Диссертация (1145332), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Это обеспечивает ошибку усеченияr∈Gменее 1%. Было взято 500 траекторий в одном эксперименте и 5000 – в другом(n = 500; 5000). Нахождение преобразования Радона можно осуществить поскачку в одной из первых трех компонент функций h, H, то есть по формулам (2.33), (2.34) при i = 1, 2, 3.
Первоначально преобразование Радона быловычислено при i = 1, n = 500, что соответствует алгоритму для скалярногоуравнения переноса [14]. Используя алгоритм свертки и обратной проекции,были найдены значения функции µ(r) на равномерной сетке 400×400 в плоскости r3 = 0. Результат восстановления представлен на рисунке 2.1(а). Аналогичное восстановление при i = 2, n = 500 представлено на рисунке 2.1(б).На рисунках 2.2(а,б) изображены соответствующие реконструкции функцииµ по первым двум компонентам решения прямой задачи при n = 5000.94(а)(б)Рисунок 2.1 — Восстановление функции µ в сечении r3 = 0 по формулам(2.33), (2.34) для случая n = 500; (а) – при i = 1, (б) – при i = 2.(а)(б)Рисунок 2.2 — Восстановление функции µ в сечении r3 = 0 по формулам(2.33), (2.34) для n = 5000; (а) – при i = 1, (б) – при i = 2.Для оценки точности разработанного в §4.1 метода нахождения решенияпрямой задачи (2.1), (2.2) для каждого вычисляемого по формуле (2.24) значения f n (r, ω) находилась относительная среднеквадратичная ошибкаδn (r, ω) = √σn (r, ω),n f n (r, ω)где σn2 – оценка выборочной дисперсии:(2.40)95nσn2 (r, ω)1 X(si (r, ω) − f n (r, ω))2 .=n − 1 i=1(2.41)В (2.40), (2.41) операции умножения и деления осуществляются по каждойкомпоненте вектора.
При n = 500 максимальное значение δn составило попервой компоненте менее 3%, а по второй – 8%. При n = 5000 значения δn непревосходили 1% и 2% соответственно.Приведенный вычислительный эксперимент демонстрирует, что использование скачка во второй компоненте вектор-функции h(ξ, ω) позволяет получить более качественное восстановление. Отметим, что когда [h1 (r−d(r, −ω)ω,ω)] = 0, было бы вообще невозможно решить обратную задачу методом, который соответствует скалярному случаю, даже при точно заданных исходныхданных.В заключении приведем результаты вычислительного эксперимента дляслучая фантома Шеппа-Логана [148]. При решении прямой задачи выходящее излучение аппроксимировалось десятью членами ряда Неймана, для реализации метода Монте-Карло бралось 2000 траекторий, и использовалисьте же характеристики входящего излучения как и в предыдущем тесте.
Нарисунке 2.3(а) представлен оригинал изображения, на рисунке 2.3(б) – реконструкция с помощью алгоритма, соответствующего скалярной модели, и нарисунке 2.3(в) – реконструкция на основе предложенного алгоритма.Таким образом, полученное обобщение алгоритма решения задачи томографии на случай векторного уравнения переноса позволяет повысить эффективность реконструкции, что существенно расширяет возможности методов неразрушающего контроля изделий при их радиационном облучении.96(a)(б)(в)Рисунок 2.3 — Фантом Шеппа-Логана; (а) – оригинал, (б) – реконструкцияпри i = 1, (в) – реконструкция при i = 2.97Основные результаты и выводыИспользование векторного уравнения переноса позволяет получить болееполное описание характеристик излучения, что может послужить основойдля разработки новых или улучшения уже известных методов оптическойдиагностики.
В частности, на основе модели переноса поляризованного излучения удается разработать новые более эффективные алгоритмы реконструкции коэффициента ослабления излучения.В Главе 2 разрабатывается алгоритм восстановления внутренней структуры среды, основанный на использовании внешнего источника излученияспециального типа.
Предполагается, что компоненты вектора, описывающеговходящее излучение, испытывают скачок при переходе через горизонтальноенаправление. В этом случае для определения коэффициента ослабления достаточно использовать скачки в одной компоненте вектор-функции. Однако,возможность использования и других компонент или их комбинаций повышает эффективность алгоритма реконструкции.Математически строгое обоснование алгоритма основывается на свойствахрешения прямой задачи для векторного уравнения переноса при разрывнойпо угловой переменной функции, описывающей входящее излучение.К наиболее значимым результатам Главы 2 можно отнести следующие.1.
Исследована векторная модель переноса поляризованного излучения.Доказана однозначная разрешимость прямой задачи для уравнения переноса поляризованного излучения при разрывной по угловой переменной функции, описывающей внешние источники излучения. Исследованы непрерывные свойства решения прямой задачи. Представлено обоснование вычислительного алгоритма решения прямой задачи.2.
Исследована задача томографии, заключающаяся в определении коэффициента ослабления по известному излучению на границе среды. Разработан алгоритм решения задачи томографии, основанный на использовании внешних источников специального типа. Доказана однозначная разрешимость задачи томографии. Показана эффективность алгоритма реконструкции среды по сравнению с аналогичным методом, основанном на скалярной98модели.3. Разработано специализированное программное обеспечение для решения прямых задач для векторного уравнения переноса на основе метода МонтеКарло и решения задач компьютерной томографии на основе метода, использующего внешний источник излучения специального типа.Основные результаты Главы 2 представлены в работах [15, 40, 41, 45, 127,128, 132].
Результаты в [45] получены непосредственно автором. В остальных(совместных) работах творческий вклад по отношению к соавторам как минимум равный. В работе [127] автором доказана однозначная разрешимостьпрямой задачи для векторного уравнения переноса при разрывном внешнемисточнике и обоснован метод решения задачи компьютерной томографии. Вработах [40, 41, 128, 132] автором разработаны алгоритмы решения прямых иобратных задач для векторного уравнения переноса.99ГЛАВА 3. ПЕРЕНОС ПОЛЯРИЗОВАННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ВСЛОИСТОЙ СРЕДЕ§5.Краевая задача для уравнения переноса поляризованногоизлучения в слоистой среде5.1.Однозначная разрешимость прямой задачиПусть плоскости z = zi являются границами раздела слоев Gi = (zi−1 , zi )pSмногослойной системы G0 =Gi .
Множество G0 представляет собой разбиi=1ение среды G = (z0 , zp ), (G0 = G), в которой изучается процесс распространения излучения. В азимутально-симметричном случае перенос излученияв плоском слое может быть описан следующим интегродифференциальнымуравнением:Z1νfz (z, ν) + µ(z)f (z, ν) = µs (z)P (z, ν, ν 0 )f (z, ν 0 )dν 0 + J(z, ν).(3.1)−1Здесь f = (f1 , f2 ) – двухкомпонентная вектор-функция распределения поляризованного излучения в среде, связанная с вектор-параметром Стокса(Ik , I⊥ ) следующими соотношениями: f1 (z, ν) = Ik (z, ν)/n2 (z), f2 (z, ν) =I⊥ (z, ν)/n2 (z), где n(z) – кусочно-постоянный показатель преломления (индекс рефракции) среды (n(z) = ni для z ∈ Gi ).
Заметим, что сумма компонент Ik + I⊥ описывает интенсивность излучения. Независимая переменнаяz ∈ G определяет точку слоя, а ν ∈ [−1, 1] есть косинус угла между направлением распространения излучения и положительным направлением оси z.Функции µ, µs описывают радиационные характеристики среды и называются коэффициентом ослабления и коэффициентом рассеяния соответственно.100Двухкомпонентная вектор-функция J описывает внутренние источники излучения, а P представляет собой матрицу рассеяния размерности 2 × 2.Будем полагать, что µ, µs , Ji неотрицательны, µ ≥ µmin > 0 и µ, µs ∈Cb (G0 ), где Cb (G0 ) – есть банахово пространство функций, непрерывных иограниченных на G0 с нормойkϕkCb (G0 ) = sup |ϕ(x)|.x∈G0Обозначим X = G × {[−1, 0) ∪ (0, 1]} и X0 = G0 × {[−1, 0) ∪ (0, 1]}.
Относительно матрицы рассеяния P предполагается, что ее элементы pij ∈Cb (X0 × [−1, 1]\{0}), (P f )1,2 ≥ 0 для f1,2 ≥ 0 и выполняется нормировка:Z1(pi1 (z, ν, ν 0 ) + pi2 (z, ν, ν 0 ))dν 0 = 1,i = 1, 2.−1Введем пространство V (X0 ) двухкомпонентных вектор-функций ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ),ϕi ∈ Cb (X0 ) с нормойkϕkV (X0 ) = max kϕi kCb (X0 ) ,i=1,2и пусть J ∈ V (X0 ). Рассмотрим следующие граничные множества:Γint =p−1[{zi × {[−1, 0) ∪ (0, 1]}},Γ±ext = {{z0 × [∓1, 0)} ∪ {zp × [±1, 0)}},i=1Γ± = Γint ∪ Γ±ext ,Γ = Γ+ ∪ Γ− .Присоединим к уравнению (3.1) краевые условия видаf − (z, ν) = (Bf + )(z, ν) + h(z, ν),(z, ν) ∈ Γ− ,где(f ± (z, ν) =f (z ± 0, ν),ν < 0,f (z ∓ 0, ν),ν > 0,(3.2)101f (z ± 0, ν) = lim f (z ± ε, ν).ε→+0Пусть функция h в условии (3.2), описывающая внешние источники излучения, принадлежит V (Γ− ) и равна нулю на множестве Γint .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
