Диссертация (1145332), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Оценки проводятся на различных оптических удалениях от границ слояи внутренних неоднородностей. В качестве граничных в основном взяты условия, получаемые при использовании весовой функции (4.1).7.1.Основные принципы построения диффузионногоприближения уравнения переноса в слоистой средеРассмотрим плоский слой z ∈ G = (0, d), d ≤ ∞, с изотропным рассеянием и внутренними источниками. Соответствующее этому случаю уравнениепереноса излучения имеет вид:νfz (z, ν) + µ(z)f (z, ν) −µs (z)2Z1f (z, ν 0 )dν 0 = J(z).−1Определим множество G0 следующим образом:G0 =p[i=1Gi ,Gi = (zi−1 , zi ),0 = z0 < z1 < ... < zp = d.(4.2)126Предположим, чтоµ(z), µs (z) ∈ C 1 (G0 ),J(z) ∈ C(G0 ).К уравнению (4.2) присоединим краевое условие на границе z = 0:f (0, ν) = h(ν),ν > 0,h(ν) ∈ C[0, 1].(4.3)При d = ∞ задача (4.2), (4.3) представляет собой краевую задачу для уравнения переноса в полубесконечном слое.

При d < ∞ к уравнению переноса(4.2) помимо условия (4.3) присоединим также краевое условие на поверхности z = d:f (d, ν) = h(ν),ν < 0,h(ν) ∈ C[−1, 0].(4.4)Пусть функции h, µ, µs , J неотрицательны, ограничены и µ ≥ µs ≥ const > 0.При сделанных ограничениях на функции h, µ, µs и J решение задачи (4.2)–(4.4) при d < ∞ существует и единственно. При d = ∞ также существуетединственное ограниченное решение задачи (4.2), (4.3) [25].Введем в рассмотрение функциюϕ(ν) =1,1 − kν(4.5)где k есть положительный корень следующего трансцендентного уравнения:λ1−kln= 1,2k1−kλ=µs.µ(4.6)Заметим [34], что k ∈ (0, 1) при λ ∈ (0, 1).Определим также функциюWλ (ν) = CX −1 (ν)ν,1 − k2ν 2C = const.В монографии К.

Кейза и П. Цвайфеля [34] приведены явные выражения дляX-функции, а также тождества и таблицы. Постоянная C определяется из127условий нормировкиZ1ϕ(ν)Wλ (ν)dν = 1.(4.7)−1Для дальнейших оценок отметим, что функция Wλ (ν) является ограниченнойпо λ ∈ [δ, 1], δ > 0 и ν ∈ [−1, 1].Сформулируем теперь теорему о представлении решения задачи (4.2),(4.3) (при d = ∞) для однородного полубесконечного слоя без внутреннихисточников [26, 60, 61].Теорема 4.1. Пусть µ, µs = const, h(ν) ∈ C[0, 1], J ≡ 0, 0 < µs < µ, тогдаограниченное решение краевой задачи (4.2), (4.3) на множестве [0, ∞) ×[−1, 1]\{0, 0} непрерывно и может быть представлено в видеf (z, ν) = ψ(z, ν) + χ(z, ν),(4.8)где функции ψ(z, ν) и χ(z, ν) называются соответственно регулярной исингулярной компонентами решения уравнения переноса и удовлетворяютсоотношениямψ(z, ν) = ψ + ϕ(ν) exp(−kτ ),ψ+ =Z1h(ν)Wλ (ν)dν,τ = µz,(4.9)0|χ(z, ν)| < r+ exp(−ητ ),(4.10)здесь η – любое число, удовлетворяющее условию k < η < 1.Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что регулярная компонента ψ(z, ν) является решением однородного уравнения переноса.

Соответственно сингулярная компонента χ(z, ν) также удовлетворяет однородному уравнению переноса, причем граничное условие для χ(z, ν) имеет видχ(0, ν) = h(ν) − ψ + ϕ(ν),ν > 0.Таким образом, в качестве r+ можно взять sup |χ(0, ν)|.ν∈[0,1]128Рассмотрим теперь краевую задачу для однородного слоя конечной толщины (d < ∞) без внутренних источников. Введем следующие величины:Dλ = 1 − [Kλ exp(−kτ )]2 ,Z1τ = µd,Kλ =ϕ(−ν)Wλ (ν)dν.0Величина τ называется оптической толщиной слоя.При µ, µs = const, J ≡ 0 сформулируем теорему о представлении решениядля задачи (4.2)–(4.4) [26].Теорема 4.2. В условиях теоремы 4.1. для слоя конечной толщины τ и привсех значениях λ, для которых Kλ < 1, решение задачи (4.2)-(4.4) можетбыть представлено в видеf (z, ν) = ψ(z, ν) + χ(z, ν).(4.11)Здесь функции ψ(z, ν) и χ(z, ν) удовлетворяют однородному уравнению переноса и для них справедливы соотношенияψ(z, ν) = ψ + Vλ (τ, ν) + ψ − Vλ (τ − τ, −ν),ψ± =Z1h(±ν)Wλ (ν)dν,0χ(z, ν) = exp(−ητ )r+ (τ, ν) + exp(−η(τ − τ ))r− (τ, ν),Vλ (τ, ν) = {ϕ(ν) exp(−kτ ) − Kλ ϕ(−ν) exp(−k(2τ − τ ))} /Dλ ,где r± (τ, ν) – ограниченные функции.Заметим, что условие Kλ < 1 выполняется по крайней мере при λ, достаточно близких к 1.Наряду с уравнением переноса широкое распространение, например дляприближенного расчета основных характеристик излучения, получило диффузионное приближение (P1 приближение) уравнения переноса, которое вслучае плоскопараллельной симметрии и изотропии рассеяния и внутренних129источников имеет вид0− (D(z)u0 (z)) + µa (z)u(z) = J(z),(4.12)где D(z) = (3µ(z))−1 – коэффициент диффузии.Заметим, что в рамках диффузионного приближения функцияfe(z, ν) = u(z) − µ−1 (z)u0 (z)ν(4.13)интерпретируется как функция интенсивности излучения f (z, ν), а решениедиффузионного уравнения u(z) – как усредненная по направлениям интенсивность излучения:1f0 (z) =2Z1f (z, ν 0 )dν 0 .−1Важным вопросом является выбор граничных условий для диффузионного приближения уравнения переноса.

При построении граничных условийбудем использовать подход, заключающийся с усреднением входящего излучения с некоторой весовой функцией W (ν). Исходя из этого, можно записатьграничные условия для полубесконечного слоя (d = ∞):Z1Z1fe(0, ν)W (ν)dν =0h(ν)W (ν)dν.(4.14)0В случае слоя конечной толщины (d < ∞) к уравнению (4.12) помимо условия(4.14) добавляется краевое условие на поверхности z = d:Z0Z0fe(d, ν)W (−ν)dν =−1h(ν)W (−ν)dν.(4.15)−1Если D(z), µa (z) ∈ C 1 (G0 ), то под решением диффузионного уравнениябудем понимать функцию u(z) ∈ C 2 (Gi ) ∩ C 1 (Gi ), i = 1, 2, ..., p, удовлетворяющую уравнению (4.12) на множестве G0 , граничным условиям (4.14) при130d = ∞ (и (4.14), (4.15) при d < ∞) и следующим условиям на контактныхграницах сред:u(zi − 0) = u(zi + 0),D(zi − 0)u0 (zi − 0) = D(zi + 0)u0 (zi + 0),i = 1, ..., p − 1.(4.16)В [26] в качестве весовой функции для усреднения входящего излученияпредлагается брать функцию Wλ (ν), а в [121] функциюW (ν) = 1.5νX −1 (−ν).(4.17)Легко видеть, что функция (4.17) с точностью до нормировочного множителяприближает функцию Wλ с погрешностью O(k 2 ).

Заметим, что k 2 = O(1 − λ)[26].f (ν) = 1.5ν 2 + ν хорошоВ свою очередь, в [141] показано, что функция Wаппроксимирует функцию (4.17), так чтоfsup W (ν) − W (ν) = 0.018 .ν∈[0,1]7.2.Диффузионное приближение в полубесконечном слоеРассмотрим среду с высоким рассеянием и без внутренних источников, заполняющую полубесконечный слой.

Пусть λ = 1−ε2 , где ε – малый параметр.В качестве основной характеристики излучения, которая аппроксимируетсярешением диффузионного уравнения, будем брать часто используемое в различных прикладных задачах усредненное по направлениям решение уравнения переноса.Обозначим через ψ0 (z) усредненную по направлениям регулярную компоненту решения уравнения переноса. Усредняя ψ(z, ν) в (4.9) по ν, получимψ0 (z) = λ−1 ψ + exp(−kµz).(4.18)Общий вид решения диффузионного уравнения в классе ограниченных функ-131ций для полубесконечного слоя имеет видu(z) = C exp(−pz),p=p3µµa .(4.19)Используя представление [26]p32k = 3(1 − λ) + O (1 − λ)и учитывая, что ε =√1 − λ, то есть k =√3ε + O(ε3 ), получаемp = µ k + O(k 3 ) = µ k + O(ε3 ) .(4.20)Из представления (4.20) получаемexp(−pz) = exp(−kµz) + O(ε2 ).(4.21)Оценим близость диффузионного приближения к усредненному по направлениям решению уравнения переноса.Рассмотри 2 случая.1.

Большие оптические глубины: τ = µz 1, так что C1 ≥ τ ε ≥ C2 > 0,где C1 , C2 = const.Коэффициент C в представлении (4.19) для u(z) получаем из граничногоусловия (4.14), положив W = Wλ :Z1Z1fe(0, ν)Wλ (ν)dν =h(ν)Wλ (ν)dν.(4.22)00Распишем левую часть равенства (4.22). С учетом нормировки (4.7) для функции Wλ имеемZ1Z1fe(0, ν)Wλ (ν)dν = C00(1 + kν)Wλ (ν)dν = Cλ + O(ε2 ).(4.23)132Поскольку правая часть (4.22) в силу (4.9) равна ψ + , то из (4.22), (4.23)получаемC = λ−1 ψ + + O(ε2 ).Учитывая соотношение (4.21), в итоге приходим к оценке|u(z) − ψ0 (z)| = O(ε2 ).(4.24)Согласно оценке (4.10) для сингулярной компоненты из (4.24) следует, что набольших оптических глубинах решение диффузионного уравнения приближает усредненное по направлениям решение уравнения переноса с погрешностью O(ε2 ).2. Относительно небольшие оптические глубины: τ = O(1).Оценим погрешность диффузионного приближения при слабой анизотропии входящего излучения, которую определим следующим образом:h(ν) = h0 + h1 (ν),h0 = const,|h1 (ν)| < δ 1.(4.25)Для определения константы C в представлении (4.19) будем использоватьграничное условие вида (4.14) с произвольной весовой функцией W (ν), удовлетворяющей условию нормировкиZ1ϕ(ν)W (ν)dν = 1.(4.26)W (ν)dν = 1 + O(ε).(4.27)0Из (4.26), в частности, имеемZ10Из граничного условия (4.14) с учетом нормировки (4.26) следует, чтоC = λ−1 ψ + + O(ε + δ).

Таким образом, учитывая (4.21), получаем, что нанебольших оптических глубинах решение диффузионного уравнения прибли-133жает усредненную по направлениям регулярную компоненту с погрешностьюO(ε + δ).Оценим теперь сингулярную компоненту на небольших оптических глубинах. Граничное условие для χ(z, ν) запишется в видеχ(0, ν) = h(ν) − ψ(0, ν) = h(ν) − ψ + ϕ(ν) = h(ν) − ψ + + O(ε).Учитывая требование слабой анизотропии входящего излучения (4.25) и представление (4.27), далее получаемZ1χ(0, ν) = h1 (ν) −h1 (ν)Wλ (ν)dν + O(ε) = O(ε + δ).0Таким образом, принимая во внимание оценку (4.10), получаем, что сингулярная компонента оценивается величиной порядка O(ε + δ), то есть наотносительно небольших глубинах (τ = O(1)) при слабой анизотропии входящего излучения решение диффузионного уравнения приближает усредненноепо направлениям решение уравнения переноса с погрешностью O(ε + δ).7.3.Диффузионное приближение в однородном слоеРассмотрим оптически плотную среду, заполняющую слой конечной толщины µd = Cε−1 (C = const, ε – малый параметр) без внутренних источников (J(z) ≡ 0) с высоким рассеянием, λ = 1 − ε2 .

Характеристики

Список файлов диссертации