Диссертация (1145332), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Без потери общностибудем полагать d = 1. Общий вид решения диффузионного уравнения дляслоя конечной толщины имеет видu(z) = C1 exp(−pz) + C2 exp(−p(1 − z)).Заметим, чтоexp(−pz) = exp(−kµz) + O(ε2 ),exp(−p(1 − z)) = exp(−kµ(1 − z)) + O(ε2 ). (4.28)134Рассмотрим два случая.1. Большое оптическое удаление от обеих границ: zµ, (1 − z)µ > Cε−1 ,C = const.Рассмотрим регулярную компоненту решения уравнения переноса дляслоя конечной толщины. Усредняя ψ по ν, получимψ0 (z) = B1 exp(−kµz) + B2 exp(−kµ(1 − z)),гдеB1 =1(ψ + − exp(−kµ)Kλ ψ − ),λDλB2 =1(ψ − − exp(−kµ)Kλ ψ + ).λDλДля того чтобы получить представления для констант C1 и C2 , входящихв представление функции u(z), воспользуемся граничными условиями (4.14)и (4.15), взяв в качестве весовой функции Wλ :Z1Z1fe(0, ν)Wλ (ν)dν =0h(ν)Wλ (ν)dν,0Z0Z0fe(1, ν)Wλ (−ν)dν =−1h(ν)Wλ (−ν)dν.

(4.29)−1Подставляя в (4.29) вместо fe(z, ν) представление (4.13) и учитывая нормировку для функции Wλ , получаем систему из двух уравнений для нахожденияконстант C1 и C2 , из которой следуетC1 = B1 + O(ε2 ),C2 = B2 + O(ε2 ).Таким образом, учитывая (4.28), имеем|u(z) − ψ0 (z)| = O(ε2 ),(4.30)то есть решение диффузионного уравнения приближает усредненную по на-135правлениям регулярную компоненту решения уравнения переноса с погрешностью O(ε2 ).

Учитывая представление для сингулярной компоненты (теорема 4.2.), получаем, что решение диффузионного уравнения на больших оптических глубинах приближает усредненное по направлениям решение уравнения переноса с погрешностью O(ε2 ).2. Небольшое оптическое удаление от одной из границ.Будем рассматривать случай небольшого удаления от границы z = 0, такчто µz = O(1). На границе слоя потребуем слабую анизотропию входящегоизлучения:h(±ν) = h±0 + h1 (±ν),h±0 = const,|h1 (±ν)| < δ 1,ν > 0.При использовании граничных условий (4.29) для коэффициентов C1 иC2 получаются те же представления, что и в случае 1. Отсюда и из представления (4.28) следует, что и на относительно небольших оптических глубинахимеет место оценка (4.30).Оценим теперь близость решения диффузионного уравнения и усредненного по направлениям решения уравнения переноса.

Для определения констант C1 и C2 , входящих в представление функции u(z), будем использовать граничные условия вида (4.14), (4.15) с произвольной весовой функциейW (ν), удовлетворяющей условию нормировки (4.27). В итоге получим следующее представление для коэффициентов C1 и C2 :C1 = B1 + O(ε + δ),C2 = B2 + O(ε + δ).(4.31)Далее, рассуждая, как и в случае полуограниченного слоя, получаем,что сингулярная компонента решения уравнения переноса χ(z, ν) на границеz = 0 оценивается величиной O(ε + δ). И поскольку сингулярная компонентаудовлетворяет однородному уравнению переноса, то в силу принципа максимума [25] на небольшом оптическом удалении от границы z = 0|χ(z, ν)| ≤ sup |χ(0, ν)|.ν∈[0,1]136С учетом этого, а также (4.28), (4.31) получаем, что на относительно небольших оптических глубинах от границы z = 0, при µz = O(1), решение диффузионного уравнения приближает усредненное по направлениям решениеуравнение переноса с погрешностью O(ε + δ).7.4.Диффузионное приближение в неоднородномполубесконечном слоеРассмотрим полубесконечный слой с кусочно-постоянными функциями µ,λ без внутренних источников.

Будем полагать, что функции µ(z), µs (z), µa (z),p(z), λ(z) принимают постоянные значения µ1 , µs1 , µa1 , p1 , λ1 в слое (0, z1 )и значения µ2 , µs2 , µa2 , p2 , λ2 в слое (z1 , ∞) соответственно. Предположим,что контактная граница двух сред z = z1 находится на большом оптическомудалении от внешней границы z = 0 (z1 µ = Cε−1 , C = const, ε 1) и вовсем полубесконечном слое подавляющим видом взаимодействия являетсярассеяние, а именно, λi = 1 − Ci ε2 , Ci = const.При данных характеристиках среды оценим близость решения уравненияпереноса и его диффузионного приближения на различном оптическом удалении от границ z = 0, z = z1 .Построим представление для решения диффузионного уравнения в полубесконечном слое (0, ∞).

Запишем общий вид решения диффузионного уравнения в слое (0, z1 ):u1 (z) = A exp(−p1 z) + B exp(−p1 (z1 − z)),p1 =p3µ1 µa1 ,(4.32)в полубесконечном слое (z1 , ∞):u2 (z) = C exp(−p2 (z − z1 )),p2 =p3µ2 µa2 .(4.33)Для определения констант A, B и C зададим на границе z = 0 следующееусловие:Z1 Z1νu1 (0) − u01 (0) W1 (ν)dν = h(ν)W1 (ν)dν,µ100(4.34)137где через W1 (ν) обозначается Wλ (ν) при λ = λ1 , а также зададим условиявида (4.16) на контактной границе сред z = z1 :u1 (z1 ) = u2 (z1 ),11 0u1 (z1 ) = u02 (z1 ).µ1µ2(4.35)Подставив в равенства (4.34), (4.35) представления (4.32), (4.33) для функций u1 (z) и u2 (z), приходим к системе из трех уравнений относительно неизвестных A, B, C, разрешив которую, получимψ1+ (k1 + k2 )A=+ O(ε2 ),k1 + k2 + exp(−2k1 µ1 z1 )K1 (k1 − k2 )ψ1+ exp(−k1 µ1 z1 )(k1 − k2 )+ O(ε2 ),B=k1 + k2 + exp(−2k1 µ1 z1 )K1 (k1 − k2 )2k1 ψ1+ exp(−k1 µ1 z1 )C=+ O(ε2 ),k1 + k2 + exp(−2k1 µ1 z1 )K1 (k1 − k2 )Z1ϕ1 (−ν)W1 (ν)dν,K1 =0ψ1+ =Z1h(ν)W1 (ν)dν.0Здесь k1 , k2 – положительные решения трансцендентного уравнения (4.6) вслое (0, z1 ) и в полубесконечном слое (z1 , ∞) соответственно, а ϕ1 (ν) и ϕ2 (ν)– соответствующая корням k1 , k2 функция ϕ(ν).Далее воспользуемся представлением для регулярной компоненты решения уравнения переноса в слое (0, z1 ):ψ1 (z, ν) = ψ1+ V1 (τ, ν) + ψ1− V1 (τ1 − τ, −ν),гдеV1 (τ, ν) = {ϕ1 (ν) exp(−k1 τ ) − K1 ϕ1 (−ν) exp(−k1 (2τ1 − τ )}/D1 ,D1 = 1 − [K1 exp(−k1 τ1 )]2 ,τ1 = µz1 ,138а также в полубесконечном слое (z1 , ∞):ψ2 (z, ν) = ϕ2 (ν) exp(−k2 µ2 (z − z1 ))ψ2+ .Для определения величин ψ1− и ψ2+ воспользуемся следующим условиемна регулярную компоненту на поверхности z = z1 [119]:ψ1 (z1 , ν) = ψ2 (z1 , ν) + O(ε2 ).(4.36)Подставим в это условие представления для соответствующих регулярныхкомпонент, заменив в них функции ϕ1 (ν) и ϕ2 (ν) соотношениямиϕ1 (±ν) = 1 ± k1 ν + O(ε2 ),ϕ2 (ν) = 1 + k2 ν + O(ε2 ).Сгруппировав затем слагаемые с одинаковыми степенями ν, приходим к системе из двух уравнений относительно неизвестных ψ1− , ψ2+ :ψ1+ exp(−k1 τ1 )(1 − K1 ) + ψ1− (1 − K1 exp(−2k1 τ1 )) = ψ2+ D1 + O(ε2 ),(4.37)ψ1+ k1 exp(−k1 τ1 )(1+K1 )−ψ1− k1 (1+K1 exp(−2k1 τ1 )) = ψ2+ k2 D1 +O(ε2 ), (4.38)разрешив которую, получимψ1−ψ1+ exp(−k1 τ1 )(k1 − k2 + (k1 + k2 )K1 )+ O(ε2 ),=k1 + k2 + exp(−2k1 τ1 )K1 (k1 − k2 )ψ2−2k1 ψ1+ exp(−k1 τ1 )=+ O(ε2 ).k1 + k2 + exp(−2k1 τ1 )K1 (k1 − k2 )Подставив ϕ1 , ψ1− и ψ2+ в представление для регулярной компоненты решенияуравнения переноса, нетрудно убедиться в справедливости оценки|u(z) − ψ0 (z)| = O(ε2 ).139Из условия (4.36) следует, что сингулярная компонента на большом оптическом удалении от внешней границы полубесконечного слоя (в частностивблизи границы z = z1 ) является величиной O(ε2 ) [119].

Таким образом,отклонение решения диффузионного приближения от усредненного по направлениям решения уравнения переноса на больших оптических глубинахоценивается величиной O(ε2 ).7.5.Некоторые выводы о применимости диффузионногоприближенияПри условии преобладающего рассеяния (λ = 1 − Cε2 , C = const, ε 1)на различных оптических глубинах в терминах малого параметра ε оцененаблизость усредненного по направлениям решения уравнения переноса и егодиффузионного приближения. На основе проделанных оценок можно сделатьследующие выводы.1. На большом оптическом удалении от внешней границы и при использовании в граничных условиях весовой функции (4.1) погрешность приближения оценивается величиной O(ε2 ) вне зависимости от анизотропии входящегоизлучения.2.

На небольших оптических глубинах получена оценка приближенияO(ε + δ), где δ – малый параметр, характеризующий анизотропию входящегоизлучения. При проведении оценок в граничных условиях использоваласьпроизвольная весовая функция W (ν).3. Наличие внутренней неоднородности, если она находится на большомоптическом удалении от внешней границы, не ухудшает оценку точности диффузионного приближения. Отметим, что обычно принято использовать диффузионное приближение вдали от границ неоднородностей.140§8.Моделирование радиационно-кондуктивного теплообмена врассеивающем слое с отражающими границами8.1.Постановка задачи радиационно-кондуктивного теплообменаРассмотрим задачу радиационно-кондуктивного переноса тепла в слое[159, 160].

Уравнение радиационного переноса тепла в нормализованной форме имеет вид:λνfz (z, ν) + f (z, ν) =2Z1p(ν, ν 0 )f (z, ν 0 )dν 0 + (1 − λ)Θ4 (z),(4.39)−1где f (z, ν) есть нормализованная интенсивность излучения в точке z ∈ [0, τ ](τ – оптическая толщина слоя) и в направлении, косинус угла которого сположительным направлением оси z составляет ν ∈ [−1, 1]; λ < 1 есть альбедо однократного рассеяния, описывающее долю рассеяния в среде; p(ν, ν 0 ) –фазовая функция; Θ(z) – нормализованная температура. Введем следующиемножества для задания граничных условий: +Γ = {0} × (0, 1] ∪ {τ } × [−1, 0) , Γ = {0} × [−1, 0) ∪ {τ } × (0, 1] .−Присоединим к уравнению (4.39) следующее граничное условие:(ξ, ν) ∈ Γ− ,f (ξ, ν) = h(ξ) + (Bf )(ξ, ν),(4.40)гдеh(0) =ε1 Θ41 ,(Bf )(0, ν) =ρs1 f (0, −ν)+2ρd11Zf (0, −ν 0 )ν 0 dν 0 ,ν > 0,0h(τ ) =ε2 Θ42 ,(Bf )(τ , ν) =ρs2 f (τ , −ν)+2ρd2Z1f (τ , ν 0 )ν 0 dν 0 ,ν < 0.0Здесь Θ1 и Θ2 обезразмеренные температуры на границах слоя; ρsi и ρdi –коэффициенты зеркального и диффузного отражения соответственно; εi =1 − ρsi − ρdi – коэффициент излучения.141Уравнение кондуктивного переноса тепла запишем в следующем виде:1Θ00 (z) =2NcZ01f (z, ν)νdν,(4.41)−1где Nc есть кондуктивно-радиационный параметр [159].

Характеристики

Список файлов диссертации