Диссертация (1145332), страница 27
Текст из файла (страница 27)
справедлива при λ = 1.Доказательство. Положим λ = 0 в системе (5.46) и (5.47) и покажем, чтосуществует только тривиальное решение p1 = p2 = 0. Это будет противоречить утверждению теоремы 5.5. о том, что {λ, p} ∈ (R+ × V ) \ {0}, и поэтомуможно положить λ = 1.Пусть q1 = (γ − esx1 )−1 p1 ∈ V1 и q2 = (γ − esx1 )−1 p2 ∈ H 1 (G), где γ = 2esl .Подставляя η = (γ − esx1 )−1 q1 в равенство (5.46), получим33bbak∇q1 k + v(q1x1 , q1 ) + 4µa bθ + γ1 q1 , q1 = 4µa θ q1 , q2 ,2гдеvsesx1as2 e2sx1svaµaγ1 =−≥−= γ0 .2sxγ − e 1 (γ − esx1 )γ−12αУчитывая оценку kq1 k2 ≤ K(G)k∇q1 k2 и неотрицательность выражения1(q1x1 , q1 ) =2ZDq12 |x1 =l dx2 dx3 ,202получаем неравенство−12aK (G) + γ0 kq1 k ≤ 4µa3bθ q1 , q2 ≤ 4µa M 3 kq1 kkq2 k.(5.58)Аналогично, полагая ψ = (γ − esx1 )−1 q2 в уравнении (5.47) и отбрасываянеотрицательные граничные интегралы, получаем неравенствоαk∇q2 k2 + (γ2 q2 , q2 ) + βZΓ2 ∪Γ3q22 dΓ ≤ µa b(q1 , q2 ),(5.59)гдеαs2 e2slµaαs2 e2sx1≥µ−.=γ2 = µa −a22(γ − esx1 )2(γ − esl )Пренебрегая первым и третьим положительным слагаемым в (5.59), получим оценку kq2 k ≤ 2bkq1 k, которая вместе с (5.58) приводит к неравенствуaK −1 (G) + γ0 ≤ 8M 3 µa b, противоречащему условию (jjj).
Следовательно,предположение о существовании нетривиального решения ложно, что и доказывает теорему.Замечание 5.2. Заметим, что условие (jjj) выполняется, если скоростьv > 0 является достаточно большой. Более того, условие (jjj) справедливо,если область G является достаточно малой. Например, если поперечноесечение канала G есть квадрат со стороной длины d, оценка K −1 (G) ≥2π 2 /d2 может быть обеспечена за счет малости d.Основные результаты и выводыСреди моделей сложного теплообмена наибольшую прикладную ценностьимеют трехмерные модели, позволяющие описывать процесс переноса теплав средах со сложной формой границы. Ввиду сложности модели, содержащейуравнение переноса излучения, основное внимание исследователей обращенок ее диффузионным приближениям.Стационарные диффузионные модели сложного теплообмена являются внастоящее время слабо исследованными.
До недавнего времени практически203отсутствовали результаты по исследованию разрешимости и единственностирешения краевых задач, а также результатов по решению задач оптимальногоуправления для стационарных диффузионных моделей сложного теплообмена.В Главе 5 изучается стационарная диффузионная модель радиационноконвективно-кондуктивного теплообмена в трехмерных рассеивающих средахс отражающими границами. Исследуется однозначная разрешимость краевойзадачи. Изучается задача улучшения теплоотдачи от твердых стенок за счетвыбора их оптимальных отражающих характеристик.К наиболее значимым результатам Главы 5 можно отнести следующие.1.
Исследована стационарная модель сложного теплообмена. Полученыновые априорные оценки решения краевой задачи для стационарной моделисложного теплообмена, на основе которых доказана разрешимость задачи ивыведены достаточные условия единственности решения. Найдены условияна параметры модели, геометрию области и поле скоростей, гарантирующиеоднозначную разрешимость в случае равномерного потока среды. Результатытеоретического анализа проиллюстрированы примерами численного моделирования температурных полей в канале прямоугольной формы.2. Изучена задача оптимального мультипликативного управления для нелинейной эллиптической системы.
На основе новых априорных оценок решениясистемы оптимальности доказана разрешимость задачи оптимального управления. Для случая теплообмена в канале найдены достаточные условия, обеспечивающие регулярность системы оптимальности. Основным результатомявляется доказательство аналога принципа bang-bang для рассмотренной задачи оптимального управления.3.
В пакете FreeFem++ разработано специализированное программноеобеспечение для вычисления температурных полей в трехмерных областяхтипа канал и в областях со сложной границей. Программное обеспечениереализует разработанный итерационный алгоритм решения краевой задачисложного теплообмена.Основные результаты Главы 5 представлены в работах [49–51, 135–137], вкоторых творческий вклад по отношению к соавторам как минимум равный.204В работах [51,135,137] автором доказаны теоремы однозначной разрешимостизадач радиационно-конвективно-кондуктивного теплообмена.
В работе [136]доказана теорема о разрешимости и доказан аналог принципа bang-bang длязадачи оптимального управления. В [49,50] автором реализованы итерационные алгоритмы решения задачи сложного теплообмена в пакете FreeFem++.205ЗаключениеПеречислим основные результаты, полученные в диссертационной работе.В Главе 1 исследовано параметризованное уравнение переноса излученияс энергетической зависимостью.
В §1 изучена прямая задача для уравненияпереноса, доказывается теорема существования и единственности решения.В §2 исследованы свойства решения прямой задачи для параметризованногоуравнения переноса. Изучена задача компьютерной томографии и предложен метод многократного облучения для ее решения. Рассмотренный подходосновывается на использовании внешнего источника излучения специального типа. Используемый для решения задачи источник излучения описывается функцией, производная по параметру от которой имеет особенность вгоризонтальных направлениях. Проведены вычислительные эксперименты,демонстрирующие эффективность предложенного алгоритма. В заключение§2 исследуются параллельные алгоритмы реконструкции структуры трехмерного объекта. Приведены результаты вычислительных экспериментов, демонстрирующие эффективность параллелизации.
Основные результаты Главы 1представлены в работах [14, 37, 38, 43, 47, 87, 101–103, 105, 139].В Главе 2 изучена модель переноса поляризованного излучения а трехмерной неоднородной среде. В качестве условий сопряжения на контактных границах неоднородностей рассмотрены условия непрерывной склейки решения.В §3 исследованы непрерывные свойства решения краевой задачи для векторного уравнения переноса при разрывном внешнем источнике излучения.Сформулирована задача томографии, заключающаяся в нахождении коэффициента ослабления по известному излучению на границе среды. На основеполученных свойств решения прямой задачи обосновывается алгоритм решения задачи томографии. Проведены вычислительные эксперименты, демонстрирующие эффективность предложенного алгоритма. Основные результа-206ты Главы 2 представлены в работах [15, 40, 41, 45, 127, 128, 132].В Главе 3 изучена краевая задача для уравнения переноса поляризованного излучения в среде, имеющей плоскопараллельное строение, с обобщенными условиями сопряжения на контактных границах слоев.
В §5 исследованысвойства решения прямой задачи. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости краевой задачи и оценки типа принципа максимума. Предложенвычислительный алгоритм, основанный на методе Монте-Карло, предназначенный для нахождения характеристик поляризованного излучения в слоистой среде. Проведены вычислительные эксперименты, демонстрирующиеэффекты поляризации и деполяризации излучения при его прохождении через рассеивающую слоистую среду.
В §6 изучена задача оптической томографии биологической ткани. Предложен алгоритм ее решения, основанный наиспользовании особенностей выходящего из среды излучения по угловой переменной. Проведены вычислительные эксперименты, демонстрирующие эффективность предложенного алгоритма. Основные результаты Главы 3 представлены в работах [42, 46, 129, 130, 134].В Главе 4 изучается задача радиационно-кондуктивного теплообмена. Исходная нелинейная математическая модель включает в себя уравнение переноса теплового излучения и уравнение теплопроводности.
Нередко для проведения численных расчетов либо теоретического анализа используют P1 приближение (диффузионное приближение) уравнения переноса. В связи с этимпредставляют интерес вопросы о точности аппроксимации, которую обеспечивает диффузионное приближение к решению уравнения переноса. В §7 втерминах малого параметра, описывающего величину рассеяния в среде, проведены оценки близости усредненного по направлениям решения уравненияпереноса и его диффузионного приближения. Оценки проведены на различных оптических удалениях от границ слоя и внутренних неоднородностей. В§8 предложен рекурсивный алгоритм, основанный на методе Монте-Карло,для решения стационарной задачи радиационно-кондуктивного теплообмена в рассеивающем слое с отражающими границами.
Проведено численноесравнение с решением, полученным на основе диффузионного приближения,и расчетными данными из [159,160], полученными при использовании PN ап-207проксимации. Отмечено хорошее согласование решений для случая относительно невысоких температур. Отмечено, что предложенный алгоритм удобен для применения технологии параллельных вычислений и способен обеспечить требуемую точность за приемлемое вычислительное время. Проанализированы два различных подхода в параллелизации алгоритма: в первом,параллелизация осуществляется по точкам слоя, во втором – по траекториямметода Монте-Карло.
В §9 предложен итерационный алгоритм для нахождения решения P1 приближения задачи радиационно-кондуктивного теплообмена. Обоснование сходимости алгоритма основано на построении операторарешения и доказательстве его сжимающих свойств. Сформулированы ограничения на коэффициенты задачи, обеспечивающие сжимающее свойство оператора решения.
Отмечено, что эти ограничения будут заведомо выполнятьсяпри подавляющем рассеянии в среде, что является благоприятным случаемдля использования P1 приближения. Сжимающее свойство оператора решения обеспечивает быструю сходимость итерационного процесса, что и продемонстрировано в приведенном в заключение параграфа вычислительномэксперименте. В §10 доказаны теоремы об однозначной разрешимости краевой задачи для P1 приближения модели радиационно-кондуктивного теплообмена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
