Диссертация (1145332), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Фиксируем любую точку (x, t, α) ∈ X[0, 1]. Для любой последовательностиb 0 × [0, d(rn , −ωn )] × [0, 1],(xn , tn , αn ) ∈ X(xn , tn , αn ) → (x, t, α),n → ∞,рассмотрим выражениеZtnΨϕ (xn , tn , αn ) =ϕ(xn , t0 , αn )ψ(rn − t0 ωn , ωn , En , αn )dt0 =Z1Φn (t0 )dt0 ,00гдеΦn (t0 ) = tn ϕ(xn , t0 tn , αn )ψ(rn − t0 tn ωn , ωn , En , αn ).Заметим, что |Φn (t0 )| ≤ const при t0 ∈ [0, 1] для любого n. ПустьΦ(t0 ) = tϕ(x, t0 t, α)ψ(r − t0 tω, ω, E, α).Докажем, чтоΦn (t0 ) → Φ(t0 ) при n → ∞почти везде на [0, 1].32b 0 × [0, d(r, −ω)] × [0, 1]), тоТак как ϕ(x, t, α) ∈ Cb (Xϕ(xn , t0 tn , αn ) → ϕ(x, t0 t, α) при n → ∞b 0 луч Lr,ω пересекаетв любой точке t0 ∈ [0, 1].
Так как для любого x ∈ X∂G0 в конечном числе точек, то точка r0 = r − t0 tω при почти всех t0 ∈[0, 1] принадлежит открытому множеству G0 . Пусть точка t0 выбрана такимобразом, что r0 = r − t0 tω ∈ G0 , тогда существует окрестность точки r0 ,целиком принадлежащая множеству G0 :Vε (r0 ) = {r ∈ R3 : |r − r0 | < ε} ⊂ G0 .Следовательно, существует номер n0 такой, что для любого n > n0 точкиrn0 = rn − t0 tn ωn ∈ Vε (r0 ). Поэтому, так как ψ(x, α) ∈ Cb (X 0 × [0, 1]), тоψ(rn − t0 tn , ωn , En , αn ) → ψ(r − t0 tω, ω, E, α), n → ∞.Таким образом, Φn (t0 ) → Φ(t0 ) при n → ∞ почти везде на [0, 1]. Следовательно, по теореме Лебега о предельном переходе [1, 52] имеемZ1lim Ψϕ (xn , tn , αn ) =n→∞lim Φn (t0 )dt0 = Ψϕ (x, t, α).n→∞0b0 ×То есть, функция Ψϕ (x, t, α) непрерывна в любой точке (x, t, α) ∈ X[0, d(r, −ω)] × [0, 1].
Ограниченность ее очевидна. При ϕ ≡ 1 очевидным образом вытекает второе утверждение леммы. Доказательство закончено.Ясно, что утверждение леммы 1.3. остается справедливым, если X 0 = X0b 0 = X.bиXСледствие 1.1. Пустьψ(x, α) ∈ Cb (X0 × [0, 1]),b × [0, d(r, −ω)] × [0, 1]),ϕ(x, t, α) ∈ Cb (X33тогдаZtΨϕ (x, t, α) =b × [0, d(r, −ω)] × [0, 1]),ϕ(x, t0 , α)ψ(r − t0 ω, ω, E, α)dt0 ∈ Cb (X0ZtΨ(x, t, α) =b × [0, d(r, −ω)] × [0, 1]).ψ(r − t0 ω, ω, E, α)dt0 ∈ Cb (X0Имеет место утверждение.Лемма 1.4. Функция d(r, ω) ограничена на G × Ω и непрерывна для любыхb(r, ω, E) ∈ X.Доказательство. Во-первых, заметим следующее. Из следствия 1.1.
и доказательства леммы 1.3. вытекает, что если функция ψ(x, α) ∈ Cb (X0 ×[0, 1]) и равна нулю для всех r 6∈ G, то функцияZ∞Ψ(x, α) =b × [0, 1]).ψ(r − t0 ω, ω, E, α)dt0 ∈ Cb (X0Во-вторых, в силу выпуклости области G функцию d(r, ω) можно определитьследующим образом:Z∞d(r, ω) = mes1 (Lr,ω ∩ G) =χ(r + tω)dt,0где χ(r) - характеристическая функция области G .Функция χ(r) ∈ Cb (G) и равна нулю вне G, следовательно, из выше сказанного вытекает, что функция d(r, ω) ограничена на G × Ω и непрерывна вb Лемма доказана.любой точке (r, ω, E) ∈ X.Из лемм 1.3., 1.4. и следствия 1.1.
вытекает утверждение.34Следствие 1.2. Пусть функции ψ(x, α), ϕ(x, t, α) определены на множествах X × [0, 1] и X × [0, d(r, −ω)] × [0, 1] соответственно, кроме того,ψ(x, α) ∈ Cb (X 0 × [0, 1]),b 0 × [0, d(r, −ω)] × [0, 1]).ϕ(x, t, α) ∈ Cb (XТогдаd(r,−ω)Zb 0 × [0, 1]),ϕ(x, t0 , α)ψ(r − t0 ω, ω, E, α)dt0 ∈ Cb (XΨϕ (x, α) =0d(r,−ω)Zb 0 × [0, 1]).ψ(r − t0 ω, ω, E, α)dt0 ∈ Cb (XΨ(x, α) =0Заметим, что следствие 1.2.
будет также справедливо в случае, если X 0b 0 совпадает с X.bсовпадает с X0 и XДалее будем исследовать сглаживающие свойства операторовd(r,−ω)Zexp(−τ (r, ω, E, t))ϕ(r − tω, ω, E)dt,(Aϕ)(r, ω, E) =01(Sϕ)(r, ω, E) =4πZE2 Zk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )ϕ(r, ω 0 , E 0 )dω 0 dE 0E1 Ωи непрерывность решения краевой задачи (1.1), (1.2). Из доказанных вышерезультатов вытекают следующие утверждения.Следствие 1.3.
Оптические расстоянияZtτ (r, ω, E, t) =0µ(r − t0 ω, E)dt0 ,d(r,−ω)Zµ(r − t0 ω, E)dt0τ (r, ω, E) =0bbпринадлежат соответственно пространствам Cb (X×[0,d(r, −ω)]) и Cb (X).35Следствие 1.4. Оператор A переводит функции из пространства Cb (X0 )bв Cb (X).Имеет место следующее утверждение.Лемма 1.5. Пусть функция φ(r, ω, E) ограничена на X и измерима на множестве Ω×I для каждого r ∈ G. Тогда если φ(r, ω, E) непрерывна в каждойточке r ∈ G0 почти при всех (ω, E) ∈ Ω × I, то функция (Sφ)(x) ∈ Cb (X0 ).Доказательство. Пусть функция φ удовлетворяет условиям леммы. Из ограничений на k вытекает, что функция k(r, ω · ω 0 , E, E 0 )φ(r, ω 0 , E 0 ) непрерывнав точке x = (r, ω, E) ∈ X0 при почти всех (ω 0 , E 0 ) ∈ Ω × I. Кроме того,существует p > 1 такое, что справедливо неравенствоkk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )φ(r, ω 0 , E 0 )kLp (Ω×I) ≤sup(r,ω,E)∈Xconstkk(r, ν, E, E 0 )kLp ([−1,1]×I) ≤ const.sup(r,E)∈G×IСледовательно [1],14πZE2 Zk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )φ(r, ω 0 , E 0 )dω 0 dE 0 ∈ Cb (X0 ).E1 ΩДоказательство закончено.Из леммы 1.5.
и следствия 1.4. вытекает утверждение.Следствие 1.5. Пусть функция φ(x) удовлетворяет условиям леммы 1.3.,bтогда функция (ASφ)(x) ∈ Cb (X).−Теорема 1.2. Пусть функция h(ξ, ω, E) ∈ D(Γ ) непрерывна в каждойточке ξ ∈ Γ−ω для почти всех (ω, E) ∈ Ω × I, тогда для решения прямойзадачи (1.1), (1.2) справедливо представлениеf (x) = fe(x) + F (x),(1.18)36гдеfe(x) = eh(x) exp(−τ (x)) = h(r − d(r, −ω)ω, ω, E) exp(−τ (r, ω, E)),bпричем функция F (x) ∈ Cb (X).Доказательство. Согласно лемме 1.1., при выполнении условия (1.12), решение прямой задачи (1.1), (1.2) существует, единственно и представимо равномерно сходящимся рядомf (x) = f0 (x) +∞X((AS)n f0 )(x),bx ∈ X,n=1гдеf0 (x) = fe(x) + (AJ)(x).b то из условийТак как функция d(r, −ω) непрерывна при (r, ω, E) ∈ X,теоремы вытекает, что функция eh(r, ω, E) непрерывна в точке r ∈ G0 припочти всех (ω, E) ∈ Ω × I.
Из следствий 1.3., 1.4. вытекает, что τ (x) ∈b (AJ)(x) ∈ Cb (X),b поэтому функция f0 (r, ω, E) непрерывна в точкеCb (X),r ∈ G0 при почти всех (ω, E) ∈ Ω × I. Из следствия 1.5. получаем, чтоb(ASf0 )(x) ∈ Cb (X),но тогда тем более иb((AS)n f0 )(x) ∈ Cb (X),n = 2, 3...В силу равномерной сходимости ряда Неймана имеемF (x) = (AJ)(x) +∞Xb((AS)n f0 )(x) ∈ Cb (X).n=1Таким образом, справедливо представление (1.18). Теорема доказана.Из теоремы 1.2. и леммы 1.5.
получаем следствия.37Следствие 1.6. Пусть выполнены условия теоремы 1.1., тогда интегралстолкновений N (x) ∈ Cb (X0 ).Следствие 1.7. Если h(ξ, ω, E) ∈ Cb (Γ− ), то решение краевой задачи (1.1),b .(1.2) f (x) ∈ Cb (X)§2.Метод многократного облучения решения задачикомпьютерной томографии2.1.Постановка и исследование прямой задачи дляпараметризованного уравнения переносаРассмотрим процесс облучения некоторой среды при меняющихся внешних источниках излучения. В этом случае облучение имеет серийный характер, который мы будем описывать через параметр α ∈ [0, 1]. Таким образом,функция h помимо переменных r, ω, E будет также зависеть от параметраα.
Уравнение переноса, описывающее серийные облучения, запишем следующим образом [14, 103]:ω · ∇r f (r, ω, E, α) + µ(r, E)f (r, ω, E, α) =14πZE2 Zk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )f (r, ω 0 , E 0 , α)dω 0 dE 0 + J(r, ω, E).(1.19)E1 ΩКраевое условие, порождающее зависимость f от α, имеет видf (ξ, ω, E, α) = h(ξ, ω, E, α),(ξ, ω, E) ∈ Γ− ,α ∈ [0, 1].(1.20)Пусть функции µ, k, J удовлетворяют всем ограничениям предыдущего параграфа. Дополнительно потребуем, чтобы функция k(r, ω · ω 0 , E, E 0 ) при фиксированных r ∈ G0 , ω ∈ Ω, E ∈ I0 была непрерывна по переменным (ω 0 , E 0 )почти всюду на Y = Ω × I.Обозначим подмножество всевозможных горизонтальных направлений множества Ω через Ω0 , то есть Ω0 = {ω(θ, γ) ∈ Ω : θ = π/2}, где θ, γ – зенитный38и азимутальный угол соответственно. И пусть Y 0 = Ω0 × I0 . Определим подмножество Ωδ , δ ≥ 0, множества Ω следующим образом:Ωδ = {ω ∈ Ω : ρ(ω, Ω0 ) ≥ δ},где ρ(ω, Ω0 ) есть расстояние от точки ω до множества Ω0 .
Обозначим через Xδмножество G0 × Ωδ × I0 , δ ≥ 0. При δ = 0 множество Xδ будет совпадать сbδ подмножество X,b отвечающее направлениям ω ∈ Ωδ .X0 . Обозначим через Xbδ будет совпадать с X.b Точку (r, ω, E) будем, как иПри δ = 0 множество Xпрежде, обозначать через x.На интенсивность входящего излучения наложим следующие ограничения:(h1 )функция h(r−d(r, −ω)ω, ω, E, α) как функция переменных (r, ω, E, α)принадлежит пространству Cb (X0 × [0, 1]),(h2 )функция∂∂α h(r− d(r, −ω)ω, ω, E, α)как функция переменных(r, ω, E, α) принадлежит пространству Cb (Xδ × [0, 1]) при δ > 0,(h3 )функция∂∂α h(r− d(r, −ω)ω, ω, E, α) неограниченно возрастает по аб-солютной величине при θ =(h4 )π2и α → 0,равномерно по r ∈ G0 , α ∈ [0, 1] для почти всех (ω, E) ∈ Y имеетместо оценка∂ h(r − d(r, −ω)ω, ω, E, α) ≤ h1 (ω, E), ∂αгде функция h1 (ω, E) принадлежит пространству Lq (Y ) при некотором q,q > p/(p − 1), p > 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
