Диссертация (1145332), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Именно для функций из K существуют условия физического характера, которые в итоге гарантируют существование иединственность решения краевой задачи (2.1), (2.2). Эти условия заключаются в следующем. Для всех f ∈ K матрица P (r, ω, ω 0 ) должна удовлетворятьограничениям [24]P f ∈ K,Z(P (r, ω, ω 0 )f (r, ω 0 ))1 dω 0 ≤Ω(2.6)µ(r)4πZf1 (r, ω 0 )dω 0 .(2.7)ΩОграничение (2.6) означает, что матричный оператор P переводит конус Kв себя, то есть(P f )1 ≥ 0,(P f )21 ≥ (P f )22 + (P f )23 + (P f )24 ,а условие (2.7) выражает закон сохранения энергии в акте рассеяния в неразмножающей среде [24].Из леммы 2.3. и (2.6), (2.7) следуют утверждения:(4)1) оператор S : K → K ∩ Cb (G0 × Ω);772) оператор A, определенный равенствомd(r,−ω)Zexp(−τ (r, ω, t))ϕ(r − tω, ω)dt,(Aϕ)(r, ω) =0(4)действует из K ∩ Cb (G0 × Ω) в K ∩ D(G0 × Ω);3) оператор AS : K → K ∩ D(G0 × Ω) и удовлетворяет условиюk(ASf )1 k ≤ kf1 k 1 − e−µd .(2.8)Аналогично как и в скалярном случае [103, 104] доказывается следующееутверждение.Лемма 2.4.

Функция f является решением краевой задачи (2.1), (2.2) тогда и только тогда, когда f удовлетворяет уравнениюf (r, ω) = h(r − d(r, −ω)ω, ω) exp(−τ (r, ω)) + (AJ)(r, ω) + (ASf )(r, ω) (2.9)(4)в пространстве Cb (G0 × Ω0 ).Теперь сформулируем и докажем окончательное утверждение о корректности задачи (2.1), (2.2).(4)Теорема 2.1. Пусть eh(r, ω) ∈ K, J ∈ Cb (G0 × Ω) ∩ K и справедливы условия (2.6), (2.7), тогда в конусе K решение задачи (2.1), (2.2) существует иединственно.Доказательство. По лемме 2.4. достаточно доказать разрешимость уравнения (2.9). Заметим, что конус K является замкнутым подмножеством бана(4)хова пространства Cb (G0 × Ω0 ), следовательно K – полное пространство.Поэтому достаточно доказать, что оператор AS переводит K в K, функцияf0 (r, ω) = h(r − d(r, −ω)ω, ω) exp(−τ (r, ω)) + (AJ)(r, ω) ∈ Kи kASf k < kf k для всех f ∈ K.78(4)Так как оператор S : K → K ∩ Cb (G0 × Ω), а оператор A : K ∩(4)h(r, ω) =Cb (G0 × Ω) → K ∩ D(G0 × Ω), то AS : K → K.

Поскольку e(4)h(r − d(r, −ω)ω, ω) ∈ K, J(r, ω) ∈ K ∩ Cb (G0 × Ω), τ (r, ω) ∈ Cb (G0 × Ω) иτ ≥ 0, то f0 (r, ω) ∈ K.Используя неравенство (2.8), для всех f ∈ K имеемkASf k4 = max k(ASf )i k = k(ASf )1 k ≤ 1 − e−µd kf1 k = 1 − e−µd kf k4 ,1≤i≤4то естьkASf k4 ≤ 1 − e−µd kf k4 .Таким образом, из принципа сжимающих отображений приходим к утверждению теоремы.3.2.Постановка и исследование задачи томографии длявекторного уравнения переносаВ этом параграфе мы будем изучать задачу определения коэффициентаослабления µ(r) по излучению, заданному на границе среды G. Для решенияпоставленной задачи будем использовать метод, аналог которого уже применялся Д.С.

Аниконовым и И.В. Прохоровым в случае скалярного уравненияпереноса [99,101,103]. Данный подход основан на использовании специального типа внешнего источника h(ξ, ω). А именно, будем предполагать наличиеразрыва первого рода у функции h = (h1 , h2 , h3 , h4 ) в горизонтальных направлениях (ω3 = 0). Отличительной чертой этого способа в векторном случае является возможность использования особенности в любой компоненте hiвектора h.

С технологической точки зрения это дает возможность созданияновых томографических устройств, способных обеспечить более эффективную реконструкцию исследуемых объектов.Пусть дополнительно к краевому условию (2.20 ) задано условиеf (r + d(r, ω)ω, ω) = H(r + d(r, ω)ω, ω),(r, ω) ∈ G0 × Ω.(2.10)Функция H(η, ω), определенная на Γ+ , задает выходящее из среды излучение.79Сформулируем задачу томографии, которую мы будем изучать.Задача томографии.

Определить функцию µ(r) из уравнения (2.1) икраевых условий (2.20 ), (2.10), если известны только функции h, H.Для решения поставленной задачи кроме условий, сформулированных втеореме 2.1., введем дополнительные условия на функцию h.1. Пусть(4)eh(r, ω) = h(r − d(r, −ω)ω, ω) ∈ Cb (G0 × Ω0 ),(2.11)гдеΩ0 = Ω1 ∪ Ω2 ,Ωk = {ω ∈ Ω : sgn(ω3 ) = (−1)k }.2. Для некоторого i ∈ {1, 2, 3, 4} и для всех ω = (ω1 , ω2 , 0) ∈ Ω справедливоe−[ehi (r, ω)] = eh+i (r, ω) − hi (r, ω) 6= 0,r ∈ G0 ,(2.12)гдеeh±i (r, ω)(ω,ω,±ε)12.= lim eh r,ε→+01 + ε2Решение сформулированной выше задачи томографии дается в следующей теореме.Теорема 2.2. Пусть в условиях теоремы 2.1.

функция h удовлетворяетограничениям (2.11), (2.12) и выполняется соотношение (2.10), тогда длявсех r ∈ G0 , ω = (ω1 , ω2 , 0) ∈ Ω справедливо равенствоd(r,ω)Zµ(r + ωt)dt = ln[hi (r − d(r, −ω)ω, ω)].[Hi (r + d(r, ω)ω, ω)](2.13)−d(r,−ω)Доказательство. Перепишем уравнение (2.9) в видеf (r, ω) = φ(r, ω) + ψ(r, ω),(2.14)80гдеd(r,ω)Zφ(r, ω) = h(r − d(r, −ω)ω, ω) exp −µ(r − tω)dt ,0ψ(r, ω) = (AJ)(r, ω) + (ASf )(r, ω).Так как(4)S : K → K ∩ Cb (G0 × Ω),(4)A : K ∩ Cb (G0 × Ω) → K ∩ D(G0 × Ω),то AS : K → K ∩ D(G0 × Ω).(4)Поскольку также J ∈ K ∩ Cb (G0 × Ω), f ∈ K, то ψ(r, ω) ∈ D(G0 × Ω).Поэтому, учитывая следствие 2.2., получаем(4)ψ + (r, ω) = ψ(r + d(r, ω)ω, ω) ∈ Cb (G0 × Ω).Посколькуh(r + d(r, ω)ω − d(r + d(r, ω)ω, −ω)ω, ω) = h(r − d(r, −ω)ω, ω),иd(r+d(r,ω)ω,−ω)Zd(r,ω)Zµ(r + ωt)dt = τ (r, ω) + τ (r, −ω),µ(r + d(r, ω)ω − ωt)dt =0−d(r,−ω)то из (2.14) находимd(r,ω)Zf (r + d(r, ω)ω, ω) = h(r − d(r, −ω)ω, ω) exp −µ(r + ωt)dt +−d(r,−ω)ψ(r + d(r, ω)ω, ω).

(2.15)Так как[ψ(r + d(r, ω)ω, ω)] = 0,[τ (r, ±ω)] = 0,81то из (2.15) получаемd(r,ω)Z[f (r + d(r, ω)ω, ω)] = [h(r − d(r, −ω)ω, ω)] exp −µ(r + ωt)dt ,−d(r,−ω)следовательноd(r,ω)Zµ(r + ωt)dt = ln[h(r − d(r, −ω)ω, ω)].[f (r + d(r, ω)ω, ω)](2.16)−d(r,−ω)Ясно, что в векторном соотношении (2.16) имеют смысл лишь те равенства,в которых [hi (r − d(r, −ω)ω, ω)] 6= 0. Пользуясь условиями (2.10) и (2.12), изсоотношения (2.16) для всех r ∈ G0 , ω = (ω1 , ω2 , 0) ∈ Ω получаем равенство(2.13).

Теорема доказана.В итоге задача томографии свелась к задаче обращения двумерного преобразования Радона от функции µ в любой горизонтальной плоскости {r =(r1 , r2 , r3 ) ∈ R3 : r3 = const}, имеющей общую точку с множеством G0 . Какизвестно, эта задача имеет единственное решение в широком классе функций [88, 148].Сформулируем утверждение, доказательство которого почти полностьюсовпадает с доказательством аналогичного утверждения для скалярного случая уравнения переноса [103].Теорема 2.3.

Пусть имеются две совокупности коэффициентов уравнения(2.1){µ0 , P 0 , J 0 } и {µ00 , P 00 , J 00 }, а f 0 и f 00 – соответствующие реше-ния прямых задач (2.1), (2.2) с одной и той же функцией h. Пусть функцияh удовлетворяет условиям теоремы 2.2. и для некоторого i, 1 ≤ i ≤ 4, справедливо равенство fi0 = fi00 на Γ = Γ− ∪ Γ+ , тогда µ0 = µ00 почти всюду вG.Заметим, что в рассматриваемой задаче томографии матрица P и функция J не предполагаются известными, но в то же время и не подлежат определению.

С физической точки зрения это означает, что выбор специального82типа источника позволяет "подавить" влияние рассеяния и внутренних источников.Из теоремы 2.3. следует, что для определения функции µ достаточно использовать не все компоненты векторов h, H, а только одной из тех компонент, для которых выполнено условие (2.12).

Тем не менее, возможностьиспользования и других компонент, удовлетворяющих (2.12), позволяет улучшить качество реконструкции, что и будет продемонстрировано в следующемпараграфе при обсуждении результатов численных экспериментов.Заметим, что непосредственно из хода вышеприведенных рассужденийвытекает, что предложенный метод нетрудно обобщить и для случая анизотропной среды, если µ(r) представляет собой матрицу размерности 4 × 4диагонального вида.§4.Алгоритмы решения прямых и обратных задач длявекторного уравнения переноса4.1.Метод Монте-Карло нахождения решения прямой задачиДадим описание вычислительного алгоритма, основанного на методеМонте-Карло, решения прямой задачи для векторного уравнения переноса.Для его обоснования докажем ряд вспомогательных утверждений, в итогедающих представление задачи (2.1), (2.2) в виде ряда Неймана.Пусть µe(r) – некоторая функция из Cb (G0 ), удовлетворяющая неравенству µe(r) ≥ µ(r), r ∈ G.

В силу леммы 2.1. будет справедливо следующееутверждение.Лемма 2.5. Функции, определенные формуламиZtτe(r, ω, t) =0µe(r − t0 ω)dt0 ,d(r,−ω)Zµe(r − tω)dt,τe(r, ω) =0принадлежат соответственно пространствам Cb (G0 × Ω × [0, d(r, −ω)])и Cb (G0 × Ω).83e : K → K, S : K → K ∩ C (4) (G0 × Ω)Определим интегральные операторы Aи Se : K → K, так чтоd(r,−ω)Zexp(−eτ (r, ω, t))ϕ(r − tω, ω)dt,e(Aϕ)(r,ω) =0Z(Sϕ)(r, ω) = µs (r)P (r, ω, ω 0 )ϕ(r, ω 0 )dω 0 ,ΩZP (r, ω, ω 0 )ϕ(r, ω 0 )dω 0 + (eµ(r) − µ(r))ϕ(r, ω).e(Sϕ)(r,ω) = µs (r)ΩПустьµ = sup µe(r),λ = supr∈Gr∈Gµe(r) − µ(r) + µs (r).µe(r)Заметим, что для f (r, ω) ∈ KeS)fe (r, ω))1 k ≤k((A d(r,−ω) Zsupexp(−eτ (r, ω, t))((Sf )1 (r − tω, ω)+(r,ω)∈G0 ×Ω00(eµ(r − tω) − µ(r − tω))f1 (r − tω, ω))dt ≤ d(r,−ω) Zsupexp(−eτ (r, ω, t))eµ(r − tω)×(r,ω)∈G0 ×Ω0 0! µe(r − tω) − µ(r − tω) + µs (r − tω)dtkf1 k ≤×µe(r − tω)λ 1 − e−µd kf1 k.(2.17)84Докажем следующее утверждение.Лемма 2.6. Функция f является решением краевой задачи (2.1), (2.2) тогда и только тогда, когда f удовлетворяет уравнениюeeSfe )(r, ω) (2.18)f (r, ω) = h(r − d(r, −ω)ω, ω) exp(−eτ (r, ω)) + (AJ)(r,ω) + (A(4)в пространстве Cb (G0 × Ω0 ).Доказательство.

Необходимость. Пусть функция f (r, ω) является решением прямой задачи, тогда f (r, ω) ∈ D(G0 × Ω0 ) и для любых точек (r, ω) ∈G0 × Ω0elf (r − tω, ω) = F (r − tω, ω),elf (r, ω) = ω · ∇r f (r, ω) + µe(r)f (r, ω),(2.19)e )(r, ω) + J(r, ω)F (r, ω) = (Sfпочти везде на множестве {r − tω : t ∈ [0, d(r, −ω)]}.

Так как функцияf (r − tω, ω) абсолютно непрерывна на множестве {r − tω : t ∈ [0, d(r, −ω)]},то выражение elf (r − tω, ω) является интегрируемой функцией по t для любых (r, ω) ∈ G0 × Ω0 . Умножая равенство (2.19) слева и справа на функциюexp(−eτ (r, ω, t)) и интегрируя по t ∈ [0, d(r, −ω)], получаемd(r,−ω)Zexp(−eτ (r, ω, t))elf (r − tω, ω)dt =0d(r,−ω)Zexp(−eτ (r, ω, t))F (r − tω, ω)dt.

Характеристики

Список файлов диссертации