Диссертация (1145332), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Обобщенные условия позволяют учитывать изменение интенсивности излучения при переходечерез границу раздела сред. Необходимость использования таких условийвызвана тем, что при распространении излучения в оптическом и близком кнему диапазоне длин волн проявляются эффекты отражения и преломленияна контактных границах разнородных сред. Поэтому классические модели8переноса излучения уже не способны адекватно описывать физический процесс. Выходом из этой ситуации является учет эффектов отражения и преломления с помощью нетрадиционных условий сопряжения, позволяющихописывать изменение направления светового потока.Теория краевых задач с традиционными условиями сопряжения на сегодняшний день достаточно хорошо разработана.
Особо можно выделить работу В.С. Владимирова [23], сыгравшую ключевую роль в становлении и развитии математической теории переноса, а также работу Т.А. Гермогеновой [25],в которой исследованы свойства решения краевых задач для уравнения переноса.Исследования краевых задач с обобщенными условиями сопряжения берут свое начало с плоско-параллельного случая, который успешно применялся для моделирования переноса оптического излучения в атмосфере Земли (см., например, работы А. Исимару, Г.И.
Марчука, Г.А. Михайлова, Т.А.Сушкевич и др. [32, 62, 79, 80]). С развитием лазерной техники широкое распространение получил класс задач оптической диагностики биологическихтканей (см., например, работы Д.А. Зимнякова, И.В. Меглинского, А.Ю. Сетейкина, В.В. Тучина, S.R. Arridge, A.J. Welch и др. [21,63,76,83,84,107,169]).В работах И.В. Прохорова и др. [72,152] впервые доказана однозначная разрешимость и изучены качественные свойства решения краевых задач для скалярного уравнения переноса с обобщенными условиями сопряжения в трехмерной ограниченной области и для случая плоскопараллельной симметрии,в частности, изучены экстремальные задачи переноса излучения в слоистойсреде в контексте оптической диагностики биологической ткани [72, 152].Обратимся теперь к неклассическим или, так называемым, обратным задачам теории переноса излучения.
В общей постановке, обратные задачи, рассматриваемые в диссертационной работе, можно сформулировать так: найти полностью или частично коэффициенты, характеризующие внутреннююструктуру среды, по интенсивности излучения f , известной на части или навсей границе среды G и для некоторого множества направлений ω. Ясно, чтоизлучение на границе доступно для измерения, а знание хотя бы частичнойинформации о коэффициентах внутри G дает определенное представление о9внутреннем строении среды.История обратных задач для уравнения переноса берет свое начало с1962 года с работы М.В. Масленникова [58], в которой он рассмотрел классическую проблему Милна в полубесконечном слое и исследовал задачу овосстановлении индикатрисы рассеяния по угловому распределению излучения в глубине слоя. Подробное изложение этих результатов содержитсяв [59, 60].
В 1964 году в связи с использованием информации с метеорологических спутников Земли были опубликованы работы Г.И. Марчука [56, 57],посвященные постановке и обсуждению одной обратной задачи в плоскопараллельном случае. Затем К. Кейзом было предложено решение обратнойзадачи об определении индикатрисы рассеяния по угловому распределениюизлучения [174]. В 1973 году была опубликована первая работа Д.С.
Аниконова [5], получившая развитие в серии дальнейших публикаций (см., например, [6–10, 14, 103, 104]). В настоящее время теория обратных задач весьмаобширна (см., например, работы Ю.Е. Аниконова, В.И. Грыня, А.Я. Казакова, В.Р. Кирейтова, А.И. Прилепко, И.В. Прохорова, В.Г. Романова, В.А.Шарафутдинова, S.R. Arridge, O. Dorn, N.J.
McCormick, C.E. Siewert и др.[16, 17, 27, 28, 33, 35, 36, 70, 71, 74, 75, 93, 94, 106, 107, 113, 114, 143–145, 155, 156]).Несмотря на большое количество работ по обратным задачам для уравненияпереноса, пересечения результатов разных авторов незначительны. Это объясняется большим разнообразием постановок задач и методов их решения.Отметим основные классы краевых и обратных задач, представленные внастоящей работе. Помимо уже упомянутых "традиционных" краевых задач для уравнения переноса, описывающего довольно широкий вид излучений, в диссертации рассмотрены краевые задачи для переноса оптическогоизлучения с учетом поляризационных эффектов, а также краевые задачирадиационно-кондуктивного переноса тепла.
Также рассмотрен ряд обратных задач, постановки и методы решения которых являются оригинальными. Опишем рассмотренные в диссертационной работе классы задач болееподробно.При моделировании прохождения оптического излучения через веществоважным является изучение свойств решения краевой задачи для векторного10уравнения переноса, описывающего поляризационные эффекты.
Это позволяет более полно описать характеристики излучения, что может послужитьосновой для разработки новых методов оптической диагностики.Уравнение переноса с учетом поляризации впервые сформулировано в работе С.Чандрасекара (1946) [91]. В ней приведено моноэнергетическое уравнение переноса для случая изотропной среды и молекулярного рассеяния.Подробное описание вектор-параметра Стокса и матрицы рассеяния изложено в работах Г.В. Розенберга, В.В. Соболева, Г.В.
Хюлста, А. Исимару, Д.И.Нагирнера, J.E. Fernandez, J.H. Hubbell [32,66,73,77,90,117]. В них рассмотрены различные формы описания вектор-параметра Стокса, а также частныевиды матрицы рассеяния для различных видов взаимодействия (молекулярное рассеяние, рассеяние на сферических частицах, комптоновское рассеяние)и соответствующие им записи уравнения переноса.Теоретические аспекты решения векторного уравнения переноса изложены в работах Г.И. Марчука, Т.А. Гермогеновой, Э.П. Зеге, А.В.
Латышева,Г.А. Михайлова, Т.А. Сушкевич, C.E. Siewert, O.J. Smith [24, 54, 62, 64, 157,161–163, 172]. В [24, 62, 64], в частности, изучаются общие функциональныесвойства прямой задачи и приводятся условия сходимости ряда Неймана вразличных пространствах. Постановки и методы решения краевых задач дляплоско-параллельного случая рассмотрены Э.П. Зеге, А.В. Латышевым, Т.А.Сушкевич, C.E.
Siewert, O.J. Smith и др. [54,161,162,172]. В частности, в [163]предлагается новый подход для определения решения уравнения переносаполяризованного излучения, который допускает параллельную вычислительную реализацию.Важным классом краевых задач теории переноса являются задачи, связанные с моделированием радиационного переноса тепла. При моделировании переноса теплового излучения функция-источник уравнения (1) зависитот температуры среды и описывает излучение абсолютно черного тела. В связи с этим, для моделирования радиационного переноса тепла используетсянелинейная система двух дифференциальных уравнений, включающая уравнение переноса теплового излучения и уравнение кондуктивно-конвективногопереноса тепла [146,149]. При формулировке граничных условий нередко при-11нято учитывать эффекты зеркального и диффузного отражения. Такая модель переноса тепла иногда называется моделью сложного теплообмена.Интерес к задачам сложного теплообмена в рассеивающих средах с отражающими границами связан с их прикладной значимостью.
К возможным приложениям можно отнести моделирование переноса тепла в камерах сгорания и промышленных печах, оценка эффективности систем охлаждения, управление тепловыми процессами при производстве стекловолокна и других полупрозрачных материалов и пр. Так, в работах S. Andre,J.M. Banoczi, A. Klar, N.
Siedow и др. [97, 98, 108, 126] изучаются термосвойства некоторых полупрозрачных и изоляционных материалов в рамкахрадиационно-кондуктивной модели переноса тепла. Во многих работах значительное внимание уделяется вопросам численного моделирования (см., например, работы J.M. Banoczi, A. Klar, R. Pinnau, N. Siedow, G. Thömes идр. [108, 126, 151, 160, 164]).При проведении вычислительных экспериментов сложного теплообменаобычно используют упрощенную модель, в которой уравнение переноса заменяется на его PN или SPN приближение (см., например, работы L.B. Barichello,R.
Pinnau, C.E. Siewert [109,151,159,160]). Реализация же модели, содержащейуравнение переноса теплового излучения, требует больших вычислительныхзатрат, поэтому использование технологии параллельных вычислений здесьболее чем уместно. В этой связи упомянем работу А.Ю. Шаенко [92], в которой рассмотрена параллельная реализация метода Монте-Карло для решениянестационарной задачи радиационно-кондуктивного теплообмена.Теоретический анализ краевых задач, связанных с различными моделями радиационного теплообмена, представлен не так широко.
Можно отметить работы А.А. Амосова, P.-E. Druet, B. Ducomet, R. Pinnau, O. Tse [4,96, 115, 116, 150, 166], посвященные анализу различных эволюционных задач,учитывающих радиационный теплообмен. В работах А.А. Амосова и C.T.Kelley [2, 3, 125] доказывается однозначная разрешимость некоторых стационарных задач сложного теплообмена, включающих уравнение переноса излучения, в одно- и трехмерном случаях. Тем не менее, до недавнего временифактически отсутствовали работы по исследованию однозначной разрешимо-12сти стационарных краевых задач для диффузионных моделей радиационнокондуктивного теплообмена в одно- и трехмерном случаях.Задачи оптимального управления для моделей сложного теплообмена врассеивающей среде с отражающими границами являются весьма актуальными в контексте различных инженерных приложений.
Значительное число работ посвящено задачам управления эволюционных систем, описывающих радиационный теплообмен (см., например, работы D. Clever, M. Frank, M. Herty,R. Pinnau, G. Thömes, O. Tse и др. [111, 118, 123, 150, 164, 165, 167]). В упомянутых работах перенос излучения описывается интегро-дифференциальнымуравнением переноса или его приближениями.
Температурное поле описывается уравнением теплопроводности, которое учитывает радиационный теплообмен. Тем не менее, в настоящее время фактически отсутствуют работыпо теоретическому анализу задач оптимального уравнения для стационарных систем сложного теплообмена. Основная трудность таких задач, в дополнении к нелинейности, является отсутствие результатов об однозначнойразрешимости таких систем в трехмерном случае.Целью диссертационной работы является теоретический и численный анализ прямых и обратных задач для стационарных моделей переноса излучения, включающий в себя: исследование качественных свойств решения краевых задач для стационарных моделей переноса излучения различной природы (рентгеновское, оптическое, тепловое); доказательство однозначной разрешимости прямых и обратных задач для моделей переноса; разработка численных алгоритмов решения прямых и обратных задач переноса излучения; создание специализированного программного обеспечения, реализующего разработанные алгоритмы.Изучение качественных свойств решения рассмотренных в работе краевых задач основывается на методах теории интегральных и дифференциальных уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
