Диссертация (1145332), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Образование. Исследования. Разработка" (Москва,2011-2013), "International Conference on Combustion Waves Structure and Dynamics" (Vladivostok, Russia, 2013), "IFIP TC7 Conference on System Modelingand Optimization" (Klagenfurt, Austria, 2013), "High Performance Computing2013" (Kyiv, Ukraine, 2013), "International Conference on Computer Technologiesin Physical and Engineering Applications (ICCTPEA) 2014" (Санкт-Петербург,2014), а также на Дальневосточных математических школах-семинарах им.академика Е.В. Золотова (Владивосток, Хабаровск, 1998–2013), Всероссийской научно-технической конференции "Технические проблемы освоения Мирового океана" (Владивосток, 2009, 2011), и на Всероссийском симпозиуме"Физика геосфер" (Владивосток, 2011).Результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научно-методических семинарах Института прикладной математики ДВО РАНи Кафедры информатики, математического и компьютерного моделирования ДВФУ.
Также результаты диссертации были представлены на семинарахИнститута математики СО РАН (Новосибирск, 2012), Кафедры математического моделирования (М6) Технического университета Мюнхена (Мюнхен,Германия, 2010-2013) и на семинаре математического факультета Технического университета Кайзерслаутерна (Кайзерслаутерн, Германия, 2011).В целом диссертация состоит из 12 параграфов, структурно разделенныхна пять глав. В конце диссертации приводится список цитируемой литературы.
В начале в алфавитном порядке приводятся работы на русском языке,затем – на английском. В работе используется двойная нумерация формул,утверждений, определений и замечаний. Первая цифра указывает на номерглавы.18ГЛАВА 1. ПЕРЕНОС ПОЛИХРОМАТИЧЕСКОГОИЗЛУЧЕНИЯ В ТРЕХМЕРНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ§1.Краевая задача для математической модели переносаизлучения с энергетической зависимостью1.1.Постановка и исследование прямой задачи для уравненияпереносаРассмотрим стационарное линейное интегро-дифференциальное уравнение переносаω · ∇r f (r, ω, E) + µ(r, E)f (r, ω, E) =14πZE2 Zk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )f (r, ω 0 , E 0 )dω 0 dE 0 + J(r, ω, E),(1.1)E1 Ωгде r ∈ G, G – выпуклая ограниченная область в евклидовом пространствеR3 , ω ∈ Ω = {ω ∈ R3 : |ω| = 1}, E ∈ [E1 , E2 ] = I, E1 > 0, E2 < ∞.Для характеристики неоднородности среды G введем в рассмотрение множество G0 , G0 = G, являющееся объединением конечного числа открытыхсвязных компонент:G0 =p[Gi , p < ∞,Gi ∩ Gj = Ø, i 6= j.i=1Области Gi , i > 0, можно интерпретировать как некоторые части неоднородной среды G, заполненные i-м веществом.
В такой трактовке структураразбиения G1 , G2 , ..., Gp определяется внутренним строением среды G.Величины, характеризующие среду при прохождении через нее потокаизлучения, могут иметь скачкообразные изменения по энергетической пере-19менной E ∈ I внутри любой области Gi [55, 122, 124]. Поэтому, мы такжебудем рассматривать некоторое подмножество I0 (I0 = I) множества I:I0 =q[Ii ,Ii ∩ Ij = Ø, i 6= j, q < ∞,i=1где Ii ⊂ I, i = 1, ..., q, открытые попарно непересекающиеся интервалы. Разбиение I1 , I2 , ..., Iq определяет области непрерывного изменения параметровизлучения по спектральной переменной E. В дальнейшем часто будем пользоваться обозначениями: x = (r, ω, E), X = G × Ω × I и X0 = G0 × Ω × I0 .Обозначим луч, исходящий из точки r в направлении ω, через Lr,ω ={r + ωt : t ≥ 0}.
Пустьd(r, ω) = mes1 (Lr,ω ∩ G),где символом mes1 обозначена мера Лебега множества на прямой. Функцияd(r, ω) есть расстояние от точки r ∈ G до границы ∂G = G \ G в направленииω.b образованное такими точками (r, ω, E) ∈ G ×Рассмотрим множество X,Ω × I0 , что луч Lr,ω имеет непустое пересечение с множеством G0 и пустьΓ±ω = {r ∈ ∂G : Lr,∓ω ∩ G0 6= Ø}.+В точках множества Γ−ω (Γω ) излучение в направлении ω "входит" в среду G("выходит" из G). ПустьΓ± = {(r, ω, E) ∈ ∂G × Ω × I0 : r ∈ Γ±ω },Γ = Γ+ ∪ Γ− .b ∩ (∂G × Ω × I0 ).Заметим, что Γ = XК уравнению (1.1) присоединим граничное условиеf (ξ, ω, E) = h(ξ, ω, E),(ξ, ω, E) ∈ Γ− .(1.2)Задача (1.1), (1.2). Задачу определения функции f из (1.1), (1.2), при20известных µ, k, J, h будем называть прямой задачей (1.1), (1.2).Исторически исследования по прямым задачам для уравнения переносаначались раньше, чем по обратным.
В связи этим, прямую задачу (1.1), (1.2)называли краевой или граничной задачей. Иногда, если это не вызовет недоразумения, будем пользоваться и такой терминологией.К классу D(X) будем относить функции φ(x), ограниченные на множестве X, и такие, что функция φ(r + tω, ω 0 , E 0 ) измерима (по мере Лебега) покаждой из переменных ω, ω 0 ∈ Ω, t ∈ [−d(r, −ω), d(r, ω)], E 0 ∈ I для любойточки r ∈ G. Линейное множество D(X) с нормойkφk = sup |φ(x)|(1.3)x∈Xзамкнуто в банаховом пространстве ограниченных функций относительнонормы (1.3) [95], поэтому и само образует банахово пространство. Аналогично±определим пространство D(Γ ). В него входят функции φ(x), определенные±и ограниченные на Γ и такие, что функция φ(r ±d(r, ±ω)ω, ω 0 , E 0 ) измеримапо каждой из переменных ω, ω 0 ∈ Ω, E 0 ∈ I для любой точки r ∈ G.Под Cb (X0 ) будем понимать банахово пространство функций [95] с нормой(1.3), определенных и ограниченных на X и непрерывных на множестве X0 .Аналогично определяется пространство Cb (G0 ×I0 ).
Через Lp (Y ), p ≥ 1, будемобозначать пространство функций суммируемых (по Лебегу) с p -ой степеньюна множестве Y ⊂ Rm . Как обычно, норма в этом пространстве определяетсяследующим образом:1/pZkφkLp = |φ(y)|p dy .(1.4)YФункции из Lp (Y ), будем называть p -интегрируемыми на множестве Y .Сформулируем основные предположения относительно функций µ, k, J, h.Будем предполагать, что все эти функции неотрицательные и µ(r, E) ∈−Cb (G0 × I0 ), J(x) ∈ Cb (X0 ), h(x) ∈ D(Γ ). Функция k(r, ω · ω 0 , E, E 0 ) непрерывна в любой точке x = (r, ω, E) ∈ G0 ×Ω×I0 при почти всех (ω 0 , E 0 ) ∈ Ω×I.21Кроме того, существует p > 1 такое, чтоkk(r, ν, E, E 0 )kLp ([−1,1]×I) ≤ const,sup(r,E)∈G×Ikk(r, ν, E, E 0 )kLp ([−1,1]×I) ≤ const.sup(r,E 0 )∈G×IИз этих ограничений, в частности, вытекает, что существуют величиныZE2 Z1µ∗s (r, E) =4πk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )dω 0 dE 0 ,E1 Ω1µs (r, E 0 ) =4πZE2 Zk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )dω 0 dE,E1 Ωпричем функции µ∗s (r, E) и µs (r, E) ограничены на множестве G × I.В случае комптоновского рассеяния функция k содержит в качестве сомножителя δ-функцию Дирака [55, 85]E0 E0+ 0δ 1 − ω · ω0 −EE,где E0 – энергия покоя электрона.
Следовательно, индикатрисы с таким типом рассеяния не попадают под вышеприведенное описание функции k. Однако, ограничения на k допускают наличие у этой функции p -интегрирумойособенности. В частности, и такой особенности, которая вызывает неограниченный рост k при стремлении аргумента у δ-функции к нулю. Это дает возможность аппроксимации индикатрисы комптоновского рассеяния p интегрируемыми функциями. Отметим также, что закон комптоновского рассеянияE0E0= 1 − ω · ω0 + 0EEполучается в случае рассеяния фотона на свободном и покоящемся электроне.Если последнее условие не выполняется, то закон комптоновского рассеяния становится сложнее.
Наличие связей у первоначального движения элек-22трона приводит к тому, что вероятность рассеяния оказывается меньшей посравнению с вероятностью, определяемой по формуле Кляйна-Нишина [19],а жесткое соотношение Комптона между E, E 0 и ω · ω 0 становится неопределенным [85] . Таким образом, если учесть, что к сечению комптоновскогорассеяния существуют радиационные поправки [19] и жесткое соотношениеКомптона носит статистический характер, то сделанный нами выбор ограничений может оказаться предпочтительнее.Дополнительно предположим, что функции µ(r + tω, E), J(r + tω, ω, E),k(r + tω, ω · ω 0 , E, E 0 ) измеримы по каждой из переменных ω, ω 0 ∈ Ω, E ∈ I,t ∈ [−d(r, −ω), d(r, ω)] для любой точки r ∈ G.Относительно множества G0 дополнительно предполагаем следующее: любая прямая, имеющая общую точку с G0 , пересекает границу ∂G0 в конечном числе точек.
Это условие, называемое условием обобщенной выпуклости [23,25], типично в теории переноса и необременительно с прикладной точки зрения. Возникающая, казалось бы, несогласованность, связанная с наличием линейных участков на поверхности ∂G0 , во многих случаях может бытьпреодолена продолжением этих участков с возможным увеличением числаобластей Gi [25]. Появление при этом фиктивных разрывов у характеристикµ, k, J по переменной r не запрещено ограничениями, сформулированнымивыше.Нетрудно показать, что условие обобщенной выпуклости обеспечивает равенство нулю меры Лебега множества ∂G0 в R3 , то есть mes3 (∂G0 ) = 0.
Действительно, пусть χ(r) характеристическая функция множества ∂G0 , тогдамеру множества ∂G0 в R3 можно записать в видеZmes3 (∂G0 ) =χ(r)dr.R3Пусть r0 – произвольная точка G0 и Bε (r0 ) = {r ∈ R3 : |r − r0 | < ε} шарцеликом лежащий в G0 . Любая точка r ∈ R3 может быть представлена в видеr = r0 −ωt, ω ∈ Ω, t ∈ [0, ∞). Переходя к новым переменным ω, t и учитывая,23что dr = |r − r0 |2 dωdt = t2 dωdt, получаемZ Zdmes3 (∂G0 ) =Ωχ(r − ωt)t2 dtdω,εгде d – диаметр области G.
Так как функция χ(r − ωt) в силу условия обобщенной выпуклости при почти всех t ∈ [0, ∞) равна нулю, то mes3 (∂G0 ) = 0.Рассмотрим следующее линейное дифференциальное выражение:∂f (r + tω, ω, E) lf (r, ω, E) = + µ(r, E)f (r, ω, E).∂tt=0Интеграл в правой части уравнения (1.1), называемый интегралом столкновений, обозначим черезN (r, ω, E) =14πZE2 Zk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )f (r, ω 0 , E 0 )dω 0 dE 0 .E1 ΩОпределение 1.1. Функцию f (x) будем называть решением прямой задачи (1.1), (1.2), если она принадлежит D(X) и для любых точек (ξ, ω, E) ∈Γ− функция f (ξ + tω, ω, E) удовлетворяет условиям:1) она абсолютна непрерывна на множестве {ξ + tω : t ∈ [0, d(ξ, ω)]};2) при t = 0 удовлетворяет условию (1.2);3) почти везде на {ξ + tω : t ∈ [0, d(ξ, ω)]} удовлетворяет уравнениюlf (ξ + tω, ω, E) = N (ξ + tω, ω, E) + J(ξ + tω, ω, E).Замечание 1.1.
Из определения решения вытекает, что в случае невыпуклой области G с дополнительными условиями "прострела" на границе ∂G [23, 25] эта краевая задача во многих случаях может быть сведена к краевой задаче (1.1), (1.2), если дополнить G до области G0 , полагаяµ ≡ k ≡ J ≡ 0 на множестве G0 \G, так, чтобы область G0 была выпуклойоболочкой G.24Далее рассмотрим прямую задачу (1.1), (1.2) в эквивалентной форме идокажем ее однозначную разрешимость.Введем в рассмотрение функцииZtτ (r, ω, E, t) =µ(r − t0 ω, E)dt0 ,d(r,−ω)Zµ(r − t0 ω, E)dt0 .τ (r, ω, E) =00Функция τ (r, ω, E, t) называется оптическим расстоянием между точками r иr − tω, а функция τ (r, ω, E) – оптическим расстоянием между r и граничнойточкой r − d(r, −ω)ω.Для сокращения записи часто будем пользоваться обозначением P (x) =N (x) + J(x). Имеет место утверждение.Лемма 1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
