Диссертация (1145368), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Çäåñü, ñëåäóÿ [80],104äëÿ ñèãíàëîâ îáùåãî âèäà è ïîñòîÿííîé ÷àñòîòû âõîäíîãî ñèãíàëà ïðèâåäåíïðîñòîé àíàëèòè÷åñêèé ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ôàçîâûõ äåòåêòîðîâêëàññè÷åñêîé ñõåìû ÔÀÏ. Îòìåòèì, ÷òî ðàññìîòðåíèå ðàáîòû ñõåìû ñíåñèíóñîèäàëüíûìè ñèãíàëàìè òàêæå ñâîäèòñÿ ê ðàññìîòðåíèþ ñïåöèàëüíûõòèïîâ ôàçîâûõ äåòåêòîðîâ, ïîçâîëÿþùèõ óëó÷øèòü õàðàêòåðèñòèêè ðàáîòû[36, 263] ïðè íàëè÷èè øóìà.Ðàññìîòðèì êëàññè÷åñêóþ ñõåìó ÔÀÏ (ñì.Ðèñ. 3.22) [34, 110, 294] íàóðîâíå ôèçè÷åñêîé ðåàëèçàöèè â ïðîñòðàíñòâå ñèãíàëîâ (íàçûâàåìîì òàêæåtime-domain [87, ñòð.329]).ijW§ij(ș1(t)-ș2(t))f1ș1(t))ɗȽf2(ș2(t))ɉȽɎɢɥɶɬɪg(t)Ðèñóíîê 3.1: Áëîê-ñõåìà ÔÀÏ â ïðîñòðàíñòâå ñèãíàëîâ íà óðîâíå ôèçè÷åñêîéðåàëèçàöèèÇäåñü Ýà (REF) è Ïà (VCO) ãåíåðàòîðû âûñîêî÷àñòîòíûõ êîëåáàíèéf1 θ1 (t) è f2 θ2 (t) (f1 (θ), f2 (θ) ôîðìû ñèãíàëîâ, θ1,2 (t) ôàçû ñèãíàëîâ), ⊗ ïåðåìíîæèòåëü, èñïîëüçóåìûé â êà÷åñòâå ôàçîâîãî äåòåêòîðà.
Ïðîèçâåäåíèåñèãíàëîâ f1 θ1 (t) f2 θ2 (t)ïîñòóïàåò íà âõîä ëèíåéíîãî ôèëüòðà (ôèëüòðíèçêèõ ÷àñòîò, LPF), g(t) âûõîä ôèëüòðà.Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî f1 (θ) è f2 (θ) îãðàíè÷åííûå 2π -ïåðèîäè÷åñêèåêóñî÷íî-äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè1 .Òîãäà ïî ïðèçíàêó Ëèïøèöà [301,ñòð.62] ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèÿì f1 (θ) è f2 (θ) ðÿäû Ôóðüå ñõîäÿòñÿ êçíà÷åíèÿì ôóíêöèé â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè è ê ïîëóñóììå ëåâîãî è ïðàâîãîïðåäåëîâ â òî÷êàõ ðàçðûâà.
Äàëåå, òàê êàê â L1[−π,π] ôóíêöèè, îòëè÷àþùèåñÿ âêîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê, ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, áóäåì ðàññìàòðèâàòü f1 (θ) èf2 (θ) ñ óêàçàííûìè â ïðèçíàêå Ëèïøèöà çíà÷åíèÿìè â òî÷êàõ ðàçðûâà. Ââåäåì1 ò.å.ôóíêöèè, èìåþùèå êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà è äèôôåðåíöèðóåìûå íàïðîìåæóòêàõ íåïðåðûâíîñòè105ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ðàçëîæåíèÿ f1,2 (θ) â ðÿä Ôóðüå+∞fp (θ) =F [fp ](n)einθ ,n=−∞1 πfp (θ)e−inθ dθ,F [fp ](n) =2π −π(3.1)p = 1, 2.Ïî ñâîéñòâàì êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå äëÿ êóñî÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé[301, ñòð.63] âûïîëíåíà ñëåäóþùàÿ îöåíêà1.F [fp ](n) = On×àñòîòà ýòàëîííîãî ãåíåðàòîðà ñ÷èòàåòñÿ ïîñòîÿííîé:(3.2)θ̇1 (t) = ω1 , àçàêîí èçìåíåíèÿ ÷àñòîòû ïîäñòðàèâàåìîãî ãåíåðàòîðà (ÏÃ) êîððåêòèðóþùèìñèãíàëîì g(t) ïðèíèìàåòñÿ ëèíåéíûì [34, 110, 294]θ̇2 (t) = ω2f ree + Lg(t),f reeãäå ω2(3.3) ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà ïîäñòðàèâàåìîãî ãåíåðàòîðà (free running fre-quency).
Àíàëîãè÷íî ìîãóò áûòü ðàññìîòðåíû è íåëèíåéíûå ìîäåëè Ïà (ñì.,[225, 286]).Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:θΔ (t) = θ1 (t) − θ2 (t),freeωΔ= ω1 − ω2f ree .(3.4)Âåëè÷èíà θΔ (t) íàçûâàåòñÿ ðàñôàçèðîâêîé.Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ëèíåéíûé ôèëüòð îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîéëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèédx= Ax + bϕ(t), g(t) = c∗ x + hϕ(t).dt(3.5)Çäåñü A ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà; x(t) âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ôèëüòðà, x0 =x(0) åãî íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå; b, c, h ïîñòîÿííûå âåêòîðû; ϕ(t), g(t) ñîîòâåòñòâåííî âõîä è âûõîä ôèëüòðà.106Ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ôèëüòðà èìååò âèä:2H(s) = −c∗ (A − sI)−1 b + h.(3.6) êà÷åñòâå ôèëüòðîâ îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî-èíòåãðèðóþùèåôèëüòðû [57] (îáû÷íî H(0) = −c∗ A−1 b + h = 1, íî H(0) ìîæåò ïðèíèìàòüëþáîå íåíóëåâîå çíà÷åíèå, åñëè èñïîëüçóåòñÿ àêòèâíûé ïðîïîðöèîíàëüíîèíòåãðèðóþùèé ôèëüòð), èëè èíòåãðèðóþùèé ôèëüòð (H(0) áåñêîíå÷íî).Èç óðàâíåíèé ïîäñòðàèâàåìîãî ãåíåðàòîðà (3.3) è ëèíåéíîãî ôèëüòðà (3.8)ïîëó÷èì íåàâòîíîìíóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéẋ = Ax + bf1 (ω1 t)f2 (ω1 t − θΔ ),(3.7)freeθ̇Δ = ωΔ− Lc∗ x − Lhf1 (ω1 t)f2 (ω1 t − θΔ ),êîòîðàÿ îïèñûâàåò ðàáîòó ñõåìû ÔÀÏ â ïðîñòðàíñòâå ñèãíàëîâ.Ðàññìîòðèì ñõåìó ÔÀÏ (ñì.(òàêæå íàçûâàåìîìɗȽÐèñ.
3.2) â ïðîñòðàíñòâå ôàç ñèãíàëîâfrequency-domainș1(t)ɎȾș2(t)[87, ñòð ñòð.338]). Çäåñü ïåðåìíîæèòåëüij(ș1(t)-ș2(t))ɉȽɎɢɥɶɬɪG(t)Ðèñóíîê 3.2: Áëîê-ñõåìà ÔÀÏ â ïðîñòðàíñòâå ôàç ñèãíàëîâñèãíàëîâ çàìåíÿåòñÿ íà íåëèíåéíûé ýëåìåíò ÔÄ, íà âõîä êîòîðîãî ïîñòóïàþòôàçû θ1,2 (t) ñèãíàëîâ. Âûõîä ÔÄ ϕ(θΔ (t)) = ϕ(θ1 (t) − θ2 (t)), íàçûâàåìûéõàðàêòåðèñòèêîé ÔÄ, çàâèñèò îò ðàçíîñòè ôàç ñèãíàëîâ, à âèä õàðàêòåðèñòèêèÔÄ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìàìè ðàññìàòðèâàåìûõ ñèãíàëîâ. Ñîîòíîøåíèå ìåæäóâõîäîì ϕ(θΔ (t)) è âûõîäîì ôèëüòðà G(t) â ïðîñòðàíñòâå ôàç ñèãíàëîâ èìååò2Âòåîðèè óïðàâëåíèÿ ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ îáû÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì (ñì.,íàïðèìåð, [183]): H(s) = c∗ (A − sI)−1 b − h.107âèä:ẋ = Ax + bϕ(θΔ (t)),(3.8)G(t) = c∗ x + hϕ(θΔ (t)).Ðåøåíèå (3.8) ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè x(0) èìååò âèä:tG(t, x0 ) = α0 (t, x(0)) +γ(t − τ )ϕ(θΔ (τ ))dτ + hϕ(θΔ (t)),(3.9)0ãäå γ(t − τ ) = c∗ eA(t−τ ) b èìïóëüñíàÿ ïåðåõîäíàÿ õàðàêòåðèñòèêà (impulseresponse function of the lter) è α0 (t, x(0)) = c∗ eAt x(0) ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ îòíà÷àëüíûõ äàííûõ (zero input response èëè natural response).Èç óðàâíåíèé ïîäñòðàèâàåìîãî ãåíåðàòîðà (3.3) è ëèíåéíîãî ôèëüòðà (3.8),ïîëó÷èì àâòîíîìíóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ñõåìû íàÐèñ.
3.2:ẋ = Ax + bϕ(θΔ ),(3.10)∗θ̇Δ = ωΔ − Lc x − Lhϕ(θΔ ).freeÑõåìû íà Ðèñ. 3.1 è Ðèñ. 3.2 íàçûâàþò ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñèãíàëûïîäñòðàèâàåìûõ ãåíåðàòîðîâ äîñòàòî÷íî áëèçêè íà íåêîòîðîì äîñòàòî÷íîáîëüøîì èíòåðâàëå âðåìåíè (òî åñòü ðàçíîñòü óïðàâëÿþùèõ ñèãíàëîâ g(t) èG(t) äîñòàòî÷íî ìàëà).Òåîðåìà 11. Õàðàêòåðèñòèêàôàçîâîãî äåòåêòîðà êëàññè÷åñêîéñõåìû ÔÀÏ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ñèãíàëîâ ãåíåðàòîðîâñëåäóþùèì îáðàçîì:ϕ(θΔ ) =ϕ(θΔ )+∞F [ϕ](n)einθΔ ,(3.11)n=−∞F [ϕ](n) = F [f1 ](n)F [f2 ](−n).Äîêàçàòåëüñòâî.Äëÿ âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðèñòèêè ÔÄ ïðèìåíèì ìåòîäóñðåäíåíèÿ Êðûëîâà-Áîãîëþáîâà (ñì., íàïðèìåð, [268]).Äëÿ ïðàâîé ÷àñòèíåàâòîíîìíîé ñèñòåìû (3.7)⎛⎜ Ax + bf1 (ω1 t)f2 (ω1 t − θΔ )F (x, θ, t) = ⎜⎝∗⎞⎟⎟,⎠ωΔ − Lc x − hf1 (ω1 t)f2 (ω1 t − θΔ )free(3.12)108ñîäåðæàùåé âûñîêî÷àñòîòíûå ñèãíàëû, ðàññìîòðèì óñðåäíåíèå ïî âðåìåíè1F̃ (x, θ) = limT →∞ TT(3.13)F (x, θ, t)dt.0Òàê êàê èíòåãðèðîâàíèå ôóíêöèè F (x, θ, t) â ïðåäåëå (3.13) âåäåòñÿ ïîïåðåìåííîé âðåìåíè t, òî, î÷åâèäíî, èìååì1limT →∞ T1limT →∞ TT freefreeωΔ− Lc∗ x dτ = ωΔ− Lc∗ x,0T(3.14)Axdτ = Ax.0Îñòàëîñü íàéòè ïðåäåë1limT →∞ TT01f1 (ω1 τ )f2 (ω1 τ − θΔ )dτ = limT →∞ T ω1Tω1f1 (τ )f2 (τ − θΔ )dτ.(3.15)0Ïî óñëîâèþ ôóíêöèè f1,2 (θ) èìåþò ïåðèîä 2π .Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿf1 (τ )f2 (τ − θΔ ) ÿâëÿåòñÿ 2π -ïåðèîäè÷åñêîé ïî τ è ïî θΔ .
Ïðåäñòàâèì èíòåãðàëïîä çíàêîì ïðåäåëà â âèäå ñóììû1T ω1Tω10Nf1 (τ )f2 (τ − θΔ )dτ =T ω12π0Tω1 1f1 (τ )f2 (τ − θΔ )dτ,f1 (τ )f2 (τ − θΔ )dτ +T ω1 2πN(3.16)ãäå N = N (T ) - íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî òàêîå, ÷òî 2πN ≤ T ω1 . Òàê êàêôóíêöèè f1,2 (θ) ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûìè è T ω1 − 2πN < 2π , òîω T1 1f1 (τ )f2 (τ − θΔ )dτ = 0.limT →∞ ω1 T2πN(3.17)Îïðåäåëèì õàðàêòåðèñòèêó ôàçîâîãî äåòåêòîðà ñëåäóþùèì îáðàçîì:1ϕ(θΔ ) =2π2π0f1 (τ )f2 (τ − θΔ )dτ.(3.18)109Òîãäà ñîãëàñíî (3.16)(3.18) èìååì1limT →∞ T ω1Tω12πNϕ(θΔ ).T →∞ T ω1(3.19)f1 (τ )f2 (τ − θΔ )dτ = lim0Èç îïðåäåëåíèÿ N = N (T ) ýòîò ïðåäåë ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ϕ(θΔ ).Âñïîìèíàÿ (3.15), èìååì1limT →∞ TTf1 (ω1 τ )f2 (ω1 τ − θΔ )dτ = ϕ(θΔ ),(3.20)0ïðè÷åì ïðåäåë ðàâíîìåðíûé ïî θΔ .
Òàêèì îáðàçîì äëÿ óñðåäíåííîé ïðàâîé÷àñòè ñèñòåìû (3.13) ïîëó÷èì⎛⎞⎜ Ax + bϕ(θΔ )⎟⎟.⎠F̃ (x, θ, t) = ⎜⎝∗(3.21)ωΔ − Lc x − hϕ(θΔ )freeÇàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ(θΔ ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñâåðòêó ôóíêöèé f1 (θ) èf2 (−θ). Òîãäà ïî ôîðìóëå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà Ôóðüå ñâåðòêè [301, ñòð.36], ïîëó÷èì âûðàæåíèå (3.11) äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ϕ(θΔ ) â ðÿäÔóðüå. Çàìåòèì, ÷òî èç (3.18) è êóñî÷íîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè f1,2 (θ) ñëåäóåò,÷òî ϕ(θΔ ) íåïðåðûâíà è îãðàíè÷åíà íà R.Òàêèì îáðàçîì ïðåäëîæåííûé ïîäõîä, îñíîâàííûé íà ïðèìåíåíèå ìåòîäàóñðåäíåíèÿ, ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü õàðàêòåðèñòèêó ôàçîâîãî äåòåêòîðà èïîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü ñõåì íà Ðèñ. 3.1 è Ðèñ.
3.2.Îòìåòèì, ÷òîàâòîíîìíàÿ íåëèíåéíàÿ ìîäåëü (3.10) øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ(ñì., íàïðèìåð, [40,42,57]) äëÿ èçó÷åíèÿ ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ðàçëè÷íûõ ñõåìÔÀÏ. Ïðè ýòîì îáîñíîâàíèå âîçìîæíîñòè åå èñïîëüçîâàíèÿ ÷àñòî îïóñêàåòñÿ(ñì., íàïðèìåð, êëàññè÷åñêèå ðàáîòû [294, ñòð.12,15-17], [110, ñòð.7]), ÷òî ìîæåòïðèâîäèòü ê íåäîñòîâåðíûì ðåçóëüòàòàì (ñì., íàïðèìåð, [212, 274]).110Ñëåäñòâèå 1.f1 (θ) = sin(θ), f2 (θ) = sin(θ),1ϕ(θ) = cos(θ).2(3.22)Ñëåäñòâèå 2.∞4 1f1 (θ) = sign sin(θ) =sin((2n + 1)θ),π n=0 2n + 1∞4 1sin((2n + 1)θ),f2 (θ) = sign sin(θ) =π n=0 2n + 1∞18 cos((2n + 1)θ).ϕ(θ) = 2π n=0 (2n + 1)2(3.23)Ïîëó÷åííûå â Ñëåäñòâèÿõ 1 è 2 ôîðìóëû äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ϕ(·),ñîâïàäàþò ñ õîðîøî èçâåñòíûìè âûðàæåíèÿìè [57, 190, 199, 270].Âêà÷åñòâåôàçîâûõäåòåêòîðîâêðîìåïåðåìíîæèòåëåéìîãóòèñïîëüçîâàòüñÿ è ðàçëè÷íûå äðóãèå ýëåìåíòû (ñì., íàïðèìåð, JK-ipop,EXOR, PFD), îäíàêî îáû÷íî õàðàêòåðèñòèêà ÔÄ ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîéêóñî÷íî-ãëàäêîé íå÷åòíîé 2π -ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé 3 :ϕ(θΔ (t) + 2πk) = ϕ(θΔ (t)),∀k = 0, 1, 2...Çäåñü óäîáíî ïîëàãàòü, ÷òî θΔ mod 2π ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé ïåðåìåííîé, èïðîâîäèòü àíàëèç ñèñòåìû òîëüêî äëÿ θΔ (0) ∈ [−π, π).Äëÿ ñëó÷àÿ íå÷åòíîé õàðàêòåðèñòèêè ÔÄ4 , ñèñòåìà (3.10) íå ìåíÿåòñÿ ïðèïðåîáðàçîâàíèèfreefreeωΔ, x(t), θΔ (t) → − ωΔ, −x(t), −θΔ (t) .(3.24)free>0Ñâîéñòâî (3.24) ïîçâîëÿåò ïðîâîäèòü àíàëèç ñèñòåìû (3.10) òîëüêî äëÿ ωΔè ââåñòè â ðàññìîòðåíèå êîíöåïöèþ îòêëîíåíèÿ ÷àñòîòû (frequencydeviation)free| = |ω1 − ω2free |.|ωΔ3 Åñëè ϕ(θ (t)) èìååò äðóãîé ïåðèîä, êàê, íàïðèìåð, äëÿ ñõåìû Êîñòàñà, òî îí äîëæåí ðàññìàòðèâàòüñÿΔäàëüøå âìåñòî 2π .4 Èçâåñòíû ïðèìåðû õàðàêòåðèñòèê ÔÄ, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ íå÷åòíûìè, íàïðèìåð, ñõåìà Êîñòàñà ññèãíàëîì çóá ïèëû (sawtooth signal) [47, 236]).111Ðàáî÷èå ðåæèìû (locked states) ìîäåëè ÔÀÏ â ïðîñòðàíñòâå ôàç ñèãíàëîâäîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: ðàñôàçèðîâêà θΔ ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé, ðàçíîñòü ÷àñòîò θ̇Δ ðàâíà íóëþ; åñëè ñîñòîÿíèå ìîäåëè ñîîòâåòñòâóåò ðàáî÷åìó ðåæèìó, òî ïîñëåíåáîëüøîãî âîçìóùåíèÿ (ôàçû ñèãíàëà ÏÃ, ôàçû âõîäíîãî ñèãíàëà èñîñòîÿíèÿ ôèëüòðà) ñîñòîÿíèå ìîäåëè îïÿòü ïåðåéäåò â ðàáî÷èé ðåæèì.Ëîêàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìîäåëè (3.10):θΔ (t) ≡ θeq + 2πk,(3.25)x(t) ≡ xeq ,ÿâëÿþòñÿ ðàáî÷èìè ðåæèìàìè, òî åñòü óäîâëåòâîðÿþò îïèñàííûì âûøåèíæåíåðíûì óñëîâèÿì5 .Äëÿ íåîñîáîé ìàòðèöû A (ò.å.
ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ôèëüòðà íå èìååòíóëåé â çíàìåíàòåëå) ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû (3.10) óäîâëåòâîðÿþòñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿìfreefreeωΔωΔ=,ϕ(θeq ) =L(c∗ A−1 b − h) LH(0)freeωΔ−1−1.xeq = −A bϕ(θeq ) = −A bL(c∗ A−1 b − h)Çäåñü,(3.26)ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ìíîãîçíà÷íàÿfreeôóíêöèÿ ïåðåìåííîé ωΔ:freefreexeq (ωΔ), θeq (ωΔ) .Èç îãðàíè÷åííîñòèfreeõàðàêòåðèñòèêè ÔÄ ϕ(θeq ) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ |ωΔ| ñèñòåìàíå èìååò ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ (ñì. Ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
