Диссертация (1145332), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В обоих случаях были взяты следующие параметры задачи:λ = 0.9, τ = 3, Θ1 = 1, ρs1 = 0.1, ρd1 = 0.2, ε1 = 0.7, Θ2 = 0.5, ρs2 = 0.3,ρd2 = 0.1 и ε2 = 0.6. Различие между двумя задачами состоит в значении параметра Nc , который принимает значения равные 0.05 и 0.00001. Последнеезначение Nc соответствует случаю более высоких температур.На рисунке 4.1 представлены следующие аппроксимации для температуры Θ(z) (Nc = 0.05): первая соответствует рекурсивному алгоритму метода Монте-Карло (4.51), (4.52), (4.54); вторая строится на основе диффузионного приближения (4.58)-(4.60) и (4.64); третья получена C.E.
Siewert иJ.R. Thomas [159]. При численной реализации были взяты следующие значения параметров метода Монте-Карло: число слагаемых ряда Неймана N =14; число сгенерированных траекторий M = 10000. Реализация диффузионного приближения осуществлялась с помощью пакета Maple 9.5. Для обоих подходов использовалось 20 шагов итерационной процедуры. Параметр αитерационного метода был выбран равным 0.5. Как видно из рисунка, всеприближения достаточно близки. Здесь не приведен график, соответствующий диффузионному приближению с граничными условиями Маршака, поскольку он визуально неразличим с графиком диффузионного приближенияс граничными условиями (4.59), (4.60).На рисунке 4.2 представлены следующие аппроксимации температурыΘ(z) для Nc = 0.00001 (это соответствует случаю более высоких температурпо сравнению с предыдущим случаем): первая соответствует рекурсивному150алгоритму метода Монте-Карло (4.51), (4.52), (4.54); вторая строится на основе диффузионного приближения (4.58)-(4.60) и (4.64); третья строится наоснове диффузионного приближения (4.58), (4.61), (4.62) и (4.64); четвертая получена C.E.
Siewert [160]. Для реализации метода было использовано500 шагов итерационной процедуры. Параметр α итерационной процедурыбыл взят равным 0.0001. Заметим, что отклонения температурных профилейздесь более существенные чем на рисунке 4.1. Тем не менее, диффузионноеприближение достаточно качественно описывает поведение температуры. Таким образом, диффузионное приближение может успешно применяться дляописания поведения температуры в задачах, где не требуется высокая точность.На рисунке 4.3 приведены результаты экспериментов, демонстрирующиесходимость итерационной процедуры, основанной на методе Монте-Карлопри Nc = 0.00001. Графики соответствуют 50, 150 и 500 шагам итерационнойпроцедуры.На рисунке 4.4 приведены результаты экспериментов, демонстрирующиенеустойчивость итерационной процедуры, основанной на методе Монте-Карло.Неустойчивость проявляется при недостаточном числе траекторий, M = 2000.Графики соответствуют 300 и 900 шагам итерационной процедуры.
Подобныйэффект наблюдается и при использовании диффузионного приближения приневысокой точности вычислений.Параллелизация рекурсивного вычислительного алгоритма была реализована в С++ коде с использованием технологии MPI. В первой серии вычислительных экспериментов анализировались перспективы использованиядвух основных способов параллелизации алгоритма: в первом, параллелизация осуществлялась по точкам слоя, во втором – по траекториям методаМонте-Карло. Вычисление нормализованной температуры проводилось в 32точках слоя, при этом для нахождения температуры в одной точке генерировалось 8192 (или 213 ) траекторий.
Были взяты следующие значения параметров задачи: N = 8, Nc = 0.00001, λ = 0.9, τ = 3, Θ1 = 1, ρs1 = 0.1, ρd1 = 0.2,ε1 = 0.7, Θ2 = 0.5, ρs2 = 0.3 , ρd2 = 0.1 и ε2 = 0.6.В таблице 4.1 приведено время выполнения 10 итераций алгоритма и по-151лучаемое ускорение в зависимости от количества используемых вычислительных ядер. Время выполнения программы находилось с помощью метода clock.Ускорение, соответствующее k ядрам, рассчитывалось как отношение времени выполнения программы на 1 ядре ко времени выполнения параллельногокода на k ядрах. Данные, представленные в таблице 4.2, соответствуют алгоритму, в котором распараллеливание осуществлялось по траекториям методаМонте-Карло.
Из анализа полученных результатов следует, что оба параллельных алгоритма обладают высокой эффективностью и обеспечивают хорошее ускорение времени выполнения программы, близкое к линейному. Так,отклонение от "идеального" линейного ускорения при распараллеливании потраекториям на 64 ядрах не превосходит 6%. При этом большую эффективность демонстрирует алгоритм, в котором параллелизация осуществляетсяпо точкам слоя. С другой стороны, алгоритм, осуществляющий параллелизацию по траекториям, достаточно перспективен для реализации на многоядерных суперкомпьютерных комплексах, поскольку содержит большое количество независимых процессов, равное количеству генерируемых траекторий.В заключительной серии экспериментов решалась задача определенияотражающих характеристик границ, обеспечивающих высокую теплоотдачу. Были взяты следующие параметры задачи: N = 10, M = 2000, Nc =0.005, λ = 0.9, Θ1 = 1, Θ2 = 0.5, p(ν, ν 0 ) = 1 + νν 0 .
Вычисление функции(4.46) на основе итерационного алгоритма (4.43) и рекуррентных соотношений (4.51), (4.52), (4.54) осуществлялось в 66 узлах равномерной сетки, вобласти0 ≤ ρs + ρd < 1. На рисунке 4.5 представлен график функции J вобласти0 ≤ ρs + ρd < 1. Слабая теплоотдача соответствует случаю, когдазначение коэффициента излучения ε близко к 0.15210.90.80.70.60.500.511.522.53Рисунок 4.1 — Температурные профили для Nc = 0.05: 20 шагов итерационного алгоритма, основанного на методе Монте-Карло (сплошная линия);20 шагов итерационного алгоритма, основанного на диффузионном приближении с граничными условиями (4.59), (4.60) (пунктирная линия); данныеиз [159] (точечный график, квадратный маркер).10.90.80.70.60.500.511.522.53Рисунок 4.2 — Температурные профили для Nc = 0.00001: 500 шагов итерационного алгоритма, основанного на методе Монте-Карло (сплошная линия);500 шагов итерационного алгоритма, основанного на диффузионном приближении с граничными условиями (4.59), (4.60) (пунктирная линия); 500 шагов итерационного алгоритма, основанного на диффузионном приближениис граничными условиями Маршака (точечная линия); данные из [160] (точечный график, квадратный маркер).15310.90.80.70.60.500.511.522.53Рисунок 4.3 — Вычислительный эксперимент для Nc = 0.00001, демонстрирующий сходимость итерационной процедуры, основанной на методеМонте-Карло.
Графики соответствуют: 50 шагам (точечная линия), 150 шагам (пунктирная линия) и 500 шагам итерационной процедуры (непрерывнаялиния).10.90.80.70.60.500.511.522.53Рисунок 4.4 — Вычислительный эксперимент для Nc = 0.00001, демонстрирующий неустойчивость итерационной процедуры, основанной на методеМонте-Карло. Неустойчивость имеет место в случае использования недостаточного числа траекторий. Графики соответствуют: 300 шагам (непрерывнаялиния) и 900 шагам (пунктирная линия) итерационной процедуры.154Таблица 4.1 — Ускорение времени выполнения 10 шагов итерационного алгоритма при распараллеливании по точкам слояКоличество ядер Время выполнения (мс) Ускорение111914080259547002,00430038403,97815135507,871676069015,663238190031,20Таблица 4.2 — Ускорение времени выполнения 10 шагов итерационного алгоритма при распараллеливании по траекториям метода Монте-КарлоКоличество ядер Время выполнения (мс) Ускорение111914080260097801,98430726303,88815366307,751676157015,643239497030,166419637060,67155Рисунок 4.5 — График функции J(ρs , ρd ), характеризующей отдачу тепла отстенок слоя в зависимости от значений коэффициентов зеркального (ρs ) идиффузного (ρd ) отражения.§9.Итерационный алгоритм для диффузионной моделирадиационно-кондуктивного теплообменаЦелью настоящего параграфа является построение конструктивного доказательства разрешимости краевой задачи для нелинейной диффузионноймодели радиационно-кондуктивного теплообмена, нахождение условий единственности решения.
Предлагаемый подход основывается на нахождении неподвижной точки нелинейного оператора решения A : R2 → R2 , построенногона основе модифицированной формы диффузионного приближения. Предлагается итерационный алгоритм, основанный на сжимающем свойстве оператора A. Определяются достаточные условия существования и единственностинеподвижной точки. В силу сжимающего свойства оператора A предложенный алгоритм сходится со скоростью геометрической прогрессии.1569.1.Постановка задачиРассмотри нелинейную модель радиационно-кондуктивного переноса тепла (4.39)-(4.42). Пустьp = 1 + Aνν 0 ,где A ∈ [−1, 1] – параметр анизотропии рассеяния.
Построим диффузионноеприближение для задачи (4.39)-(4.42). Для этого будем использовать следующее разложениеf (z, ν) ' Φ0 (z) + νΦ1 (z).Обозначим x = z/τ , ϕ(x) = Φ0 (τ x), θ(x) = Θ(τ x). Это дает следующееприближение уравнения (4.39):−ϕ00 (x) + αϕ(x) = αθ4 (x),(4.65)где α = τ 2 (1 − λ)(3 − Aλ). Для построения граничных условий будем использовать условия Маршака [142]:ϕ(0) − β1 ϕ0 (0) = Θ41 ,(4.66)ϕ(1) + β2 ϕ0 (1) = Θ42 ,(4.67)гдеβi =2 (2 − εi ),τ εi (3 − Aλ)i = 1, 2.В новых обозначениях уравнение (4.41) и граничные условия (4.42) запишутся следующим образом:θ00 (x) = −σϕ00 (x),θ(0) = Θ1 ,σ=1,Nc (3 − Aλ)θ(1) = Θ2 .(4.68)(4.69)Система (4.65)-(4.69) является диффузионным приближением задачи радиационно-кондуктивного теплообмена (4.39)-(4.42).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
