâàòåëüíî ìíîæåñòâî d, íà êîòîðîì inf t>0 áåðåòñÿ â(2.13), îäíî è òî æå äëÿ Dϕt (u) è Dϕth (w). Òîãäàinf inf{d ∈ [0, n] : max ωd (Dϕt (u)) < 1} = inf inf{d ∈ [0, n] : max ωd (Dϕth (w)) < 1}.t>0t>0u∈Kw∈h(K)Ñëåäñòâèå 4. Ïóñòü n × n ìàòðèöà, âñå ýëåìåíòû êîòîðîéñêàëÿðíûå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè u; det H(u) = 0 äëÿ u ∈ K . Åñëè äëÿ t > 0ñóùåñòâóåò òàêîå d ∈ (0, n], ÷òîH(u)⎛−1max ωd Dϕth (w) = max ωd ⎝H(ϕt (u))Dϕt (u) H(u)⎞⎠u∈Kw∈h(K)òî ïðè ïîìîùè (2.23) ñ H(u) âìåñòîäîñòàòî÷íî áîëüøèõ T > 0 ïîëó÷èìDh(u), (2.26)è(2.28)< 1,(2.27)äëÿ âñåõdimH K ≤ dL ({ϕt }t≥0 , K) ≤ dL (ϕT , K) ≤ d.Åñëè ðàññìîòðåòü H(u) = p(u)S , ãäå p(u) : U ⊆ Rn → R1 íåïðåðûâíàÿïîëîæèòåëüíàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ è S íåîñîáàÿ n×n ìàòðèöà, òî óñëîâèå(2.28) ïðèìåò âèä⎛tt−1sup ωd ⎝H(ϕ (u))Dϕ (u) H(u)u∈K⎞⎠⎛t−1 d= sup ⎝ p(ϕ (u))p(u)u∈Kωd SDϕt⎞−1 ⎠(u)S< 1.(2.29)88Çàìåòèì, ÷òî åñëè íåîñîáàÿ ìàòðèöà S , òàêàÿ ÷òîSDϕt (u)S −1 = diag(λ1 (t, u), .., λn (t, u)),λ1 (t, u) ≥ ..
≥ λn (t, u),òî σi SDϕt (u)S −1 = |λi (t, u)|.Ðàññìîòðèììåòîä Ëåîíîâààíàëèòè÷åñêîéîöåíêèëÿïóíîâñêîéðàçìåðíîñòè è åãî ñâÿçü ñ èíâàðèàíòíîñòüþ ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòèïî îòíîøåíèþ ê äèôôåîìîðôèçìàì.Ñëåäóÿ [173, 193, 198], ðàññìîòðèìñïåöèàëüíûé êëàññ äèôôåîìîðôèçìîâ Dh(u) = p(u)S , ãäå p(u) : U ⊆ Rn → R1 íåïðåðûâíàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ è S íåîñîáàÿ n × n ìàòðèöà. Íèæå áóäåòïîêàçàíî, ÷òî ìíîæèòåëü p(ϕt (u))(p(u))−1 â (2.29) ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàêôóíêöèÿ ëÿïóíîâñêîãî òèïà.
 [233] ýòîò ìíîæèòåëü èíòåðïðåòèðóåòñÿ, êàêèçìåíåíèå ðèìàíîâîé ìåòðèêè.Ñäåëàåì ëèíåéíóþ çàìåíó êîîðäèíàò w = h(u) = Su ñ íåîñîáîé n × nìàòðèöåé S . Òîãäà ϕt (u0 ) = u(t, u0 ) ïåðåõîäèò â ϕtS (w0 ):ϕtS (w0 ) = w(t, w0 ) = Sϕt (u0 ) = Su(t, S −1 w0 ).Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàííûå ñèñòåìû (2.1) è (2.3)ẇ = Sf (S −1 w) èëè w(t + 1) = Sϕ(S −1 w(t))è èõ ëèíåàðèçàöèè âäîëü ðåøåíèÿ ϕtS (w0 ) = w(t, w0 ) = Sϕt (u0 ):v̇ = JS (w(t, w0 ))vorv(t + 1) = JS (w(t, w0 ))v(t),JS (w(t, w0 )) = S J(S −1 w(t, w0 )) S −1 = S J(u(t, u0 )) S −1 .(2.30)Äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû ïîëó÷èì DϕtS (w)=SDϕt (u)S −1 .è ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèåÓòâåðæäåíèå 3.
Ïóñòü â îäíîì èç ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ äèíàìè÷åñêîéñèñòåìû {ϕt}t≥0: ucreq ≡ ϕt(ucreq ), ucreq ∈ K , ìàòðèöà J(ueq ) èìååò ïðîñòûåâåùåñòâåííûå ñîáñòâåííûå ÷èñëà {λi(ueq )}ni=1. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó S89òàêóþ, ÷òîSJ(ueq )S −1 = diag λ1 (ueq ), .., λn (ueq ) ,ãäå λi(ueq ) ≥ λi+1(ueq ) äëÿ ñëó÷àÿ íåïðåðûâíîãî âðåìåíè è |λi(ueq )| ≥ |λi+1(ueq )|äëÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì. ÒîãäàdimL ({ϕt }t≥0 , ueq ) = dimL ({ϕtS }t≥0 , Sueq ) = dimL (ϕtS , Sueq ),∀t > 0.Òàêæå, åñëè äëÿ íåêîòîðîãî t = tcr > 0 ìàêñèìóì ëîêàëüíîé ëÿïóíîâñêîéðàçìåðíîñòè dimL(ϕtS , w)7 äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå weqcr = Sueq ∈ SK :crcrcrcrdimL (ϕtS , weq) = sup dimL (ϕtS , w),(2.31)w∈SKòîcrcrcr).dimH K ≤ dimL ({ϕt }t≥0 , K) = dimL ({ϕtS }t≥0 , SK) = dimL (ϕtS , K) = dimL (ϕtS , weq(2.32)Çäåñü dimL(ϕtS , weqcr ) = dimL(ϕS , weqcr ) è ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî ïðè ïîìîùècr) =(2.20) ñ LEi (SJ(ueq )S −1 ) = λi (ueq ) â íåïðåðûâíîì ñëó÷àå: dimL (ϕtS , weqn−1dimKYL ({λi (ueq )}1 ), è ñ LEi (SJ(ueq )S ) = ln |λi (ueq )| â äèñêðåòíîì ñëó÷àå:crn) = dimKYdimL (ϕtS , weqL ({ln |λi (ueq )|}1 ).crcrcrÐàññìîòðèì âíà÷àëå äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåì ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì.Îáîçíà÷èì ÷åðåç λi (u0 , S) = λi (Sϕt (u0 )), i = 1, 2, ..., n ñîáñòâåííûå ÷èñëàñèììåòðèçîâàííîé ìàòðèöû ßêîáè11SJ(u(t, u0 ))S −1 + (SJ(u(t, u0 ))S −1 )∗ = (JS (w(t, w0 )) + JS (w(t, w0 ))∗ , ) ,22(2.33)êîòîðûå óïîðÿäî÷åíû: λ1 (u0 , S) ≥ · · · ≥ λn (u0 , S) äëÿ u0 ∈ U .
Ñëåäóþùàÿòåîðåìà ÿâëÿåòñÿ ïåðåôîðìóëèðîâêîé ðåçóëüòàòîâ èç [173, 201, 202].7  îáùåì ñëó÷àå, òàê êàê u → d (ϕt , u) ÿâëÿåòñÿ ïîëóíåïðåðûâíîé ñâåðõó (ñì., íàïðèìåð, [114, c.554]), òîLñóùåñòâóåò òàêàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà uL (t) ∈ K , ÷òî supu∈K dL (ϕt , u) = dL (ϕt , uL (t)). Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå(2.15), ìîæíî ðàññìîòðåòü òàêóþ âîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü tk → +∞, ÷òî dL (ϕtk , uL (tk )) ìîíîòîííîóáûâàåò ê inf t>0 dL (ϕt , uL (tk )) = dL ({ϕt }t≥0 , K). Òàê êàê K ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì, òî ìîæíîâûáðàòü òàêóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü tm = tkm → +∞, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíàÿ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ucrL :tmtcruL (tm ) → ucr∈Kïðèm→+∞.Îòñþäàd(ϕ,u(t))d({ϕ},K)èu(t)→u∈Kïðèm→+∞.LL mLt≥0L mLLÑìîòðè òàêæå ñîîòâåòñòâóþùóþ ãèïîòåçó Èäåíà ( Eden conjecture ) [97, c.98, Question 1].90Òåîðåìà 4. Ïóñòü d = (j + s) ∈ [1, n], ãäå öåëîå ÷èñëî j = d ∈ {1, . .
. , n}è âåùåñòâåííîå s = (d − d) ∈ [0, 1). Ïóñòü ñóùåñòâóåò äèôôåðåíöèðóåìàÿñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ V (u) : U ⊆ Rn → R1 è íåîñîáàÿ n × n ìàòðèöà S , òàêèå÷òîsup λ1 (u, S) + · · · + λj (u, S) + sλj+1 (u, S) + V̇ (u) < 0,(2.34)u∈Kãäå V̇ (u) = (grad(V ))∗f (u). ÒîãäàdimH K ≤ dL ({ϕt }t≥0 , K) ≤ dL (ϕT , K) ≤ j + säëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ T > 0.Äîêàçàòåëüñòâî.−1Ïóñòü p(u) = eV (u)(j+s) .
Èç ñîîòíîøåíèé [281] (ñì.,òàêæå [63][c.48], [206, c.460]):−1tωj+s SDϕ (u)Sè≤ exp−1 j+stp(ϕ (u))p(u)t0λ1 (Sϕ (u)) + · · · + λj (Sϕ (u)) + sλj+1 (Sϕ (u))dττττ(2.35)= exp V (ϕ (u)) − V (u) = exptt0τV̇ (ϕ (u))dτïîëó÷èìj+sp(ϕt (u))p(u)−1≤ expt0ωj+s SDϕt (u)S −1 ≤λ1 (Sϕ (u)) + · · · + λj (Sϕ (u)) + sλj+1 (Sϕ (u)) + V̇ (ϕ (u)) dτ .ττττ(2.36)Òàê êàê ϕt (u) ∈ K äëÿ âñåõ u ∈ K , òî äëÿ t > 0 èç (2.34) ïîëó÷èì⎞⎛j+smax ⎝ p(ϕt (u))p(u)−1ωj+s SDϕt (u)S −1 ⎠u∈KÒîãäà èç Ñëåäñòâèÿ 4 ñ H(u) = p(u)S è p(u) = eV (u)1d< 1,t > 0.âûòåêàåò óòâåðæäåíèåòåîðåìû. Çàìå÷àíèå.Èäåÿ îöåíêè ðàçìåðíîñòè Õàóñäîðôà ïðè ïîìîùè ñîáñòâåííûõ÷èñåë ñèììåòðèçîâàííîé ìàòðèöû ßêîáè ðàçâèâàëàñü â ðàáîòàõ [92, 281](íàïðèìåð äëÿ V̇ (u) ≡ 0, óñëîâèå (2.34) ïðèâåäåíî â [281]).−1p(u) = eV (u)(j+s)Ôóíêöèÿáûëà ââåäåíà â [197] (V̇ (u) ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî îöåíèâàòü91÷àñòè÷íûå ñóììû ñîáñòâåííûõ ÷èñåë) è ìàòðèöà S áûëà ââåäåíà â [193, eq.(8)](äëÿ óïðîùåíèÿ âû÷èñëåíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë).
Óñëîâèå (2.34) âûïîëíåíîåñëè V̇ (u) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé è λ1 (u, S)+· · ·+λj (u, S)+sλj+1 (u, S)+ V̇ (u) <0 äëÿ âñåõ u ∈ K (çäåñü èñïîëüçóåòñÿ òî, ÷òî J(u, S) è λi (u, S) ÿâëÿþòñÿíåïðåðûâíûìè).  òåîðåìå íåò òðåáîâàíèé îòíîñèòåëüíî çíàêà V (u) èëè V̇ (u). [62, 247] ïîêàçàíî, êàê àíàëîãè÷íàÿ òåõíèêà ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü âåðõíèåîöåíêè ýíòðîïèè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû.Ðàññìîòðèì ñëó÷àé äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì. Ïóñòüλi (u0 , S) = λi (Sϕt (u0 )), i = 1, 2, ..., n, ïîëîæèòåëüíûå êîðíè ñîáñòâåííûõ ÷èñëåñèììåòðèçîâàííîé ìàòðèöû ßêîáè (ò.å. ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà ìàòðèöû ßêîáè)(SJ(u(t, u0 ))S −1 )∗ SJ(u(t, u0 ))S −1 = (JS (w(t, w0 ))∗ JS (w(t, w0 ))) ,(2.37)óïîðÿäî÷åííûå ïî óáûâàíèþ: λ1 (u0 , S) ≥ · · · ≥ λn (u0 , S) äëþ ëþáîãî u0 ∈ U .Òåîðåìà 5. Ïóñòü d = (j + s) ∈ [1, n], ãäå öåëîå ÷èñëî j = d ∈ {1, .
. . , n}è âåùåñòâåííîå ÷èñëî s = (d − d) ∈ [0, 1). Ïóñòü ñóùåñòâóþò òàêèåñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ V (u) : U ⊆ Rn → R1 è íåîñîáàÿ n × n ìàòðèöà S , ÷òî⎛sup ⎝ ln λ1 (u, S) + · · · + ln λj (u, S) + s ln λj+1 (u, S) + V (ϕ(u)) − V (u)u∈K⎞⎠< 0.(2.38)ÒîãäàdimH K ≤ dL ({ϕt }t≥0 , K) ≤ dL (ϕT , K) ≤ j + säëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ T > 0.t−1,τ =0Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðèìåíÿÿ (2.9) äëÿ DϕtS (w)= SDϕt (u)S −1=S J(u(τ, u0 )) S −1 , ïîëó÷èìtωj+s SDϕ (u)S−1≤t−1τ =0ωj+s S J(u(τ, u0 )) S −1 .(2.39)Ñëåäîâàòåëüíîtωj+s SDϕ (u)S−1≤t−1τ =0sλ1 (Sϕτ (u)) · · · λj (Sϕτ (u)) λj+1 (Sϕτ (u)) .(2.40)92−1Ïóñòü p(u) = eV (u)(j+s) .
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿp(ϕt (u))p(u)−1j+s⎛= exp V (ϕt (u))−V (u) = exp ⎝t−1⎞V (ϕτ +1 (u))−V (ϕτ (u))⎠,τ =0ïîëó÷èìln p(ϕt (u))p(u)−1≤t−1j+s⎛⎝ ln λτ =01 (Sϕτ+ ln ωj+s SDϕt (u)S −1 ≤(u)) + · · · + ln λj (Sϕτ (u)) + s ln λj+1 (Sϕτ (u)) + V (ϕ(ϕτ (u))) −Òàê êàê ϕt (u) ∈ K äëÿ ëþáîãî u ∈ K , òî èñïîëüçóÿ (2.38) è Ñëåäñòâèå 4 ñ1H(u) = p(u)S è p(u) = eV (u) d , ïîëó÷èì óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Èç (2.32) ïîëó÷èìÑëåäñòâèå 5. Åñëè â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ ucreq ≡ ϕt(ucreq ) äëÿ íåêîòîðîãî t > 0âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèådL (ϕt , ucreq ) = j + s,òî äëÿ èíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà K ucreq ïîëó÷èì àíàëèòè÷åñêóþ ôîðìóëóòî÷íîé ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòèdimH K = dL ({ϕt }t≥0 , K) = dL ({ϕt }t≥0 , ucreq ) = j + s.Îòìåòèì,èñïîëüçîâàíà÷òî äëÿ âûâîäà ðàññìîòðåííûõ âûøå ðåçóëüòàòîâ áûëàòåîðåìàÄóàäè-Îýñòåðëåîëÿïóíîâñêîéðàçìåðíîñòèîòîáðàæåíèé, à ðåçóëüòàòû Êîñòàíòèíà, Èäåíà, Ôîèøà è Òåìàìà (Constantin, Eden, Foias, and Temam) [81, 99, 100] î ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòèäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì çäåñü íå èñïîëüçîâàëèñü.
Îäíèì èç îñíîâíûõ âûâîäîâ âèõ ðàáîòàõ ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò (ñì. îáçîð [167]), ÷òî ðàññìîòðåíèå ωd (Dϕt (u))−tâìåñòî ωd (Dϕt (u)) â îïðåäåëåíèè ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè ïîçâîëÿåòïðèìåíèòü òåîðèþ ïîëîæèòåëüíûõ îïåðàòîðîâ [74] (ñì.òàêæå [120]) èäîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå êðèòè÷åñêîé òî÷êè ucrE , ãäå ëîêàëüíàÿ è ãëîáàëüíàÿëÿïóíîâñêàÿ ðàçìåðíîñòè äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû {ϕt }t≥0 ñîâïàäàþò (ñì. [99]).932.3 Àíàëèòè÷åñêèå ôîðìóëû òî÷íîé ëÿïóíîâñêîéðàçìåðíîñòè èçâåñòíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìÐàññìîòðèì ïðèìåðû, â êîòîðûõ êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà, ñîîòâåòñòâóþùàÿìàêñèìóìó ëîêàëüíîé ëÿïóíîâñêîé ðàçìåðíîñòè, ñîîòâåòñòâóåò îäíîìó èçñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ. ýòèõ ïðèìåðàõ ïðåäïîëàãàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèåèíâàðèàíòíîãî ìíîæåñòâà K íà êîòîðîì îïðåäåëåíà äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà{ϕt }t≥0 è èñïîëüçóåòñÿ êîìïàêòíàÿ çàïèñü dL (K) äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ëÿïóíîâñêîéðàçìåðíîñòè.2.3.1 Ñèñòåìà ÝíîíàÐàññìîòðèì îòîáðàæåíèå Ýíîíà ϕHenon : R2 → R2⎛⎜⎝xy⎞⎛⎟⎠⎝→ ⎜a + by − x2x⎞⎟⎠,(2.41)ãäå a > 0, b ∈ (0, 1) ïàðàìåòðû îòîáðàæåíèÿ.ñòàöèîíàðíûå òî÷êè (x± , x± ), ãäå x± =ðàññìîòðèì⎛⎝S=⎜γ=12Îòîáðàæåíèå èìååòb − 1 ± (b − 1)2 + 4a .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
