Диссертация (1145332), страница 26
Текст из файла (страница 26)
При выводесистемы оптимальности ограничения, наложенные на переменную θ, вызывают дополнительные трудности. Таким образом, мы сведем задачу (5.32) кзадаче без фазовых ограничений:J(y) → inf,FM (y, u) = 0,y ∈ V, u ∈ Uad .(5.33)Здесь отображение FM : V × U → V определяется формулой((FM (y, u), z)) = ((y + ye, z)) + ((F(y, u), z)),∀z ∈ V,(5.34)192где((F(y, u), z)) = (v · ∇θ, η) + µa b(|θ|θ3 − ϕ, η)+Zµa (ϕ − |θ|θ3 , ψ) +u ϕ − Θ40 ψdΓ,∀z ∈ V. (5.35)Γ1Лемма 5.4. Задачи (5.32) и (5.33) эквивалентны.Доказательство.
Если θ ∈ H 1 (G) является такой, что 0 ≤ θ ≤ M , то|θ|θ3 = θ4 , FM (y, u) = F (y, u), y ∈ V, u ∈ U .Зафиксируем функцию u ∈ Uad и покажем, что любое решение y = {ζ, ϕ}уравненияFM (y, u) = 0(5.36)удовлетворяет следующим условиям:0 ≤ ϕ ≤ M 4.0 ≤ θ ≤ M,(5.37)e Умножим (5.36) скалярно в V на z = {η, 0}, где η = max{θ −где θ = ζ + θ.M, 0} ∈ V1 . Тогдаa(∇θ, ∇η) + (v · ∇θ, η) + µa b(|θ|θ3 − ϕ, η) = 0.Это дает следующее равенство:1ak∇ηk +22Z2Z(θ4 − ϕ)(θ − M )dr = 0.vn η dΓ + µa bΓ3θ>MСледовательно, замечая, чтоZθ>M, ϕ>M 4(θ4 − ϕ)(θ − M )dr ≤Zθ>M(θ4 − ϕ)(θ − M )dr,193приходим к неравенствуak∇ηk2 + µa bZ(θ4 − ϕ)(θ − M )dr ≤ 0.(5.38)θ>M, ϕ>M 4Пусть ψ = ϕ1/4 − M , если ϕ > M 4 , и ψ = 0, если ϕ ≤ M 4 .
Заметим, чтоψ ∈ H 1 (G), так как |∇ψ| ≤ |∇ϕ|/4M 3 . Далее, умножая (5.36) скалярно в Vна z = {0, ψ}, получаемα4Z|∇ϕ|2dr+µaϕ3/4ϕ>M 4ZZ3u ϕ−(ϕ−|θ|θ )ψdr+ϕ>M 4Θ40ZψdΓ+βϕψdΓ = 0.Γ2 ∪Γ3Γ1(5.39)Пренебрегая неотрицательными слагаемыми в (5.39) и учитывая, чтоZ(ϕ − |θ|θ3 )ψdr ≤ϕ>M 4 ,θ>MZ(ϕ − |θ|θ3 )ψdr,ϕ>M 4приходим к неравенствуZ(ϕ − θ4 )(ϕ1/4 − M )dr ≤ 0.µa(5.40)ϕ>M 4 ,θ>MУмножая (5.40) на b и прибавляя результат к (5.38), получаем оценку2Zak∇ηk + µa b(θ4 − ϕ)(θ − ϕ1/4 )dr ≤ 0.θ>M,ϕ>M 4Учитывая, что интегральное слагаемое в последней оценке неотрицательно,мы заключаем, что ∇η = 0, следовательно η = 0 в G, что дает θ ≤ M в G.Далее, умножая (5.36) скалярно в V на z = {0, ψ}, где ψ = max{ϕ −M 4 , 0} ∈ H 1 (G), получаемαk∇ψk2 + µaZϕ>M 4(ϕ − |θ|θ3 )ψdr +ZΓ1u ϕ − Θ40 ψdΓ + βZΓ2 ∪Γ3ϕψdΓ = 0.194Учитывая, что |θ|θ3 ≤ M 4 и принимая во внимание определение функции ψ,заключаем, что все интегральные слагаемые неотрицательны, следовательноψ = 0 в G, что дает ϕ ≤ M 4 в G.Аналогично, умножая (5.36) на z = {η, 0}, где η = min{θ + ε, 0} ∈ V1 ,ε > 0, приходим к неравенствуZak∇ηk2 + µa b(|θ|θ3 − ϕ)(θ + ε)dr ≤ 0.(5.41)θ<−ε,ϕ<−ε4Пусть ψ = −|ϕ|1/4 + ε, если ϕ < −ε4 , и ψ = 0, если ϕ ≥ −ε4 .
Заметим, чтоψ ∈ H 1 (G), поскольку |∇ψ| ≤ |∇ϕ|/4ε3 . Умножая (5.36) скалярно в V наz = {0, ψ}, получаемα4Z|∇ϕ|2dr+µa|ϕ|3/4Z3(ϕ−|θ|θ )ψdr+ϕ<−ε4ϕ<−ε4Zu ϕ−Θ40ZψdΓ+βΓ1ϕψdΓ = 0.Γ2 ∪Γ3Следовательно,Z(ϕ − |θ|θ3 )(−|ϕ|1/4 + ε)dr ≤ 0.µaϕ<−ε4 ,θ<−εУмножая последнее неравенство на b и добавляя результат к (5.41), приходимк неравенствуak∇ηk2 + µa bZ(|θ|θ3 − ϕ)(θ + |ϕ|1/4 )dr ≤ 0.θ<−ε,ϕ<−ε4Так как второе слагаемое неотрицательно, то ∇η = 0, следовательно η = 0 вG, что дает θ ≥ −ε в G. Аналогично можно показать, что ϕ ≥ −ε4 в G.
Всилу произвольности ε > 0 мы заключаем, что θ ≥ 0, ϕ ≥ 0 в G.Таким образом, полученные оценки (5.37) показывают, что задачи (5.32)и (5.33) эквивалентны. Лемма доказана.19512.2.Разрешимость задачи оптимального управленияРассмотрим предварительно вопрос о разрешимости задачи (5.33) для любого заданного управления u ∈ Uad .e ϕ}, которое удоЛемма 5.5. Для любого u ∈ Uad существует y = {θ − θ,влетворяет условиям: FM (y, u) = 0 иe V + kϕkH 1 (G) ≤ C,kθ − θk1(5.42)где C > 0 не зависит от u ∈ Uad .Доказательство. Вначале докажем непрерывность оператора F, определенного равенством (5.35). Возьмем y1 = {ζ1 , ϕ1 }, y2 = {ζ2 , ϕ2 } из V , и пустьkζ1,2 kV ≤ χ.
Обозначим ζ = ζ1 − ζ2 , ϕ = ϕ1 − ϕ2 и θi = θe + ζi , i = 1, 2, и1оценим выражение((F(y1 , u) − F(y2 , u), z)) = (v · ∇ζ, η) + µa b(|θ1 |θ13 − |θ2 |θ23 − ϕ, η)−−µa (|θ1 |θ13 − |θ2 |θ23 − ϕ, ψ) +ZuϕψdΓ ≤ kvkL∞ (G) k∇ζkkηk+Γ12µa b kθ1 k3L6 (G) + kθ2 k3L6 (G) kζkL4 (G) kηkL4 (G) + µa bkϕkkηk + µa kϕkkψk+332µa kθ1 kL6 (G) + kθ2 kL6 (G) kζkL4 (G) kψkL4 (G) + ku2 kL∞ (Γ1 ) kϕkL2 (Γ1 ) kψkL2 (Γ1 ) .(5.43)Далее обозначим F(y1 , u) − F(y2 , u) = {f1 , f2 } = f и положим z = f внеравенстве (5.43), что означает подстановку η и ψ вместо f1 и f2 соответственно.Принимая во внимание непрерывность вложений V1 и H 1 (G) в Ls (G),1 ≤ s ≤ 6 и непрерывность операторов следа из V1 и H 1 (G) в L2 (Γ1 ), мыполучаем следующую оценку из (5.43):kf k2V ≤ C k∇ζkkf1 k + kζkL4 (G) + kϕk + kϕkL2 (Γ1 ) kf kV .(5.44)196e L6 (G) ,Здесь постоянная C зависит только от a, b, α, β, χ, kvkL∞ (G) , kθkku2 kL∞ (Γ1 ) и норм операторов вложения и следа.Следствием оценки (5.44) является непрерывность оператора F(·, u) :V → V .
Принимая во внимание компактность вложения V1 и H 1 (G) в L4 (G)и, следовательно, в L2 (G) и компактность оператора следа, получим компактность оператора F.Далее, на основании непрерывности и компактности оператора F, для доказательства разрешимости уравнения (5.36) воспользуемся принципом ЛереШаудера, показав, что решения yλ множества операторных уравненийyλ + ye + λF(yλ , u) = 0,λ ∈ (0, 1](5.45)равномерно по параметру λ ограничены в пространстве V . Во-первых, как ив доказательстве леммы 5.4. выводим оценки0 ≤ θλ ≤ M,0 ≤ ϕλ ≤ M 4 в G.θλ = θe + ζλ ,Далее, умножив (5.45) скалярно в пространстве V на yλ ∈ V , получимe ∇ζλ ) + αk∇ϕλ k2 + λak∇ζλ k2 + a(∇θ,2λµa (ϕλ −θλ4 , ϕλ )Zu ϕλ −+λZΘ40vn θλ2 dΓ + λµa b(θλ4 − ϕλ , ζλ )+Γ3Zϕλ dΓ + βΓ2 ∪Γ3Γ1ϕ2λ dΓ = 0.Поэтому22Zak∇ζλ k + αk∇ϕλ k + βΓ2 ∪Γ3ϕ2λ dΓ≤ µa bM4e ∇ζλ ) + ku2 kL∞ (Γ ) M 8 mesΓ1 ≤a(∇θ,1Z|ζλ |dr + µa M 8 mesG+G3ak∇ζλ k2 + C1 .4Здесьe 2,C1 = µa M 8 mesG(1 + K(G)µa b2 /2a) + M 8 ku2 kL∞ (Γ1 ) mesΓ1 + ak∇θk197где K(G) – константа из неравенства Пуанкаре-Стеклова (kζk2 ≤ K(G)k∇ζk2 ,ζ ∈ V1 ).Из полученной равномерной ограниченности следует разрешимость уравнения y + F(y, u) = 0 в пространстве V и справедливость оценок: 0 ≤ θ ≤ Mи 0 ≤ ϕ ≤ M 4 в G.
Лемма доказана.Теорема 5.3. Задача управления (5.32) является разрешимой.Доказательство. Из леммы 5.5. следует, что для любого допустимого управления u ∈ Uad уравнение FM (y, u) = 0 имеет решение y ∈ V . Учитывая (5.37),в силу ограниченности множества Uad получаем, что найдутся последовательности yj = {ζj , ϕj } ∈ V , uj ∈ Uad , j = 1, 2, ..., такие, чтоJ(yj ) → Jb = inf{J(y, u) : FM (y, u) = 0, u ∈ Uad } ≥ −∞,uj → ub слабо в U,b ϕ}yj → yb = {ζ,b слабо в V,FM (yj , uj ) = 0 ∀j.Заметим, что ub ∈ Uad и неравенства (5.42) выполняются, если в качестве θи ϕ взять θb = ζb + θe и ϕb соответственно. Переходя, если это необходимо, кподпоследовательностям, заключаем, чтоb Γ , ϕj |Γ → ϕ|ζj |Γ3 → ζ|b Γ3 в L2 (Γ3 ),33bследовательно J(by ) = J.Кроме того,ζj → ζ в L2 (G),ϕj |Γ1 → ϕ|b Γ1 в L2 (Γ1 ),и поэтомуb · kηk → 0, ∀η ∈ L2 (G),|(θj4 − θb4 , η)| ≤ 4M 3 kζj − ζkZ Z Z (uj ϕj − u ≤ (ϕj − ϕ)u + (uj − u≤bϕ)ψdΓbbψdΓb)ϕψdΓbj Γ1Γ1Γ1198Z → 0,b)ϕψdΓbku2 kL∞ (Γ1 ) kϕj − ϕkb L2 (Γ1 ) kψkL2 (Γ1 ) + (uj − uΓ1eгде θj = ζj + θ.Таким образом, можно перейти к пределу в равенстве ((FM (yj , uj ), z)) =0, z ∈ V , следовательно FM (by, ub) = 0.
Таким образом, пара {by, ub} ∈ V ×Uad является решением задачи (5.33), следовательно и задачи (5.32). Теоремадоказана.12.3.Необходимые условия оптимальностиСледующая теорема формулирует основной результат этого раздела.b ϕ}Теорема 5.4. Пусть yb = {ζ,b ∈ V, ub ∈ Uad является решением задачиe Тогда существует пара (λ, p) ∈ (R+ × V )\{0}управления (5.32) и θb = ζb + θ.такая, что тройка (by, ub, p), где p = (p1 , p2 ), удовлетворяет соотношениямb3Za(∇p1 , ∇η) + (v · ∇η, p1 ) + 4µa θ (bp1 − p2 ), η − λvn ηdΓ = 0 ∀η ∈ V1 ,Γ3(5.46)α(∇p2 , ∇ψ) + µa (p2 − bp1 , ψ)+ZZZubp2 ψdΓ + βp2 ψdΓ − λbβ ψdΓ = 0 ∀ ψ ∈ H 1 (G), (5.47)Γ1Γ2 ∪Γ3Γ3p2 ϕb − Θ40 (ξ − ub) ≥ 0 ∀ξ ∈ [u1 , u2 ] почти всюду на Γ1 .(5.48)Доказательство.
Для доказательства теоремы достаточно воспользоватьсяпринципом Лагранжа в гладко-выпуклых экстремальных задачах [31,86]. Заметим, что для всех u ∈ Uad отображения y → J(y), y → FM (y, u) непрерывнодифференцируемы в окрестности O(by ). Кроме того, отображение u → FM (y, u)непрерывно из U в V и аффинно. Обозначим через B : V → V производнуюФреше отображения y → FM (y, u) в точке {by, ub} и покажем, что образ линейного оператора B замкнут и имеет конечную коразмерность в V . Этодостаточно для обоснования применения принципа Лагранжа.199Из определения оператора FM , с учетом θb ≥ 0 получаем, что для любыхh = {h1 , h2 } ∈ V , z = {η, ψ} ∈ V3b((Bh, z)) = a(∇h1 , ∇η) + α(∇h2 , ∇ψ) + (v · ∇h1 , η) + µa b 4θ h1 − h2 , η +ZZ3µa (h2 − 4θb h1 , ψ) + ubh2 ψdΓ + βh2 ψdΓ = ((h, z)) + ((Sh, z)).
(5.49)Γ2 ∪Γ3Γ1Здесь S : V → V – линейный оператор. Аналогично, как и в доказательствелеммы 5.5., доказывается компактность оператора S, определенного отношением (5.49). Следовательно, оператор B = I + S является фредгольмовым.Отсюда следует замкнутость в V множества ImB и условие Codim(ImB) <∞.Далее рассмотрим функцию ЛагранжаL(y, u, λ, p) = λJ(y) + ((FM (y, u), p)),где λ ∈ R+ , y, p ∈ V и u ∈ Uad .
В соответствии с принципом Лагранжа(см. [86, Гл. 2, Т. 1.5]) существует пара (λ, p) ∈ (R+ × V )\{0} такая, чтоhL0y (by, ub, λ, p), zi = 0 ∀z = {η, ψ} ∈ V,(5.50)hL0u (by, ub, λ, p), v − ubi ≥ 0 ∀v ∈ Uad .(5.51)Здесь через h·, ·i обозначаются значения соответствующих функционалов,определяющих производные функции Лагранжа.Из равенства (5.50) получаем, для всех η ∈ V1 и ψ ∈ H 1 (G),Z−λ(vn η + bβψ)dΓ + a(∇η, ∇p1 ) + α(∇ψ, ∇p2 ) + (v · ∇η, p1 )+Γ3µa b 4θb3 η − ψ, p1 + µa ψ − 4θb3 η, p2 +ZZubψp2 dΓ + βΓ1ψp2 dΓ = 0.Γ2 ∪Γ3(5.52)200Полагая здесь сначала ψ = 0, получаем (5.46). Затем, выбрав η = 0, приходимк соотношению (5.47).Следствием (5.51) будет вариационное неравенствоZΓ1(v − ub) ϕb − Θ40 p2 dΓ ≥ 0 ∀ v ∈ Uad ,из которого, учитывая структуру выпуклого множества Uad , получаем неравенство (5.48).Замечание 5.1.
Вариационные равенства (5.46) и (5.47) означают, чтофункции p1 ∈ V1 и p2 ∈ H 1 (G) для заданных θb и ub являются слабым решением следующей краевой задачи:−a4p1 − v · ∇p1 + 4µa θb3 (bp1 − p2 ) = 0 в G,(5.53)−α4p2 + µa (p2 − bp1 ) = 0 в G,(5.54)p1 |Γ1 ∪Γ2 = 0, a∂n p1 + vn p1 |Γ3 = λvn ,(5.55)p2 |Γ2 = 0, α∂n p2 + ubp2 |Γ1 = 0, α∂n p2 + βp2 |Γ3 = λbβ.(5.56)Из неравенства (5.48) вытекает следующий вид оптимального управления:(ub=u1 ,u2 ,ϕb − Θ40 p2 > 0,ϕb − Θ40 p2 < 0.(5.57)Соотношения (5.53)-(5.57) вместе с уравнениями (5.23)-(5.26) образуют систему оптимальности задачи (5.23)-(5.29).12.4.Условия регулярности оператора ограниченийДля практического использования системы оптимальности представляетинтерес случай, когда отображение FM является регулярным, то есть образоператора B (производной Фреше FM ) в точках {by, ub} совпадает со всемпространством V.
В этом случае множитель Лагранжа λ может быть выбранравным 1. В силу фредгольмовости оператора B это эквивалентно условию201KerB = {0} и фактически достаточно выяснить при каких условиях задача (5.46), (5.47) при λ = 0 имеет тривиальное решение. Указанные условиянетрудно привести для конкретных областей G, поля скоростей v и параметра M . Рассмотрим пример области G, являющейся каналом с квадратнымсечением D.Теорема 5.5. Пусть выполняются следующие условия:G = (0, l) × D = {r = (x1 , x2 , x3 ) : x1 ∈ (0, l), (x1 , x2 ) ∈ D ⊂ R2 },(j)Γ1 = (0, l) × ∂D, Γ2 = {0} × D, Γ3 = {l} × D.(jj)v = (v, 0, 0), v = const > 0,(jjj) aK −1 (G) + γ0 > 8M 3 µa b, гдеγ0 =pvs2−as,s=µa /2α,2esl − 1K −1 (G) = inf{k∇ηk2 : kηk = 1, η ∈ V1 }.Тогда теорема 5.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
