Диссертация (1145332), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Оператор F является непрерывным, и F [K] ⊂ M .168Доказательство. Пусть ϕ1 = F [θ1 ], ϕ2 = F [θ2 ], где θ1,2 ∈ K. Заметим, чтофункция ϕ = ϕ1 − ϕ2 удовлетворяет условиям:−ϕ00 (x) + αϕ(x) = α(θ14 (x) − θ24 (x)), x ∈ (0, 1),(4.96)B1 [ϕ] = B2 [ϕ] = 0.(4.97)Умножим (4.96) на ϕ и проинтегрируем по интервалу (0,1). Используя формулу интегрирование по частям и условия (4.97), получимkϕ0 k2 + β1−1 ϕ2 (0) + β2−1 ϕ2 (1) + αkϕk2 = α θ14 − θ24 , ϕ .(4.98)Здесь и далееZ1(f, g) =f (x)g(x)dx, kf k2 = (f, f ).0Пусть θ = θ1 − θ2 .

Правую часть (4.98) можно оценить следующим образом:4αΘ32 kθkkϕk ≤ 8αΘ62 kθk2 +αkϕk2 .2Следовательно,kϕ0 k2 + β1−1 ϕ2 (0) + β2−1 ϕ2 (1) +αkϕk2 ≤ 8αΘ62 kθk22и0kϕkC[0,1] = max |ϕ(x)| ≤ |ϕ(0)| + kϕ k ≤√[0,1]8αΘ32Эта оценка доказывает непрерывность оператора F .Пусть теперь θ ∈ K, ϕ = F [θ]. Обозначимψ(x) = max{ϕ(x) − Θ42 , 0}.[0,1]p 1 + β1 kθkC[0,1] .169Так как ϕ является решением задачи (4.91)-(4.93), то−(ϕ00 , ψ) + α(ϕ − θ4 , ψ) = 0.(4.99)Оценивая слагаемые в левой части равенства (4.99), получаем−(ϕ00 , ψ) = (ϕ0 , ψ 0 ) + ϕ0 (0)ψ(0) − ϕ0 (1)ψ(1) =kψ 0 k2 + β1−1 ϕ(0) − Θ41 ψ(0) + β2−1 ϕ(1) − Θ42 ψ(1) ≥kψ 0 k2 + β1−1 ϕ2 (0) + β2−1 ϕ2 (1),(ϕ − θ4 , ψ) ≥ ϕ − Θ42 , ψ = kψk2 .Из этих неравенств и уравнения (4.99) следует, что kψ 0 k2 + αkψk2 ≤ 0 илиψ ≡ 0, следовательно ϕ(x) ≤ Θ42 , x ∈ [0, 1].Неравенство ϕ(x) ≥ Θ41 доказывается аналогично.

Таким образом, ϕ ∈ M .Лемма доказана.Теперь рассмотрим нелинейную краевую задачу (4.94)-(4.95), где ϕ ∈ Mявляется заданной. Пусть φ = max{θ − Θ2 , 0}. Если θ ∈ C 2 [0, 1] являетсярешением задачи (4.94)-(4.95), то−(θ00 , φ) + ασ(θ4 − ϕ, φ) = 0.Слагаемые в левой части оцениваются следующим образом:−(θ00 , φ) = kφ0 k2 ,(θ4 − ϕ, φ) ≥ (θ4 − Θ42 , φ) ≥ 0.Следовательно, φ0 ≡ 0, что дает равенство φ ≡ 0, поскольку φ(0) = φ(1) = 0.Следовательно, θ(x) ≤ Θ2 , x ∈ [0, 1].Аналогично мы можем доказать, что θ(x) ≥ Θ1 , x ∈ [0, 1].Учитывая найденные оценки для функции θ, получаем, что задача (4.94)(4.95) эквивалентна следующей краевой задаче с ограниченной нелинейностью g(θ):−θ00 + ασg(θ) = ασϕ, θ(0) = Θ1 , θ(1) = Θ2 ,(4.100)170где ϕ ∈ M является заданной функцией иΘ1 − θ4−Θ, θ < Θ1 ,11 + Θ1 − θg(θ) =θ4 , Θ1 ≤ θ ≤ Θ2 ,θ − Θ2 Θ42 +, θ > Θ2 .1 + θ − Θ2Для возрастающей ограниченной функции g, g : R → R разрешимость задачи(4.100) хорошо известна (см., например, [140]).

Таким образом, для каждойфункции ϕ ∈ M существует решение θ ∈ C 2 [0, 1] ∩ K задачи (4.94)-(4.95).Единственность следует из возрастания функции θ4 для Θ1 ≤ θ ≤ Θ2 .Таким образом, мы определили оператор решения T : M → K краевойзадачи (4.94)-(4.95), то есть θ = T [ϕ] является решением задачи (4.94)-(4.95)при заданном ϕ.Лемма 4.6. Оператор T является непрерывным.Доказательство. Пусть θ1 = T [ϕ1 ], θ2 = T [ϕ2 ], ϕ1,2 ∈ M , θ1,2 ∈ K.

Обозначим θ = θ1 − θ2 , ϕ = ϕ1 − ϕ2 . Мы имеем−θ00 + ασ θ14 − θ24 = ασϕ, x ∈ (0, 1),θ(0) = θ(1) = 0,откуда следует−(θ00 , θ) + ασ θ14 − θ24 , θ = ασ(ϕ, θ).Следовательно,kθ0 k2 ≤ ασkϕkkθk ≤ ασkϕkkθ0 k.Учитывая, что θ(0) = 0, получаем оценкуkθkC[0,1] ≤ kθ0 k ≤ ασkϕk ≤ ασkϕkC[0,1] .Это доказывает непрерывность T . Лемма доказана.Теперь рассмотрим задачу (4.91)-(4.95). Используя определенные вышеоператоры F : K → M и T : M → K, введем оператор A : K → K,171A[θ] = T [F [θ]]. Заметим, что пара {θ, ϕ} является решением задачи (4.91)(4.95) тогда и только тогда, когдаθ = A[θ], θ ∈ K,ϕ = F [θ].(4.101)Из определения операторов F , T и A следует, что пара {θ, ϕ} в (4.101)принадлежит C 2 [0, 1] × C 2 [0, 1].Теорема 4.5.

Решение {θ, ϕ} ∈ K × M задачи (4.91)-(4.95) существует.Доказательство. Докажем существование неподвижной точки θ ∈ K оператора A. Из лемм 4.5., 4.6. следует, что оператор A является непрерывнымотображением выпуклого замкнутого множества K ⊂ C[0, 1]. Покажем компактность множества A[K]. Пусть θ ∈ K, ϕ = F [θ] ∈ M , θ0 = T [ϕ] = A[θ],тогда−θ000 = ασ ϕ − θ04 ,θ0 (0) = Θ1 , θ0 (1) = Θ2 .Следовательно,kθ000 kC[0,1] ≤ ασΘ42 .С учетом равномерной оценки kθ000 kC[0,1] по θ ∈ K и граничных условий получаем компактность множества A[K]. Существование неподвижной точкиоператора A следует из теоремы Шаудера. Таким образом, разрешимостькраевой задачи (4.91)-(4.95) доказана.10.2.Единственность решения краевой задачиДокажем, что оператор A имеет единственную неподвижную точку на K,что означает единственность решения задачи (4.91)-(4.95).

Вначале докажемследующее утверждение.Лемма 4.7. Пусть θ1,2 ∈ K, θ1 (x) ≤ θ2 (x), x ∈ [0, 1], ζ1 = A[θ1 ], ζ2 = A[θ2 ].Тогда ζ1 (x) ≤ ζ2 (x), x ∈ [0, 1].172Доказательство. Обозначим ϕ1,2 = F [θ1,2 ] и докажем, что ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x),x ∈ [0, 1]. Функция ϕ = ϕ1 − ϕ2 удовлетворяет уравнениям−ϕ00 + αϕ = α(θ14 − θ24 ), x ∈ (0, 1),B1 [ϕ] = B2 [ϕ] = 0.Пусть ξ = max{ϕ, 0} ≥ 0. Тогда(−ϕ00 + αϕ, ξ) = α(θ14 − θ24 , ξ) ≤ 0,следовательно с учетом граничных условий, налагаемых на ϕ, мы имеемkξ 0 k2 + β1−1 ξ 2 (0) + β2−1 ξ 2 (1) ≤ 0.Следовательно, ξ ≡ 0 и ϕ = ϕ1 − ϕ2 ≤ 0.Заметим теперь, что ζ1,2 = T [ϕ1,2 ].

Функция ζ = ζ1 − ζ2 удовлетворяетусловиям:−ζ 00 + ασ ζ14 − ζ24 = ασϕ ≤ 0,ζ(0) = ζ(1) = 0.Пусть η = max{ζ, 0} ≥ 0. Тогда0 ≥ (−ζ 00 , η) + ασ ζ14 − ζ24 , η ≥ kη 0 k2 + 4Θ31 kηk2 .Следовательно, η ≡ 0 и тогда ζ = ζ1 − ζ2 ≤ 0, что доказывает лемму.Определим теперь следующую функциональную последовательность:u0 = Θ1 ,un = A[un−1 ],n > 0.Используя отношения u0 (x) = Θ1 ≤ A[u0 ](x) = u1 (x), x ∈ [0, 1] и применяялемму 4.7., получаем монотонность последовательности un :u1 (x) ≤ u2 (x) ≤ u3 (x)..., x ∈ [0, 1].173Следовательно, последовательность un сходится к некоторой функции u ∈L∞ (0, 1). Так как последовательность un содержится в A[K], которое является относительно компактным в C[0, 1], то u ∈ C[0, 1]. Очевидно, что u = A[u],то есть u является решением задачи (4.91)-(4.95).Если θ ∈ K является другим решением задачи (4.91)-(4.95), тогда θ =A[θ].

Очевидно, u0 (x) = Θ1 ≤ θ(x), x ∈ [0, 1], что означает (с учетом леммы4.7.):un (x) ≤ θ(x),n ≥ 0,следовательно u(x) ≤ θ(x), x ∈ [0, 1]. Для того чтобы показать, что θ = u,рассмотрим v = θ − u. Очевидно, v ≥ 0 и v(0) = v(1) = 0. Используя монотонность оператора F (см. доказательство леммы 4.7.), получаем следующиеотношения: 0 ≤ w = F [θ] − F [u] и B1 [w] = B2 [w] = 0. Легко доказать, чтоv 00 = −σw00 , следовательноv 0 (1) − v 0 (0) =Z10v 00 (x)dx = −σZ1w00 (x)dx =0σ (w0 (0) − w0 (1)) = σ β1−1 w(0) + β2−1 w(1) ≥ 0.Из условий v ≥ 0, v(0) = v(1) = 0 и v 0 (1) − v 0 (0) ≥ 0 следует, что v 0 (0) =v 0 (1) = 0. Следовательно,v 00 = −σw00 , v(0) = v(1) = v 0 (0) = v 0 (1) = 0, B1 [w] = B2 [w] = 0.Отсюда получаем, что v = −σw и функция v удовлетворяет равенствам−v 00 + ασ(θ4 − u4 ) = ασw = −αv.Умножая последнее уравнение на v, получаем оценку−(v 00 , v) + αkvk2 ≤ 0 ⇒ kv 0 k2 + αkvk2 ≤ 0,174которая с учетом граничных условий для функции v даетkv 0 k2 + αkvk2 ≤ 0.Таким образом, v ≡ 0, что доказывает равенство θ = u и тем самымединственность решения задачи (4.91)-(4.95).Теорема 4.6.

Пусть α, β1 , β2 , σ, Θ1 , Θ2 – заданные положительные константы. Тогда задача (4.91)-(4.95) имеет единственное решение {θ, ϕ} ∈C 2 [0, 1] × C 2 [0, 1], которое удовлетворяет следующим ограничениям: Θ1 ≤θ(x) ≤ Θ2 , Θ41 ≤ ϕ(x) ≤ Θ42 , x ∈ [0, 1].Заметим, что из доказательства существования единственной неподвижной точки оператора A следует сходимость следующей итерационной процедуры решения задачи (4.91)-(4.95):θ(0) = min{Θ1 , Θ2 },θ(n) = A[θ(n−1) ], n ≥ 1.Данная итерационная процедура использовалась при проведении вычислительных экспериментов, представленных в §8.Основные результаты и выводыУчет радиационных эффектов при моделировании переноса тепла в средах, подверженных высоким температурам, является важным во многих инженерных задачах.

К возможным приложениям можно отнести моделирование переноса тепла в камерах сгорания и промышленных печах, оценкаэффективности систем охлаждения, управление тепловыми процессами припроизводстве стекловолокна и других полупрозрачных материалов и пр.Так называемая, модель сложного теплообмена, учитывающая радиационный, кондуктивный и конвективный перенос тепла, представляет собой систему двух дифференциальных уравнений, которая включает в себя уравнение переноса теплового излучения и уравнение теплопроводности. Ввиду175нелинейности, теоретическое и численное исследование данной модели является достаточно сложной задачей. В связи с этим, достаточную популярностьполучили P1 (диффузионные) приближения модели сложного теплообмена.В Главе 4 исследуется плоскопараллельная модель радиационно-кондуктивного теплообмена для рассеивающего слоя с отражающими границами.Основные цели главы связаны с разработкой эффективных вычислительныхалгоритмов нахождения температурного профиля и доказательством однозначной разрешимости P1 приближения задачи радиационно-кондуктивноготеплообмена.К наиболее значимым результатам Главы 4 можно отнести следующие.1.

В терминах малого параметра, описывающего величину рассеяния всреде, проведены оценки близости усредненного по направлениям решенияуравнения переноса и его диффузионного приближения. Оценки проведенына различных оптических удалениях от границ слоя и внутренних неоднородностей.2. Разработан рекурсивный алгоритм, основанный на методе Монте-Карло,для нахождения решения задачи радиационно-кондуктивного теплообмена врассеивающем слое с отражающими границами. Отмечено, что предложенный алгоритм удобен для применения технологии параллельных вычислений.

Проанализированы два различных подхода параллелизации алгоритма:в первом, параллелизация осуществляется по точкам слоя, во втором – по траекториям метода Монте-Карло. Показано, что разработанные параллельныеалгоритмы обеспечивают хорошее, близкое к линейному, ускорение временивыполнения программы.3. Разработан итерационный алгоритм для нахождения решения P1 приближения задачи радиационно-кондуктивного теплообмена.

Обоснование сходимости алгоритма основано на построении оператора решения и доказательстве его сжимающего свойства. Сформулированы ограничения на коэффициенты задачи, обеспечивающие сжимающее свойство оператора решения. Отмечено, что эти ограничения будут заведомо выполняться при подавляющемрассеянии в среде, что является благоприятным условием для использования P1 приближения. Сжимающее свойство оператора решения обеспечивает176быструю сходимость итерационного процесса, что и демонстрируется в приведенном в заключении параграфа вычислительном эксперименте.4. Исследована диффузионная модель радиационно-кондуктивного теплообмена.

Характеристики

Список файлов диссертации