Диссертация (1145332), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тоесть, при (x, α) ∈ X0 × [0, 1]∂(Sf0 )(x, α) =∂α∂f0S(x, α).∂αПокажем теперь, что производная подынтегральной функции в (1.26) равномерно по (x, α) = (r, ω, E, α) ∈ X0 × [0, 1] является s -интегрируемой по(ω 0 , E 0 ) ∈ Y при некотором s > 1. Действительно, поскольку1p+1q< 1, то47существует такое число s > 1, что p = p0 s и q = q 0 s, где p0 , q 0 > 1,1p0+1q0= 1.Далее, в силу неравенства Гельдера имеем∂k(r, ω · ω 0 , E, E 0 ) f0 (r, ω 0 , E 0 , α)≤sup∂α(x,α)∈X0 ×[0,1]Ls (Y )sup kk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )kLp (Y ) ·x∈X0sup(r,α)∈G0 ×[0,1]∂ f0 (r, ω 0 , E 0 , α) ∂α≤ const.Lq (Y )В силу ограничений, наложенных на функции h и k, подынтегральнаяфункция в (1.26) и ее производная по параметру являются непрерывнымив каждой точке (x, α) ∈ X0 × [0, 1] при почти всех (ω 0 , E 0 ) ∈ Y и, как было отмечено выше, они являются интегрируемыми со степенью больше 1 по(ω 0 , E 0 ) ∈ Y . Таким образом, функция Sf0 и ее производная по параметруявляются непрерывными и ограниченными на множестве X0 × [0, 1] [1].Применяя к функции Sf0 лемму 1.7., получаем, что функция ASf0 и ееb × [0, 1]) и произпроизводная по параметру принадлежат пространству Cb (Xводную по параметру можно вносить под знак интегрального оператора AS,действующего на функцию f0 .Далее, рассуждая по индукции и применяя лемму 1.9., получаем, что дляn ≥ 1 производную по параметру можно вносить под знак интегральногооператора (AS)n , действующего на функцию f0 , и∂f0b × [0, 1]),(AS)n(x, α) ∈ Cb (X∂αn ≥ 1.(1.31)Рассмотрим ряд∞∞XX∂n((AS) f0 )(x, α) =((AS)n Φ0 )(x, α),∂αn=1n=0(1.32)где∂f0Φ0 (x, α) = AS(x, α).∂αПоскольку согласно (1.31) при n = 1 функция Φ0 (r, ω, E, α) является равb × [0, 1], то по лемме 1.2.
ряд (1.32) равномернономерно ограниченной на X48b × [0, 1]. Следовательно, по теореме о почленномсходится на множестве Xдифференцировании равномерно сходящегося ряда∞∞X ∂∂ X∂nψ(x, α) =((AS) f0 )(x, α) =((AS)n f0 )(x, α).∂α∂α n=1∂αn=1В силу равномерной сходимости ряда (1.32) и непрерывности на множествеbX×[0,1] всех его членов из последнего выражения получаем, что производнаяb × [0, 1]). Леммапо параметру функции ψ принадлежит пространству Cb (Xдоказана.Теорема 1.3.
Интенсивность излучения f (x, α) принадлежит пространb × [0, 1]), а ее производная по параметру для любого достаточноству Cb (Xbδ × [0, 1]).малого δ > 0 принадлежит пространству Cb (XДоказательство. В силу леммы 1.7. функция AJ(x) принадлежит проb Учитывая также ограничения (h1 ), (h2 ), наложенные настранству Cb (X).функцию h, получаем, что функция f0 (x, α) принадлежит пространствуb × [0, 1]), а ее производная по параметру для любого достаточно малогоCb (Xbδ × [0, 1]). Таким образом,положительного δ принадлежит пространству Cb (Xв силу представления (1.21) интенсивности излучения как суммы функций f0b × [0, 1] функи ψ, с учетом непрерывности и ограниченности на множестве Xции ψ и ее производной по параметру, приходим к утверждению теоремы.Теорема 1.4.
Интеграл столкновений N (x, α) и его производная по параметру принадлежат пространству Cb (X0 × [0, 1]).Доказательство. При достаточно малом ε > 0 рассмотрим интеграл1(Sε f )(r, ω, E, α) =4πZk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )f (r, ω 0 , E 0 , α)dω 0 dE 0 ,Y \Yεгде множество Yε определено ранее, при доказательстве леммы 1.10. В силунепрерывности при фиксированных (r, ω, E) ∈ X0 подынтегральной функции и ее производной по параметру по переменным (ω 0 , E 0 , α) на множестве49(Y \Yε ) × [0, 1] при ε > 0 имеем∂(Sε f )(x, α) =∂α∂fSε(x, α).∂αДалее, так как функция f является суммой функций f0 и ψ и функция ψ иее производная по параметру в силу леммы 1.10. принадлежат пространствуb × [0, 1]), то в силу соотношений (1.29), (1.30) имеет место при ε → 0Cb (Xравномерная на множестве X0 × [0, 1] сходимостьlim(Sε f )(x, α) = (Sf )(x, α),ε→0∂f∂f(x, α) = S(x, α).lim Sεε→0∂α∂αПоэтому для (x, α) ∈ X0 × [0, 1]∂(Sf )(x, α) =∂α∂f(x, α).S∂αПоскольку функция f представляет собой сумму функций f0 и ψ, то всилу леммы 1.10., а также ограничений, наложенных на индикатрису рассеяния и интенсивность входящего излучения, подынтегральная функция вSf и ее производная по параметру будут являться соответственно p и s интегрируемыми по (ω 0 , E 0 ) ∈ Y (p, s > 1) равномерно по (x, α) ∈ X0 × [0, 1].Кроме того, функция k(r, ω · ω 0 , E, E 0 )f (r, ω 0 , E 0 , α) и ее производная по параметру непрерывны в каждой точке (x, α) ∈ X0 × [0, 1] при почти всех(ω 0 , E 0 ) ∈ Y .
Таким образом, функция Sf и ее производная по параметру являются непрерывными и ограниченными на множестве X0 ×[0, 1] [1]. Теоремадоказана.2.2.Определение коэффициента ослабления путеммногократного облучения+Введем множества Γ−0 , Γ0 как подмножества соответствующих множествΓ− , Γ+ , содержащие только горизонтальные направления ω 0 = (ω1 , ω2 , 0) ∈ Ω.50Полагая для (r, ω, E) ∈ Γ+ f (r, ω, E, α) = H(r, ω, E, α), из (1.21) получимH(r, ω, E, α) = h(r − d(r, −ω)ω, ω, E, α) exp (−τ (r, ω, E)) +(AN )(r, ω, E, α) + (AJ)(r, ω, E).(1.33)Сформулируем следующую обратную задачу.Задача томографии. Пусть для коэффициентов µ, k, J, характеризующих внутреннюю структуру среды, выполнены все ограничения, указанные в предыдущем параграфе, и интенсивность входящего излученияудовлетворяет условиям (h1 )-(h4 ).
Требуется по функциям h(r, ω, E, α)и H(r, ω, E, α), заданным на соответствующих множествах Γ−0 × [0, 1] иΓ+0 × [0, 1], определить коэффициент µ(r, E) для r ∈ G0 , E ∈ I0 .Имеет место следующее утверждение.Теорема 1.5. Пусть (r, ω 0 , E) ∈ Γ+0 , тогда0d(r,−ωZ )µ(r − tω 0 , E)dt = ln0limα→0∂∂α h(r000− d(r, −ω )ω , E, ω , α)∂0∂α H(r, ω , E, α)!.(1.34)Доказательство. Возьмем некоторую точку (r, ω) ∈ Γ+ . В этом случаевыражение (1.21) примет вид (1.33). Далее, продифференцировав равенство(1.33) по параметру, в силу теоремы 1.4. и леммы 1.7., получим∂H(r, ω, E, α) =∂α∂∂h(r − d(r, −ω)ω, E, ω, α) · exp (−τ (r, ω, E)) + A N (r, ω, E, α).
(1.35)∂α∂α∂Заметим, что функция (A ∂αN )(r, ω, E, α), в силу леммы 1.7. и теоремы 1.4.,b × [0, 1]. Далее из равенявляется равномерно ограниченной на множестве X51ства (1.35) получимexp (−τ (r, ω, E)) =∂∂α H(r, ω, E, α)∂∂α h(r−− d(r, −ω)ω, ω, E, α)∂(A ∂αN )(r, ω, E, α)∂∂α h(r− d(r, −ω)ω, ω, E, α)∂∂α h(r, ω, E, α)Напомним, что в силу условия (h3 ) функция.
(1.36)неограниченновозрастает при (r, ω, E) ∈ Γ−0 и α → 0. Рассмотрим равенство (1.36) для(r, ω, E) = (r, ω 0 , E) ∈ Γ+0 . Переходя в нем к пределу при α → 0 и учитывая∂N )(r, ω, E, α) на множестве Γ+ ×[0, 1], получимограниченность функции (A ∂α0exp −τ (r, ω , E) = limα→0 ∂ h(r∂α∂0∂α H(r, ω , E, α).− d(r, −ω 0 )ω 0 , ω 0 , E, α)(1.37)Логарифмируя выражение (1.37), приходим к равенству (1.34). Теорема доказана.Докажем теперь единственность определения функции µ(r, E) по формуле (1.34). Пусть имеются две совокупности коэффициентов уравнения (1.19){µ1 (r, E), k1 (r, ω · ω 0 , E, E 0 ), J1 (r, ω, E)},{µ2 (r, E), k2 (r, ω · ω 0 , E, E 0 ), J2 (r, ω, E)},(1)(2)которые определяют разбиения G0 и G0 соответственно. Обозначим G0 =(1)(2)G0 ∩ G0 .
Разбиение G0 определяет введенные ранее множества Γ− и Γ+ .(1)(2)(1)Заметим, что поскольку G0 ∩ G0 ⊂ G0 , то согласно [52](1)(2)(1)G0 = G0 ∩ G0 ⊂ G0 = G.(1)(2)Обозначим границу множества G0 = G0 ∩ G0 через ∂G0 = G0 \G0 . Имеетместо следующая цепочка равенств:(1)(2)(1)(2)(1)(2)∂G0 = G0 \G0 = G\G0 = G\(G0 ∩G0 ) = (G\G0 )∩(G\G0 ) = ∂G0 ∩∂G0 .52(1)(2)Так как mes3 (∂G0 ) = mes3 (∂G0 ) = 0, то mes3 (∂G0 ) = 0.Пусть функции f1 (r, ω, E, α), f2 (r, ω, E, α) есть решения уравнения (1.19)с краевым условиемf1 (r, ω, E, α) = f2 (r, ω, E, α) = h(r, ω, E, α),(r, ω, E, α) ∈ Γ− × [0, 1],соответствующие наборам коэффициентов {µ1 , k1 , J1 } и {µ2 , k2 , J2 } соответ+ственно.
Обозначим через Γ0 объединение множеств Γ−0 и Γ0 . В этих обозна-чениях справедливо утверждение.Теорема 1.6. Пусть выполняются условия (h1 )-(h4 ) и для (r, ω, E, α) ∈Γ0 × [0, 1] справедливо равенствоf1 (r, ω, E, α) = f2 (r, ω, E, α),тогда для любого E ∈ I0 µ1 (r, E) = µ2 (r, E) почти всюду в R3 .Доказательство. Рассмотрим точки (r, ω 0 , E) ∈ Γ+0 . Воспользовавшись теоремой 1.5., получим0d(r,−ωZ )µ1 (r − ω 0 t, E)dt =0d(r,−ωZ )µ2 (r − ω 0 t, E)dt,(r, ω 0 , E) ∈ Γ+0.(1.38)00Рассмотрим множество точек (r, ω 0 , E), для которых ω 0 = (ω1 , ω2 , 0).Пусть точка r ∈ G0 , тогда r ± d(r, ±ω 0 )ω 0 ∈ Γ±ω 0 . Следовательно, для любойточки r ∈ G0 согласно равенству (1.38), учитывая, что µ1 (r, E) = µ2 (r, E) = 0вне G, получаемZ+∞Z+∞µ1 (r − tω 0 , E)dt =µ2 (r − tω 0 , E)dt.−∞(1.39)−∞Обозначим через Π(r3 ) горизонтальную плоскость в R3 такую, что Π(r3 ) ={r ∈ R3 : r3 = r3 }.
Так как mes3 (∂G0 ) = 0, то для почти всех r3 ∈ (−∞, +∞)53мера Лебега в R2 пересечения множеств ∂G0 и Π(r3 ) равна нулю [68], то естьmes2 (∂G0 ∩ Π(r3 )) = 0.Рассмотрим сечения Π(r3 ), для которых mes2 (∂G0 ∩ Π(r3 )) = 0. Пустьr0 ∈ G0 ∩ Π(r3 ), ω 0 = (ω1 , ω2 , 0) = (cos γ, sin γ, 0), 0 ≤ γ < 2π, тогда изравенства (1.39) следуетZ+∞Z+∞µ1 (r10 − t cos γ, r20 − t sin γ, r30 , E)dt =µ2 (r10 − t cos γ, r20 − t sin γ, r30 , E)dt.−∞−∞Интегрируя последнее равенство по прямой, лежащей в плоскости r30 = constи перпендикулярной вектору ω 0 , и учитывая, что µ1 (r, E) = µ2 (r, E) = 0 внеG и mes2 (∂G0 ∩ Π(r3 )) = 0, получимZ+∞ Z+∞µ1 (r10 − t cos γ − t0 sin γ, r20 − t sin γ + t0 cos γ, r30 , E)dtdt0 =0 −∞Z+∞ Z+∞=µ2 (r10 − t cos γ − t0 sin γ, r20 − t sin γ + t0 cos γ, r30 , E)dtdt0 .0 −∞Проведя замену переменных по формуламr1 = r10 − t cos γ − t0 sin γ,r2 = r20 − t sin γ + t0 cos γ,получаемZΠ+ (r0 ,γ)µ1 (r1 , r2 , r30 , E)dr1 dr2Z=µ2 (r1 , r2 , r30 , E)dr1 dr2 .(1.40)Π+ (r0 ,γ)Где через Π+ (r0 , γ) обозначена полуплоскость, образованная разбиением прямой, проходящей через точку r0 под углом γ к оси {r ∈ R3 : r1 ∈ [0, ∞), r2 =0, r3 = 0}.
Так как mes2 (∂G0 ∩ Π(r30 )) = 0, то интегралы (1.40) по всем полуплоскостям Π+ (r, γ) при r3 = r30 совпадают. Этого достаточно, чтобы для54любого E ∈ I0 совпадали соответствующие функции µ1 (r, E) и µ2 (r, E) почтивсюду в плоскости r3 = r30 [88]. Таким образом, для любого E ∈ I0 почти вкаждой горизонтальной плоскости r3 = const функции µ1 и µ2 совпадают почти всюду, следовательно они совпадают почти везде в R3 для любого E ∈ I0 .Теорема доказана.Особенностью теоремы 1.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
