Диссертация (1145332), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Здесь p есть степень интегрируемости индикатрисырассеяния.При выполнении условия (1.12) для каждого фиксированного значенияпараметра α ∈ [0, 1] представление (1.13) принимает следующий вид:f (x, α) = f0 (x, α) + ψ(x, α),(1.21)39гдеf0 (r, ω, E, α) = h(r − d(r, −ω)ω, ω, E, α) exp (−τ (r, ω, E)) + (AJ)(r, ω, E),(1.22)ψ(x, α) = (AN )(x, α),либоψ(x, α) =∞X((AS)n f0 )(x, α).(1.23)n=1Здесь операторы A, S при каждом фиксированном параметре α определяются также, как в предыдущем параграфе. Поскольку норма оператора AS независит от параметра α, то при выполнении условия (1.12) ряд (1.23) сходитсяb × [0, 1].равномерно по (x, α) ∈ XЦелю данного параграфа является исследование вопроса о непрерывности и ограниченности по всем переменным функций f (x, α), N (x, α) и ихпроизводных по параметру.Для изучения поведения функции f (x, α) и ее производной по параметру воспользуемся представлением функции f (x, α) через соотношение (1.21).Таким образом, возникает необходимость исследовать непрерывность функций f0 (x, α), ψ(x, α) и их производных по α.

Основную трудность при этомпредставляет функция ψ(x, α). При изучении вопроса о непрерывности функции ψ(x, α) будем использовать соотношение (1.23). Но наличие в равенстве(1.23) интегральных операторов A, S требует предварительного исследованиянекоторых свойств этих операторов, которое будет проведено в следующихлеммах.Лемма 1.6. Пусть функция ϕ(r, ω, E, t, α) и ее производная по параметруявляются непрерывными и ограниченными на множестве G0 × Ωδ × I0 ×[0, d] × [0, 1], δ ≥ 0, тогда имеет место соотношение∂∂αZt0ϕ(r − t0 ω, ω, E, t0 , α)dt0 =Zt0∂ϕ(r − t0 ω, ω, E, t0 , α)dt0 ,∂α40r ∈ G0 ,ω ∈ Ωδ ,E ∈ I0 ,t ∈ [0, d],α ∈ [0, 1].Доказательство. Функция ϕ(r − t0 ω, ω, E, t0 , α) и ее производная по параметру при фиксированных r ∈ G0 , ω ∈ Ωδ , E ∈ I0 в силу обобщенной выпуклости G непрерывны по t0 ∈ [0, t], α ∈ [0, 1] кроме, быть может, конечногочисла точекt1 , t2 , .

. . , tl ∈ [0, t].Рассмотрим множествоLε = [0, t]\Tε ,Tε =l[(ti − ε, ti + ε),i=1где ε – достаточно малое положительное число. Зафиксируем r ∈ G0 , ω ∈ Ωδи E ∈ I0 . В силу непрерывности функции ϕ(r − t0 ω, ω, E, t0 , α) и ее производной по параметру на замкнутом множестве Lε × [0, 1] имеемZ∂∂α000Z∂ϕ(r − t0 ω, ω, E, t0 , α)dt0 .∂αϕ(r − t ω, ω, E, t , α)dt =LεLεИз условия леммы следует, что при ε → 0 имеет место равномерная по(x, α) ∈ Xδ × [0, 1] сходимостьZlimε→0∂ϕ(r − t0 ω, ω, E, t0 , α)dt0 =∂αZt∂ϕ(r − t0 ω, ω, E, t0 , α)dt0 ,∂α0LεZlimε→0Lεϕ(r − t0 ω, ω, E, t0 , α)dt0 =Ztϕ(r − t0 ω, ω, E, t0 , α)dt0 ,0в силу которой и приходим к утверждению леммы.Лемма 1.7.

Справедливы следующие утверждения:bδ × [0, 1]), δ ≥ 0;(a) оператор A действует из Cb (Xδ × [0, 1]) в Cb (X(b) если функция ϕ(x, α) и ее производная по параметру являются непрерывными и ограниченными на множестве Xδ × [0, 1], тогда производную по41параметру можно вносить под знак интеграла в Aϕ.Доказательство. Возьмем некоторую функцию ϕ(x, α), принадлежащуюпространству Cb (Xδ × [0, 1]). Тогда в силу следствий 1.2., 1.3. получаем, чтоbδ × [0, 1]).(Aϕ)(x, α) ∈ Cb (XДокажем второе утверждение.

Рассмотрим функциюφ(r, ω, E, t, α) = exp (−τ (r, −ω, E, t)) ϕ(r, ω, E, α).Соответственно,d(r,−ω)Zφ(r − tω, ω, E, t, α)dt.(Aϕ)(r, ω, E, α) =(1.24)0Поскольку в силу следствия 1.3. и условия настоящей леммы функция φ(x, t, α)и ее производная по параметру являются непрерывными и ограниченными намножестве Xδ × [0, d] × [0, 1], то, воспользовавшись леммой 1.6., получим∂∂αd(r,−ω)Zφ(r − t0 ω, ω, E, t0 , α)dt0 =d(r,−ω)Z∂φ(r − t0 ω, ω, E, t0 , α)dt0 .∂α00С учетом (1.24) приходим к справедливости второго утверждения леммы.Доказательство закончено.Лемма 1.8.

Справедливы следующие утверждения:(a) оператор S действует из Cb (X0 × [0, 1]) в Cb (X0 × [0, 1]);(b) если функция ϕ(x, α) и ее производная по параметру являются непрерывными и ограниченными на множестве X0 × [0, 1], тогда производную попараметру можно вносить под знак интеграла в Sϕ.Доказательство. Докажем возможность внесения производной по параметру под знак интеграла. Рассмотрим следующую функциюφ(r, ω, ω 0 , E, E 0 , α) = k(r, ω · ω 0 , E, E 0 )ϕ(r, ω 0 , E 0 , α),42где функция ϕ(x, α) и ее производная по параметру являются непрерывнымии ограниченными на множестве X0 × [0, 1]. Заметим, что в силу ограниченийпредыдущего параграфа, наложенных на k, функция φ(r, ω, ω 0 , E, E 0 , α)иее производная по параметру равномерно по (r, ω, E, α) ∈ X0 × [0, 1] будутявляться p -интегрируемыми по переменным (ω 0 , E 0 ) на множестве Y .Пусть Y 00 ⊂ Y есть множество меры нуль такое, что φ(r, ω, ω 0 , E, E 0 , α)и ее производная по параметру при фиксированных r ∈ G0 , ω ∈ Ω, E ∈ I0 ,α ∈ [0, 1] являются непрерывными по переменным (ω 0 , E 0 ) на множествеY \Y 00 .

В частности, множество Y 00 включает в себя точки (ω 0 , E 0 ) такие, чтоω 0 ∈ Ω, E 0 ∈ I\I0 .Рассмотрим множествоYε = {(ω, E) : ρ((ω, E), Y 00 ) < ε},где ρ((ω, E), Y 00 ) есть расстояние от точки (ω, E) до множества Y 00 . При фиксированных r ∈ G0 , ω ∈ Ω, E ∈ I0 функция φ(r, ω, ω 0 , E, E 0 , α) и ее производная по параметру являются непрерывными по переменным (ω 0 , E 0 , α) намножестве (Y \Yε ) × [0, 1]. Поэтому справедливо равенство∂∂αZk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )ϕ(r, ω 0 , E 0 , α)dω 0 dE 0 =Y \YεZk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )∂ϕ(r, ω 0 , E 0 , α)dω 0 dE 0 .∂α(1.25)Y \YεВоспользовавшись неравенством Гельдера и условием p -интегрируемостифункции φ(r, ω, ω 0 , E, E 0 , α) и ее производной по параметру, получим следующие равномерные оценкиZ φ(r, ω, ω 0 , E, E 0 , α)dω 0 dE 0 ≤Yε431− p1 p1 Z≤| φ(r, ω, ω 0 , E, E 0 , α) |p dω 0 dE 0  Zdω 0 dE 0 ≤YεYε1const (mes3 (Yε ))1− p ,Z∂1− p10000φ(r,ω,ω,E,E,α)dωdE.

∂α ≤ const (mes3 (Yε ))YεВ силу этих оценок при ε → 0 имеет место равномерная по (x, α) ∈ X0 × [0, 1]сходимостьZlimε→0Y \YεZk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )ϕ(r, ω 0 , E 0 , α)dω 0 dE 0 =k(r, ω · ω 0 , E, E 0 )ϕ(r, ω 0 , E 0 , α)dω 0 dE 0 ,YZlimε→0Y \YεZk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )k(r, ω · ω 0 , E, E 0 )∂ϕ(r, ω 0 , E 0 , α)dω 0 dE 0 =∂α∂ϕ(r, ω 0 , E 0 , α)dω 0 dE 0 .∂αYИз этого факта и (1.25) приходим к справедливости второго утверждениялеммы.Докажем теперь первое утверждение леммы. Пусть некоторая функцияϕ(x, α) является непрерывной и ограниченной на множестве X0 × [0, 1]. Тогда в силу ограничений предыдущего параграфа, наложенных на функциюk(r, ω ·ω 0 , E, E 0 ), функция k(r, ω ·ω 0 , E, E 0 )ϕ(r, ω 0 , E 0 , α) непрерывна в каждойточке (r, ω, E, α) ∈ X0 × [0, 1] при почти всех (ω 0 , E 0 ) ∈ Y .

Кроме того, существует p > 1 такое, что равномерно по (r, ω, E, α) ∈ X0 × [0, 1] справедливонеравенствоkk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )ϕ(r, ω 0 , E 0 , α)kLp (Y ) ≤ const.Следовательно [1], функция (Sϕ)(x, α) является непрерывной и ограничен-44ной на множестве X0 × [0, 1]. Лемма доказана.Лемма 1.9.

Справедливы следующие утверждения:b × [0, 1]);(a) оператор AS действует из Cb (X0 × [0, 1]) в Cb (X(b) если функция ϕ(x, α) и ее производная по параметру являются непрерывными и ограниченными на множестве X0 × [0, 1], тогда производную попараметру можно вносить под знак интеграла в ASϕ.Доказательство. Так как оператор S действует из Cb (X0 × [0, 1]) в Cb (X0 ×b × [0, 1]), то и оператор[0, 1]), а оператор A действует из Cb (X0 × [0, 1]) в Cb (Xb × [0, 1]) .AS также действует из Cb (X0 × [0, 1]) в Cb (XДокажем теперь второе утверждение леммы. В силу леммы 1.8. из условиянастоящей леммы следует, что для (x, α) ∈ X0 × [0, 1]∂(Sϕ)(x, α) =∂α∂ϕ(x, α),S∂αи функция (Sϕ)(x, α) и ее производная по параметру являются непрерывными и ограниченными на множестве X0 × [0, 1].

Воспользовавшись далеелеммой 1.7., примененной к функции Sϕ, приходим к справедливости второго утверждения. Лемма доказана.Лемма 1.10. Функция ψ(x, α), определенная равенством (1.23), и ее проb × [0, 1]).изводная по параметру принадлежат пространству Cb (XДоказательство. Поскольку функция h в силу предположения (h1 ) является непрерывной и ограниченной на множестве X0 × [0, 1], то, воспользовавшись следствием 1.3., получим, что и функция f0 (x, α) является непрерывнойи ограниченной на множестве X0 × [0, 1]. Далее, в силу свойств оператора AS(лемма 1.9.) имеемb × [0, 1]).(ASf0 )(x, α) ∈ Cb (XВоспользовавшись леммой 1.9., по индукции получаем для n ≥ 1b × [0, 1]).((AS)n f0 )(x, α) ∈ Cb (X45b × [0, 1], то суммаТак как ряд (1.23) равномерно сходится на множестве Xряда ограничена на этом же множестве. Непрерывность суммы ряда следует из непрерывности всех его слагаемых.

Таким образом, функция ψ(x, α)b × [0, 1]).принадлежит пространству Cb (Xb × [0, 1]Теперь докажем непрерывность и ограниченность на множестве Xпроизводной по параметру функции ψ(x, α). Для этого предварительно докажем, что производную по параметру можно вносить под знак интегральногооператора S, действующего на функцию f0 , а также покажем, что функцияSf0 и ее производная по параметру принадлежат пространству Cb (X0 ×[0, 1]).Рассмотрим интеграл1(Sf0 )(r, ω, E, α) =4πZk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )f0 (r, ω 0 , E 0 , α)dω 0 dE 0 .(1.26)YПо предположениям, сделанным ранее, заметим, что производная по параметру подынтегральной функции в (1.26) может иметь особенности на мноSжестве Y 0 Y 00 .

При достаточно малом положительном ε введем следующийинтеграл:1(Sε f0 )(r, ω, E, α) =4πZk(r, ω · ω 0 , E, E 0 )f0 (r, ω 0 , E 0 , α)dω 0 dE 0 ,(1.27)Y \YεгдеYε = {(ω, E) : ρ((ω, E), Y 0 ∪ Y 00 ) < ε}.Так как подынтегральная функция в (1.27) и ее производная по параметрупри фиксированных r ∈ G0 , ω ∈ Ω, E ∈ I0 являются непрерывными по(ω 0 , E 0 , α) на множестве (Y \Yε ) × [0, 1], то∂(Sε f0 )(x, α) =∂α∂f0Sε(x, α).∂α(1.28)В силу ограничений, наложенных на функции k и h, подынтегральная функция в (1.26) является p -интегрируемой по переменным (ω 0 , E 0 ) ∈ Y , а еепроизводная по параметру представляет собой произведение двух функций:46p -интегрируемой индикатрисы рассеяния и производной по параметру функции f0 , для которой равномерно по (r, α) ∈ G0 × [0, 1] и для почти всех(ω, E) ∈ Y справедлива оценка∂ f0 (r, ω, E, α) ≤ f1 (ω, E), ∂αгде функция f1 (ω, E) принадлежит пространству Lq (Y ) при q > p/(p − 1).Таким образом, в силу неравенства Гельдера справедливы оценкиZ1 k(r, ω · ω 0 , E, E 0 )f0 (r, ω 0 , E 0 , α)dω 0 dE 0 ≤ const (mes3 (Yε ))1− p ,YεZ∂ k(r, ω · ω 0 , E, E 0 ) f0 (r, ω 0 , E 0 , α)dω 0 dE 0 ≤∂αYε1− p1Zconst p| f1 (ω, E) | p−1 dωdE ,Yεв силу которых при ε → 0 равномерно на множестве X0 × [0, 1] имеет местосходимостьlim(Sε f0 )(x, α) = (Sf0 )(x, α),∂f0∂f0lim Sε(x, α) = S(x, α).ε→0∂α∂α(1.29)ε→0(1.30)Отсюда и в силу соотношения (1.28) получаем, что производную по параметру можно вносить под знак оператора S, действующего на функцию f0 .

Характеристики

Список файлов диссертации