Диссертация (1145332), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Так,совпадение одной из компонент функций f (1) и f (2) на границе z = z0 дляν < 0 будет достаточно для разрешимости задачи томографии и единственности решения. На практике это означает, что для успешного решения задачитомографии мы можем измерить компоненту или комбинацию компонент, которая обеспечивает лучшую реконструкцию относительных показателей преломления.6.2.Тестирование алгоритма решения задачи томографииРассмотрим численный эксперимент определения показателей преломления слоистой среды.
Задача решается в два этапа. На первом, мы полагаемпараметры среды известными, решаем прямую задачу и находим для ν < 0функцию H(z0 , ν) = f + (z0 , ν), которая моделирует выходящее излучениеH = (H1 , H2 ). Алгоритм решения прямой задачи основан на использованииметода Монте-Карло нахождения решения уравнения переноса, который описан детально в §5. Для его реализации мы использовали аппроксимацию 12120слагаемых ряда Неймана (3.13). Для вычисления отдельного значения функции H генерировалось 5000 рекурсивных траекторий.Таким образом, на первом шаге мы моделируем облучение среды и находим характеристики выходящего излучения, необходимые для формулировкии решения обратной задачи.На втором шаге осуществляется решение задачи томографии. Пусть z0 =0. Найдем производные функций H+ (ν) = H1 (0, ν) + H2 (0, ν) и H− (ν) =H1 (0, ν) − H2 (0, ν).
Затем найдем значения νi , i ≤ p, для которых производные принимают аномально большие значения. Далее, используя равенстваpni /n1 = 1 − νi2 , найдем относительные показатели преломления.Для численных экспериментов мы рассмотрим следующую трехслойнуюсреду, моделирующую кожный слой: 1) эпидермис; 2) дерма; 3) капиллярные сплетения. Оптические характеристики этой модельной среды для длины волны λ = 633 nm представлены в таблице 3.1. Величины, взятые из [153],соответствуют характеристикам человеческой кожи.В проведенных экспериментах входящее излучение было взято равным(0, 0) на границе z = z3 и (1, 1) на z = z0 .
Таким образом, использовалосьнеполяризованное входящее излучение. В качестве P была взята матрица(3.21), описывающая рассеяние по Рэлею.Таблица 3.1 — Оптические характеристики элементов человеческой кожи дляизлучения на длине волны λ = 633 nm.№ слояМатериалТолщина (mm) ni µi (mm−1 ) µs,i (mm−1 )1Эпидермис0.0651.511.1310.72Верхняя дерма0.5651.418.9718.73Капиллярные0.091.3542.540сплетенияГрафики производных функций H+ (ν) и H− (ν) для ν ∈ (−1, 0) представлены на рисунке 3.4. Оба графика имеют пики для двух значений переменнойν (-0.43 и -0.36). Это дает два значения относительных показателей преломления: n2 /n1 = 0.933 (точное значение равно 0.9(3)), и n3 /n1 = 0.9028 (точноезначение равно 0.9). Таким образом, относительная ошибка реконструкции121меньше 0.5%.Заметим, что пик функции H+0 в точке ν = −0.43 значительно меньше,чем пик функции H−0 (см.
рисунок 3.4). Это объясняется тем фактом, что производные компонент выходящего излучения имеют противоположные знакив этой точке (см. рисунок 3.5).Как можно видеть из численных экспериментов, реконструкция относительных показателей преломления на основе векторного уравнения переносапозволяет осуществить более качественное восстановление.Рисунок 3.4 — Производные функций H+ и H− (пунктирная и сплошнаялиния, соответственно).1220Рисунок 3.5 — Производные компонент выходящего излучения: H1ν(0, ν)0(сплошная линия) и H2ν (0, ν) (пунктирная линия).Основные результаты и выводыПри моделировании переноса оптического излучения важным аспектомявляются условия, накладываемые на границах неоднородностей.
Наиболеераспространенными и изученными являются задачи с условиями непрерывной склейки решения. Однако, следует отметить важность учета эффектовотражения и преломления для моделирования распространения излучения воптическом диапазоне длин волн. Таким образом, для адекватного описанияпереноса оптического излучения на границах неоднородностей следует формулировать обобщенные условия сопряжения, учитывающие эффекты отражения и преломления. К наиболее популярным из таких условий можно отнести френелевские условия сопряжения, описывающие зеркальное отражениеи преломление по закону Снеллиуса.Плоскопараллельная модель переноса излучения имеет разнообразные при-123ложения, например, в задачах атмосферной оптики, в оптической диагностике кожного покрова и др. В Главе 3 исследуется модель переноса поляризованного излучения для случая плоскопараллельной и азимутальной симметрии с френелевскими условиями сопряжения на контактных границах слоев.Исследуется разрешимость прямой задачи для рассмотренной модели.
Изучается задача оптической томографии, заключающаяся в определении относительных показателей преломления слоев.К наиболее значимым результатам Главы 3 можно отнести следующие.1. Исследована математическая модель переноса поляризованного излучения в слоистой среде с обобщенными условиями сопряжения френелевского типа. Доказана однозначная разрешимость прямой задачи. Исследованынепрерывные свойства решения и доказаны оценки типа принципа максимума.2. Исследована задача томографии, заключающаяся в определении относительных показателей преломления слоев по известному излучению награнице среды. Предложен алгоритм нахождения относительных показателей преломления, основанный на свойствах решения прямой задачи для векторного уравнения переноса.
Продемонстрирована эффективность алгоритмареконструкции среды по сравнению с аналогичным методом, основанном наскалярной модели.3. Разработано специализированное программное обеспечение для решения прямой задачи для векторного уравнения переноса в слоистой среде ирешения задачи компьютерной томографии.Основные результаты Главы 3 представлены в работах [42,46,129,130,134].Результаты в [46] получены непосредственно автором. В остальных (совместных) работах творческий вклад по отношению к соавторам как минимумравный.
В работах [42, 130] автором доказаны теоремы однозначной разрешимости прямых задач для векторного уравнения переноса. В работе [129]автором разработан алгоритм параллельных вычислений решения прямой задачи, а в работе [134] – алгоритм решения задачи компьютерной томографии.124ГЛАВА 4. РАДИАЦИОННО-КОНДУКТИВНЫЙТЕПЛООБМЕН В СЛОЕ§7.Влияние различных факторов на точность диффузионногоприближения уравнения переносаПри моделировании радиационно-кондуктивного переноса тепла нередкоуравнение переноса заменяют на его диффузионное приближение (P1 приближение). В связи с этим представляют интерес вопросы о точности аппроксимации, которую обеспечивает диффузионное приближение к решениюуравнения переноса.
В работах Д.С. Аниконова, К. Кейза, R.A. Groenhuis,M. Motamedi, B.C. Wilson, G. Yoon и др. [14, 34, 120, 147, 170, 171] исследовалось влияние различных факторов на близость указанных моделей. Из проведенного в этих работах сравнения можно указать следующие благоприятныефакторы для использования диффузионного приближения: незначительнаяанизотропия рассеяния, подавляющее рассеяние, удаленность от границ неоднородностей.При использовании диффузионного приближения уравнения переноса важным является вопрос построения "наилучших" граничных условий. При выводе граничных условий для диффузионного приближения принято использовать подход, заключающийся в усреднении входящего в среду излучения поугловой переменной ν с некоторой весовой функцией W (ν).
Проблема построения наилучших граничных условий заключается в нахождении оптимальнойвесовой функции W (ν).Наибольшее распространение получили следующие граничные условия:1) граничные условия Маршака [142], соответствующие случаю W = ν.В.С. Владимировым показано [23], что при использовании граничных условий Маршака отклонение диффузионного приближения от решения точной125задачи в некоторой среднеквадратичной норме не превосходит погрешности,возникающей при любых других граничных условиях;2) для оптически толстых слоев при подавляющем рассеянии [26,121,141]часто используются граничные условия, соответствующие весовой функцииW (ν) ' 1.5ν 2 + ν.(4.1)Данный подход обеспечивает в равномерной метрике хорошую близость диффузионного приближения к регулярной компоненте решения уравнения переноса во всем слое и к решению уравнения переноса на больших оптическихглубинах внутри слоя [26, 119].В данном параграфе в терминах малого параметра, описывающего величину рассеяния в среде, проводится оценка близости усредненного по направлениям решения уравнения переноса и его диффузионного приближения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
